X(R)
● X(S)
X(H)
映射迭代公式： x(R)=x(S)+α(x(S)-x(H)) 搜 索 方 向：沿x(H)→x(S)的方向'。 步长因子（映射系数）α： α>1，建议先取1.3'。 若求得的x(R)在可行域内，且f(x(R))<f(x(H))，则以x(R)代替x(H)组 成新复合形，再进行下轮迭代'。
x j x0 a0e j
机械优化设计
§第二节 随机方向法
3）检验k个随机点是否为可行点，除去非可行点，计算 余下的可行点的目标函数值，比较其大小，选出目标 函数最小的点xL '。
4) 比较xL 和x0两点的目标函数值:
①若f(xL) <f(x0)，则 取xL 和x0连线方向为可行搜索方向；
②若f(xL) ≥f(x0)，则缩小步长α0 ，转步骤1）重新计算， 直至f(xL) <f(x0)为止'。
则可行搜索方向为： d x L x0
四、搜索步长的确定
步长由加速步长法确定：
τ为步长加速系数，一般取1.3
机械优化设计
五. 计算步骤 1) 选择一个可行的初始点x0; 2) 产生k个n维随机单位向量e j ( j = 1, 2, …, k);
3) 取试验步长0，计算出k个随机点x j ;
4) 在k个随机点中，找出可行的的随机点xL, 产生可行搜索 方向d= xLx0.
5) 从初始点x0出发，沿可行搜索方向d以步长进行迭代计
算，直到搜索到一个满足全部约束条件，且目标函数值
不再下降的新点x'。
6) 若收敛条件满足，停止迭代'。否则， 令x0 x转步骤2
机械优化设计
例6-1 求下列约束m优in化f问x题 的x2最优x 解
机械优化设计
第六章 约束优化方法
机械优化设计
6.1 概 述 6.2 随机方向法 6.3 复合形方法 6.4 可行方向法 6.5 惩罚函数法 6.6 增广乘子法
6.7 非线性规划问题 的线性化解法—线性 逼近法
6.8广义简约梯度法
6.9 二次规划法
6.10结构优化法简述
6.11遗传算 法简述
机械优化设计
③α0 缩小到很小仍然找不到一个xL，使 f(xL) <f(x0),则 说明x0是一个局部极小点，更换初始点转步骤1）'。
机械优化设计
❖ §第二节 随机方向法
产生可行搜索方向的条件为：
g j xL 0
f xL min f x j j 1, 2,..., k
f xL f x0
机械优化设计
§第二节 随机方向法
三.可行搜索方向的产生
从k个随机方向中， 选取一个较好的方向'。
1）在(-1,1)区间内产生伪随机数 ri j，得随机单位向量 e j
e j n i1
1 ri j
r1j r2j
1
2
...
rnj
2) 取一试验步长a0，按下式计算k个随机点
1
2
s.t. g x x2 x2 9 0
1
1
2
g x x x 1 0
2
1
2
解：用随机方向法程序，在计算机上运行， 迭代13次， 求得约束最优解：x* = [ 0.0027 3.0]T, f(x*) = 3
迭代次数 0 1 4 7 10 13
设计变量x1 -2.0
-0.0168 -0.033 -0.114 -0.077 -0.002
X(1)=X(H)
X(S) X(2)
XX(6) *
X(R)=X(4)
二维空间中映射法
比 较 单 纯 形 x(1)x(2)x(3) 的 顶 点 ， f(x(1))>f(x(2))>f(x(3)), x(1)为最坏点， 称为x(H)，通过映射得到新点x(R)， x(R)＝x(S)＋a(x(S)-x(H)) 以x(R)来代替 x(H) ， 组 成 新 的 单 纯 形 x(R)x(2)x(3) ' 。 其中f(x(R))<f(x(H)); a>1；称为映射 因子；
说明： 单纯形是无约束优化方法，复合形用于约束优化的方法'。 因为顶点数较多，所以比单纯形更灵活易变'。 复合形只能解决不等式约束问题'。 因为迭代过程始终在可行域内进行，运行结果可靠'。
机械优化设计
三. 迭代方法：
1. 映射法：
例 ： 二 维 空 间 中 ， k=4 ， 复 合 形是四面体 x(1)x(2)x(3)x(4)，计算 得： f(x(1))<f(x(2))<f(x(3))<f(x(4)),确 定 最 坏 点 x(H)= x(4) ， 次 坏 点 x(G)=x(3)，最好点x(L)=x(1)'。x(S)为 除x(H)以外，各点的几何中心'。
间接解法：内点惩罚函数法、外点惩罚函数法、混合惩罚函数法
二. 直接解法的基本思想：
机械优化设计
§第一节 概述
非凸可行域
机械优化设计
§第一节
三. 间接解法的基本思想：
概述
m
p
其中：新目标函数：(x, r1, r2 )
f
(x)
r1G[gu (x)] r2 H[hv (x)]
u1
v1
惩罚因子： r1 , r2
设计变量x1 2.0 1.117 1.024 0.717
-2.998 -3.0
目标函数值 6.0 1.196 1.025 0.730
-2.997 -3.0
机械优化设计
§第三节 复合形法
一. 单纯形法：
定义：在n维空间中，由n+1个点组
成的图形称单纯形'。
X(3)
X(5)
基本思想：以一个目标函数值较小的 新点，代替原单纯形中目标函数值最 大的顶点，组成新的单纯形，不断地 迭代，逐渐逼近最优点'。
x(S ) 1
n
x(i) ,i 1, 2, n
n 1 i1
iH
除x(H)外，其它顶
点的几ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中心
机械优化设计 二. 复合形法：
定义： 在n维空间中，由 k≥n+1 个点组成的多面体称为复合形'。
基本思想： 以一个较好的新点，代替原复合形中的最坏点，组成新
的复合形，以不断的迭代，使新复合形逐渐逼近最优点'。
§第一节 概述
机械优化设计中的问题，大多数属于约束优化设计 问题，其数学模型为
min f ( x), x Rn
s.t.
g j(x) 0
j 1, 2,
,m
hk ( x) 0 k 1, 2, ,l
机械优化设计
§第一节 概述
一. 有约束问题解法分类： 直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
机械优化设计
§第二节 随机方向法
一. 基本思想：
x* x(1)
x(L) x(0)
机械优化设计
§第二节 随机方向法
二.初始点的选择
1）输入设计变量的下限值和上限值，即 ai xi bi
2）在区间（0，1）内产生n个伪随机数 qi
3）计算随机点x的各分量 xi ai qi (bi ai )