二次函数易错题1.下列函数不属于二次函数的是（）A. y=（x﹣1）（x+2）B. y= 12（x+1）2 C. y=2（x+3）2﹣2x2 D. y=1﹣√3x2【答案】C【考点】二次函数的定义【解析】【解答】解：把每一个函数式整理为一般形式，A、y=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，是二次函数，A不符合题意；B、y= 12（x+1）2= 12x2+x+ 12，是二次函数，B不符合题意；C、y=2（x+3）2﹣2x2=12x+18，是一次函数，C符合题意；D、y=1﹣√3x2=﹣√3x2+1，是二次函数，D不符合题意．故答案为：C．【分析】根据二次函数的定义对四个选项一一进行判断。

2.抛物线y = －12（x+1）2+3的顶点坐标（）A. （1，3）B. （1，-3）C. （-1，3）D. （-1，-3）【答案】C【考点】二次函数的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】抛物线的顶点式为y=a(x+ℎ)2+k，它的顶点坐标为（-h,k），又因为抛物线y = －12（x+1）2+3，所以它的顶点坐标是（-1，3）【点评】本题考查抛物线，考生解答本题的关键是掌握抛物线的顶点式，能根据抛物线的顶点式写出其顶点坐标来3.在抛物线y= x2﹣4x﹣4上的一个点是（）.A. （4，4）B. （−12，−74） C. （3，﹣1）D. （﹣2，﹣8）【答案】B【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】把x=4、−12、3、﹣2分别代入y= x2﹣4x﹣4，计算出对应的函数值后进行判断．∵当x=4时，y= x2﹣4x﹣4=﹣4；当x= −12时，y= x2﹣4x﹣4= −74；当x=3时，y= x2﹣4x﹣4=﹣7；当x=﹣2时，y= x2﹣4x﹣4=8；∴点（−12，−74）在抛物线y= x2﹣4x﹣4上．故答案为：B【分析】根据函数图像上点的坐标特点，如果点在函数图像上，则它的横纵坐标满足函数解析式的左边和右边相等，一一代入判断即可。

4.函数y1=ax2+b，y2= abx（ab＜0）的图象在下列四个示意图中，可能正确的是（）A. B. C.D.【答案】C【考点】反比例函数的图象，二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】A、函数y2= ab（ab＜0）可知，ab＞0，故本选项不符合题x（ab＜0）可知，ab＞0，故本选项不符合题意；意；B、函数y2= abxC、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，函数y1=ax2+b，y2= ab（ab＜0）x的图象可知ab＜0，故本选项符合题意；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，则ab＞0，故本选项不符合题意．故答案为：C．【分析】若ab同号那么反比例函数经过一三象限，此时观察二次函数，需开口向上并经过y的正半轴或开口向下并经过y的负半轴，发现均不符合；那么只有ab异号反比例函数经过二四象限，此时二次函数需开口向上并经过y的负半轴或开口向下并经过y的正半轴，只有C选项符合。

5.把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（）A.y=(x+3)2−1B.y=(x+3)2+3C.y=(x−3)2−1D.y=(x−3)2+3【答案】D【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】解：将抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为y=（x-3）2+3．故答案为：D．【分析】根据二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，可得出答案。

6.关于二次函数y=2x2+4x−1，下列说法正确的是（）A. 图像与y轴的交点坐标为(0,1)B. 图像的对称轴在y轴的右侧C. 当x<0时，y的值随x值的增大而减小D. y的最小值为-3【答案】D【考点】二次函数的性质，二次函数的最值【解析】【解答】解：A、当x=0时，y=-1，图像与y轴的交点坐标为（0，-1），因此A不符合题意；B、对称轴为直线x=-1，对称轴在y轴的左侧，因此B不符合题意；C、当x＜-1时y的值随x值的增大而减小，当-1＜x＜0时，y随x的增大而增大，因此C不符合题意；D、a=2＞0，当x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此D符合题意；故答案为：D【分析】求出抛物线与y轴的交点坐标，可对A作出判断；求出抛物线的对称轴，可对B作出判断；根据二次函数的增减性，可对C作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对D作出判断；即可得出答案。

7.若函数y=a x a2−2a−6是二次函数且图象开口向上，则a=（）A. ﹣2B. 4C. 4或﹣2D. 4或3【答案】B【考点】二次函数的定义【解析】【解答】解：∵函数y=a x a2−2a−6是二次函数且图象开口向上，∴a2﹣2a﹣6=2，且a＞0，解得 a=4． 故选：B ．【分析】根据二次函数的定义得到a 2﹣2a ﹣6=2，由抛物线的开口方向得到a ＞0，由此可以求得a 的值．8.已知二次函数y =2(x −1)2−3，则下列说法正确的是( ) A. y 有最小值0，有最大值－3 B. y 有最小值－3，无最大值 C. y 有最小值－1，有最大值－3 D. y 有最小值－3，有最大值0 【答案】B【考点】二次函数的最值，二次函数的三种形式【解析】【分析】根据二次函数y =2(x −1)2−3的解析式，得出a 的值和顶点的纵坐标，即可得出函数的最值．【解答】∵二次函数y =2(x −1)2−3中，a ＝2＞0， ∴y 有最小值-3，无最大值； 故选B ．9.如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°．若抛物线y=x 2+k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A. ﹣4＜k ＜ 34B. ﹣2＜k ＜ 34 C. ﹣4＜k ＜ √3 ﹣1 D. ﹣2＜k ＜ √3 +1 【答案】C【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：作AC⊥OB于C，OA=1，AC=OA×sin60°= √3，在Rt△AOC中，OC= 12∴点A的坐标为（1，√3），设直线OA的解析式为y=mx，则m= √3，则直线OA的解析式为y= √3x，联立抛物线解析式得x2+k= √3x，即x2﹣√3x+k=0，△=3﹣4k=0，解得k= 34当抛物线经过点B时，0=4+k，解得k=﹣4，∴抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是﹣4＜k＜3．4故答案为：C．【分析】根据直角三角形和特殊角的函数值，求出OC、AC的值，得到点A的坐标，联立直线OA的解析式与抛物线的解析式，求出实数k的取值范围.10.定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，-1]的函数的一些结论：① 当m＝-1时，函数图象的顶点坐标是（1，0）；② 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于1；③ 当m<0时，函数在x>12时，y随x的增大而减小；④ 不论m取何值，函数图象经过一个定点．其中正确的结论有（）A. 4个B. 3个C. 2个 D. 1个【答案】B【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，定义新运算【解析】【分析】①把m=-1代入[m，1-m，-1]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．①当m＝-1时，y=−x2+2x−1=−(x−1)2，图象的顶点坐标是（1，0)，正确；②令y=0，有mx2+(1−m)x−1=0(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(m−1)2m2+4m=(m+1)2m2当m>0时，|x1−x2|=m+1m>1，正确；③当m<0时，y=mx2+(1−m)x−1是一个开口向下的抛物线其对称轴是x=−1−m2m，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为m<0，x=−1−m2m >12，即对称轴在x=12的右边，因此函数在x=12的右边先递增到对称轴位置，再递减，故错误；④在y=mx2+(1−m)x−1中，当x=0时，y=−1所以不论m取何值，函数图象经过一个定点（0，-1)，正确故选B.【点评】此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．二、填空题（共10题；共30分）11.二次函数y=(x−1)2+b的图象与y轴交于点（0，1），则b的值为________．【答案】0【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题【解析】【解答】∵二次函数y=(x−1)2+b的图象过点(0，1)，∴(0−1)2+b=1，解得b=0.故答案为：0.【分析】在已知函数经过的点坐标的情况下，直接代入计算即可得b值。

12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是________．【答案】-1＜x＜3【考点】二次函数的图象，二次函数的性质【解析】【解答】函数值y＜0时，自变量x的取值范围是-1＜x＜3．故答案为：-1＜x＜3【分析】根据二次函数的图象先确定与x轴的两个交点的横坐标，在x轴的上方说明y＞0，下方说明y＜0，可得对应的x的取值范围.13.已知二次函数y=mx2+2mx+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是________．【答案】2【考点】抛物线与x轴的交点【解析】【解答】解：∵二次函数y=mx2+2mx+2的图象与x轴只有一个交点，∴{m≠0(2m)2−4×m×2=0，解得，m=2，故答案为：2．【分析】二次函数y=mx2+2mx+2的图象与x轴只有一个交点，得出m≠0及△=0，这样的混合组，求解得出公共部分即可。

m+2的图象与x轴只有一个交点，那么m的值14.二次函数y=mx2+（m+2）x+14为________ ．【答案】1【考点】抛物线与x轴的交点m+2=0，△=0，【解析】【解答】解：根据题意得：y=0时，mx2+（m+2）x+14∴（m+2）2﹣4×m（1m+2）=0，4整理得：4﹣4m=0，解得：m=1．故答案为：1．【分析】根据题意得出一元二次方程的判别式△=0，得出含m的方程，解方程即可求出m的值．15.（2017•咸宁）如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是________．【答案】x＜﹣1或x＞4【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y=mx+n 在抛物线y=ax2+bx+c的上方，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x ＞4．故答案为：x＜﹣1或x＞4．【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．16.将抛物线y=2(x−1)2+4，绕着它的顶点旋转180∘，旋转后的抛物线表达式是________．【答案】y=−2(x−1)2+4【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】解：抛物线y=2(x−1)2+4的顶点为（1,4），∵原抛物线是绕顶点（1,4）旋转，∴旋转后的抛物线的顶点依然是（1,4）.∵旋转了180°，∴原来开口向上变成开口向下，但开口形状不变，∴二次项系数为-2，∴旋转后的抛物线表达式为y=−2(x−1)2+4，故答案为：y=−2(x−1)2+4【分析】求抛物线的几何变化中的解析式，需要将解析式化成顶点式；根据顶点变化，及二次项系数的变化，可得到新的解析式.以顶点为中心旋转，∴顶点不变，但抛物线的开口方向变了.17.如图，抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线x2于点B，C，则S△BOC=________．y=﹣12【答案】4【考点】二次函数的图象【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，∴点A（0，﹣2），x2=﹣2，令y=﹣2，得：﹣12解得：x1=2，x2=﹣2，x2=0，当y=0时，﹣12解得：x1=x2=0，∴点O（0，0），∴点B（﹣2，﹣2），点C（2，﹣2），∴S△BOC= 1×4×2=4．2故答案为：4．【分析】根据抛物线与y轴相交，求出点A的坐标，令y=﹣2时，求出点B，C 的坐标，根据三角形的面积公式即可解答．18.（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是________．【答案】P＞Q【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵﹣b＞0，2a∴b＞0，∴2a﹣b＜0，∵﹣b=1，2a∴b+2a=0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．∴﹣1b﹣b+c＜0，2∴3b﹣2c＞0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，∴p=3b﹣2c，Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q，故答案为：P＞Q．【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值．本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．19.如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y= 12x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是________．【答案】﹣2＜k＜12【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x，联立{y=xy=12x2+k消掉y得，x2﹣2x+2k=0，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，即k= 12时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（√2，√2），∴交点在线段AO上；×4+k=0，当抛物线经过点B（2，0）时，12解得k=﹣2，∴要使抛物线y= 1x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围2是﹣2＜k＜1．2．故答案为：﹣2＜k＜12【分析】根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．20.（2017•鄂州）已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D （2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD 的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是________．【答案】2≤m≤8【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：设平移后的解析式为y=y=（x+1）2﹣m，将B点坐标代入，得4﹣m=2，解得m=2，将D点坐标代入，得9﹣m=1，解得m=8，y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，故答案为：2≤m≤8．【分析】须数形结合，画出图形，抛物线首先与B相交，最后与D相交，这两个交点对应的m值之间就是范围.三、解答题（共8题；共60分）21.抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．【答案】解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），∴{c=−3−4+2b+c=1，解得{b=4c=−3，抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，令y=0，得-x2+4x-3=0，即 x2-4x+3=0，∴x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题【解析】【分析】运用待定系数法将两点坐标分别代入y=-x2+bx+c，得到关于b、c的方程组，解方程组可求出b、c的值。