所以，当 y ≤ 1 时有
dx n 1 = dy 1− y2
fY ( y ) = = =
1 1− y 1 1− y 1 1− y
2 2 2
n =−∞ +∞
∑ [g ∑ [g ∑g
+∞
+∞
−1
( x2 n ) + g −1 ( x2 n +1 )] (arcsin y − θ + 2π n) + g −1 (π − arcsin y − θ + 2π n)]
第1章
随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
f Y | X ( y | x) =
f ( x, y ) f ( x, y ) ， f X |Y ( x | y ) = f X ( x) f Y ( y)
y x + Δx −∞ x
∫ ∫ 提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx ) =
≈
f ( x, y )Δx f X ( x)Δx
f Y | X ( y | x) = lim f Y | x < X ≤ x + Δx ( y | x < X ≤ x + Δx) =
Δx →0
f ( x, y ) f X ( x)
同理可得
f X |Y ( x | y ) =
于是有
f ( x, y ) f Y ( y)
所以 X 的方差为
D( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = n(n − 1) p 2 + np − (np) 2 = np(1 − p)
解法二：设 X 1 , X 2 ,… , X n 相互独立，且都服从 (0 − 1) 分布，分布规律为
P{ X i = 0} = 1 − p ， P{ X i = 1} = p ， i = 1, 2,… , n ，
f Y | x < X ≤ x + Δx ( y | x < X ≤ x + Δx) =
最后求Δx→0 的极限。
f ( x, y )dxdy
FX ( x + Δx) − FX ( x)
，然后对 y 求导得，
∫
x + Δx
x
f ( x, y )dx
FX ( x + Δx) − FX ( x)
≈
f ( x, y )Δx f X ( x)Δx
∫
x2
x1
f ( x, y )dx
FX ( x 2 ) − FX ( x1 )
在上式中，假定 x1 = x ， x 2 = x + Δx ( Δx 无穷小量)，则
f Y | x < X ≤ x + Δx ( y | x < X ≤ x + Δx) =
因此
∫
x + Δx
x
f ( x, y )dx
FX ( x + Δx) − FX ( x)
−∞
+∞
1.5 设 Y = g ( X ) ，其中
⎧ A x0 < x < x1 g ( x) = ⎨ ⎩0 else 假定随机变量 X 的概率分布函数已知，求 Y 的概率分布函数。 函数 g ( x) 的图像如下
解法一：根据概率分布函数的定义计算。 当 y ≤ 0 时， FY ( y ) = P{Y ≤ y} = P{ X < x0 } + P{ X > x1} = P{ X < x0 } + 1 − P{ X < x1}
Y1 = X 1 Y2 = X 1 X 2
对应的反函数关系为
x1 = y1 x 2 = y 2 / y1
∂x1 ∂ ( x1 , x 2 ) ∂y1 J= = ∂ ( y1 , y 2 ) ∂x 2 ∂y1 ∂x1 1 ∂y 2 = ∂x 2 − y 2 / y12 ∂y 2 0 − 1 / y1 =− 1 y1
则X =
∑X
i =1
n
i
服从参数为 n，p 的二项分布，即 P{ X = m} = C n p (1 − p )
m m
n−m
。
X 的所有可能取值为 0,1, 2,… , n 。由独立性可知，X 以特定的方式取 m（如前 m 个取 1，后 m 个取 0）的概率为 p (1 − p )
m n−m
。而 X 取 m 的两两互不相容的方式有 Cn 种可能，
Y = g ( X ) = sin( X + θ)
其中θ是已知常量，求 Y 的概率密度。 解答：显然，若 y > 1 ，则 fY ( y ) = 0 。若 y ≤ 1 ，这时对于任意的 y ，有无穷多个 x 值与 之对应，即
x2 n = arcsin y − θ + 2π n ， n = 0, ±1, ±2,… x2 n +1 = π − arcsin y − θ + 2π n ， n = 0, ±1, ±2,… Jn =
= ∑m
m=0 n
= ∑m
m =1
= np ∑
n −1
(n − 1)(n − 2) [n − (m − 1)] m −1 p (1 − p )[( n −1) −( m −1)] (m − 1)! m =1
n
= np ∑ = np ∑
n −1
(n − 1)(n − 2) m! m=0 (n − 1)(n − 2)
−1
n =−∞
−1
n =−∞
( xn )
即 Y 的概率密度为
+∞ ⎧ 1 g −1 ( xn ) ∑ ⎪ 2 fY ( y ) = ⎨ 1 − y n =−∞ ⎪ 0 ⎩
y ≤1 else
1.4 设有随机变量 X 1 和 X 2 ，求 Y = X 1 X 2 和 Z = X 1 X 2 的概率密度。 解答： （1） Y = X 1 X 2 设
= [1 − P ( x0 < X ≤ x1 )]δ( y ) + P( x0 < X ≤ x1 )δ( y − A) = [1 − FX ( x1 ) + FX ( x0 )]δ( y ) + [ FX ( x1 ) − FX ( x0 )]δ( y − A)
注意其中的 1 − FX ( x1 ) + FX ( x0 ) 和 对 fY ( y ) 求积分可以得到 Y 的概率分布函数 FY ( y ) ，
0
− y1 / y
2 2
=−
y1 2 y2
f Y1Y2 ( y1 , y 2 ) = f X1 X 2 ( x1 , x 2 ) J =
y1
2 y2
f X 1 X 2 ( y1 , y1 / y 2 )
f Y2 ( y 2 ) = ∫ f Y1Y2 ( y1 , y 2 )dy1 = ∫
−∞
+∞
+∞
=∑
i =0
n! a i b n −i i !(n − i )! a i b n −i
=∑
i =0
n
n(n − 1)(n − 2) i!
(n − i + 1)
所以有
m=0
∑
n −1
(n − 1)(n − 2)
[(n − 1) − m + 1] m p (1 − p )[( n −1) − m ] = [ p + (1 − p)]n −1 m!
P(Y = 0) = 1 − P( x0 < X ≤ x1 )
对于 g ( x) 取 A 的情况，只有 −c < x ≤ c 的时候才有可能：
P(Y = A) = P ( x0 < X ≤ x1 )
所以 Y 的概率密度函数为
fY ( y ) = P(Y = 0)δ( y ) + P (Y = A)δ( y − A)
解法二：从概率密度 fY ( y ) 入手求概率分布函数 FY ( y ) 。 由图可知 g ( x) 的取值只可能为 0 或 A，求 Y 的概率分布函数，也就是对 g ( x) 取 0 或 A 可能性的讨论。 对于 g ( x) 取 0 的情况，只有 x > c 或 x < −c 的时候才有可能：
求 X 的均值和方差。 解法一：直接按照定义计算
m m E ( X ) = ∑ mP{ X = m} = ∑ mCn p (1 − p) n − m m =0 m =0 n n
= ∑m
m=0 n
n
n! p m (1 − p) n − m m !(n − m)! n(n − 1)(n − 2) (n − m + 1) m p (1 − p) n − m m! n(n − 1)(n − 2) (n − m + 1) m p (1 − p) n − m m!
= F ( x0 ) + 1 − F ( x1 )
当 y ≤ A 时， FY ( y ) = P{Y ≤ y} = P{x0 < X < x1} = FX ( x1 ) − FX ( x0 ) 所以 Y 的概率分布函数为
FY ( y ) = [1 − FX ( x1 ) + FX ( x0 )]U ( y ) + [ FX ( x1 ) − FX ( x0 )]U ( y − A)
f ( x, y ) = f X |Y ( x | y ) f Y ( y ) = f Y | X ( y | x) f X ( x)
1.2 设随机变量 X 服从二项式分布，其概率分布律为
m m P{ X = m} = C n p (1 − p) n − m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
f Y1Y2 ( y1 , y 2 ) = f X1 X 2 ( x1 , x 2 ) J = f Y2 ( y 2 ) = ∫