GLm2 2×2×cos 30°＝ma 向 其中 L＝2r cos 30°。 三颗行星运行的方向相同，周期、 角速度、线速度的大小相等。
.
【例3】 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的 三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作 用。已观测到稳定的三星系统存在的一种形式是三颗星位于 等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆轨道运 行,其周期为T。设每个星体的质量均为m, 万有引力常量为G,则星体之间的距离应 为多少?
变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍时，两星
圆周运动的周期为T′＝ [答案] B
nk3T，选项B正确。
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2、三星问题
三星问题和双星问题相似,解答时要注意:(1)绕某中心天 体转动的天体有相同的周期; (2)环绕天体的轨道半径一般不等于天体间的距离, 通过几何知识可找到它们的关系; (3)弄清环绕天体运动的向心力由谁(其他天体的引力的合 力)提供。
B．向心力大小约为冥王星的 1/7 C．轨道半径约为冥王星的 7 倍
D．周期与冥王星周期相同
解析 对于双星系统，任意时刻均在同一条直线上，故转动的周期、角
速度都相同．彼此给对方的万有引力提供向心力，故向心力大小相同， 由 m1ω2r1＝m2ω2r2，得rr21＝mm12＝7，故. C、D 项正确.
[典例 2] (2013·山东高考)双星系统由两颗恒星组成，
2
a
2③
a2
( 2a )2
T 22 2
解得T 2 =2
4T 1 = (4。 2)(3 3)
T2
4
.
.
某同学对此题的解法为:设星体之间的距离为r,如图所示,则三个星体 做圆周运动的半径为R'= r ①
2 cos30
星体做圆周运动所需的向心力由万有引力提供。根据牛顿第二定律 有
F引= GR m' 2 2 ②
F合=
4
m T
2R2'
③
由①②③式得r。
问:你同意上述解法吗?若同意,求出星体之间的距离;若不同意,则说
n3
A.
k2T
n2
C.
kT
n3
B.
kT
n
D. .
kT
[解析] 设两颗星的质量分别为m1、m2，做圆周运动
的半径分别为r1、r2，根据万有引力提供向心力可得： Grm1＋1mr222＝m1r14Tπ22，Grm1＋1mr222＝m2r24Tπ22，联立解得：m1＋ m2＝4π2Gr1T＋2 r23，即T2＝4Gπ2mr11＋＋mr223，因此，当两星总质量
明理由并写出你认为正确的结果。
.
解析:星体做圆周运动所需的向心力靠其他两个星体的万有引力的合
力提供,求两星体之间的万有引力时,应用星体之间的距离r,①③式正 确。正确解法为:
如图所示,由力的合成和牛顿运动定律有F合=
2
G r
m2
c2 os
30°②
由①②③式得r=(
3
G 4
m
T
2
21
。) 3
答案:不同意 (
。
为G。(1)分析说明三绕一应该具有怎样的空间结构模式
(2)若相邻星球的最小距离均为a,求两种构成形式下天体运
动的周期之比
.
解析:(1)三颗星绕另一颗中心星运动时,其中任意一个绕行星球受 到另三个星球的万有引力的合力提供向心力,三个绕行星球的向心 力一定指向同一点,且中心星受力平衡,由于星球质量相等,具有对 称关系,因此向心力一定指向中心星,绕行星一定分布在以中心星为 重心的等边三角形的三个顶点上,如图甲所示。
.
(1)三星同线模型 ①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位
置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位
于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行
星的引力提供向心力：Grm2 2＋G2mr22＝ma 向
两行星运行的方向相同，周期、角 速度、线速度的大小相等。
.
②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处， 都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其 余两颗行星对其万有引力的合力来提供。
(5)双星的运动周期 T＝2π
L3 Gm1＋m2
(6)双星的总质量公式 m1＋m2＝4Tπ22GL3 .
[典例 1] 冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，它们的质量
比约为 7∶1，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动．由此可知
卡戎绕 O 点运动的 ( )
CD
A．角速度大小约为冥王星的 7 倍
两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点
做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过 程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某
双星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时间演
化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为
原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为
()
.
(2)对三绕一模式,三颗绕行星轨道半径均为a,所受合力等于向心力, 因此有
2·G
(
m 3
2
ac)o2 s
30°+G
m2
a =2 m
4 2
T
a2
1
①
解得T 1 =2
2(3② 3) 2a3
Gm
.
对正方形模式,如图乙所示,四星的轨道半径均为 2 a,同理有
2
2·G m
2 cos 45°+G
m
2
=m
4
专题--宇宙多星系统模型
.
宇宙多星模型： 在天体运动中，离其他星体较远的几颗星，
在它们相互间万有引力的作用力下绕同一中 心位置运转，这样的几颗星组成的系统称为 宇宙多星模型。
1、宇宙双星模型
.
2．双星系统模型问题的分析与计算
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图 6 所示，双星 系统模型有以下特点：
3G m T 2 4 2
1
)3
.
拓展链接--宇宙中存在质量相等的四颗星组成的四星系统,
这些系统一般离其他恒星较远,通常可忽略其他星体对它们
的引力作用。四星系统通常有两种构成形式:一是三颗星绕
另一颗中心星运动(三绕一);二是四颗星稳定地分布在正方 形的四个。 顶点上运动。若每个星体的质量均为m,引力常量
(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
GmL12m2＝m1ω1 2r1，GmL12m2＝m2ω2 2r2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离 r1、r2 与星体质量成反比，即mm12＝rr21