历年考题
1、设，取x0=4,x1=9,x2=6.25,则差商 -0.0080808 。 （结果保留5位有效数字）
2、给定如下数据： xi 1 2 3 4
f xi 0 5 6 3
试列出三阶差商表，求出f(x)的三次牛顿插值多项式， 并利用该多项式计算f(0)的值。（保留三位有效数字）
0.9456909
由复合辛卜生公式可得如下计算公式
S4
1f(0)f(1)2(f(0.25 )f(0.5)f(0.75 ))
24
4(f(0.12)5 f(0.37)5 f(0.62)5 f(0.87)5)
0.9460832
（积分准确值I=0.9460831）
这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计
将区间逐次分半,令区间长度
hba (k0,1,2, ) 2k
计算
T2n
Tn 2
hn1
2k0
f(xk1 2
)
(n 2k )
③ 按加速公式求加速值
梯形加速公式：
Sn
T2n
T2n Tn 3
辛卜生加速公式：
Cn
S2n
S2n Sn 15
龙贝格求积公式：
Rn
C2n
C2n Cn 63
熟练掌握本课程重点方法计算过程） （注3：考试需携带计算器）
1、引论
误差与有效数字（重）p6：例1,2 数值运算的误差估计 算法稳定性与病态条件数 p11：例6-8
作业 1、课本（清华版）p19，习题3、4. 2、知近似值x1=1.42，x2=-0.0184，x3=184*10-4
历年考题
1、已知 f( 1 )2 , f(1 ) 1 , f(2 ) 1 ，求f(x)的二次拉 格朗日插值多项式，并利用该多项式计算的值 。（保留三位有效数字）
2、已知函数的观测数据为如下表： x1 2 3 y 0 -5 3 求Lagrange插值多项式为：
复习题
2.给定函数f(x)=x3-4x，试建立关于xi=i+1（i=1...5）的差 商表,并列出关于x0,x1,x2,x3的插值多项式p(x)。
历年考题
1、求积公式 为 3 次。
-1 1f(x)d x1 3f(-)1 4f(0)f(1 )的代数精度
1
2、使用梯形公式
2
e x dx
计算积分时截断误差为
1
0.6796 。（结果保留4位有效数字）
3、所有牛顿—柯特斯求积公式的系数和均为1。 （√）
例 依次用n=8的复合梯形公式、n=4的复合
x1 x 计算。
2、插值法
线性插值（重）p28：例2 抛物线插值 拉格朗日插值多项式 均差（重）p31：均差表，p32：例题4 均差与牛顿插值（重） 诶尔米特插值 分段线性插值 三次样条插值（重）p44：例7与课件中例题的区别
复习题
1.构造拉格朗日多项式p(x)逼近f(x)=x3，要求： （1）节点x为-1,1，做线性插值。 （2）节点x为-1,0,1，做抛物插值。 （3）节点x为-1,0,1,2，做三次插值。
算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准
确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比
较，复合梯形法只有两位有效数字
(T8=0.9456909),而复合辛卜生法却有六位有效数 字。
龙贝格求积计算步骤
① 解决用梯形公式计算积分近似值 T1b 2af(a)f(b)
② 按变步长梯形公式计算积分近似值
数值计算方法 （数值分析）
课程复习与习题讲解
课程考察范围
1、引论 2、插值法 3、数值积分 4、解线性方程组直接法 5、解线性方程组迭代法 6、非线性方程组数值解法 7、常微分方程初值问题数值解法 （注：每个章节均有重点内容）
试题构成
填空题5小题，共计10分。 计算题6小题，每题15分，共计90分。 各章均占15%左右权重。 各章重点方法和公式要求掌握ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ （注1：试题总体难度等级——简单） （注2：试题有一定的计算量，希望复习作业
xk f xk f xk,xk1 f xk,xk1,xk2 f xk,xk1,xk2,xk3
10
2 5
5
3 6
1
2
43
9
5
1
N 3x5x1+2x1(x2)x1x2x3
x34x2+3
N 303
复习题
的绝对误差限均为0.5*10-2，问他们各有几位有效 数字。
（参见书后答案和课件例题！自己对照！） 记住：准确到某位-误差限是该位的半个单位！
历年试题分析
是圆周率真实值的近似值 3.14159 26，5
其有 3 位有效数字。
根据误差稳定性原则 y x1 x ，在计算等
y 1
式时应转变成
辛卜生公式计算定积分
I
1sinx dx 0x
解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时，
h 1 0.125 8
由复合梯形公式可得如下计算公式：
T8116f(0)2f(0.12)52f(0.2)52f(0.37)52f(0.5) 2f(0.62)52f(0.7)52f(0.87)5f(1)
④ 精度控制；直到相邻两次积分值
R2n Rn
（其中ε 为允许的误差限）则终止计算并取Rn
请参见P112教材说明，加深理解！
例
用龙贝格算法计算定积分
1
I
4
dx
01x2
要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过 10 5
解:由题意 a0,b1,f(x) 4
1x2
课件例4 已知的函数值如下： x1 2 4 5
f (x) 1 3 4 2 在区间1,5上求三次样条插值函数S(x),使它满足边 界条件 S(1 )0 ,S(5 )0
作业题9、构造适合系列数据的三次样条S(x)。
x
-1
0
1
3
y
-1
1
3
5
y'
6
3、数值积分
数值积分基本思想 代数精度（重）p100：例1 插值型求积公式 牛顿-科特斯公式（重：辛普森公式。p104） 复合求积公式（重：复合辛普森。p108：例3） 龙贝格求积公式（重：p110，例5-p112，例6） 高斯求积公式（重：p120，例9）