三、有效数字及其位数
若近似值 x*某位数数值的半个单位是其绝对误差 限, 而从该位数字到x*的最左边的非零数值数位止, 共 有n位数, 则我们称这个近似值 x*具有n位有效数字.
例如, =3.141592···, x*= 3.14的绝对误差 |e(x*)|=
0.00159··· 0.011/2, 即“4”所在的百分位的半个单位 0.011/2 是x*的绝对误差限, 故x*的最左边的非零位 数(个位)“3”到百分位“4”共有三位, 所以x* = 3.14具 有3位有效数字.
《数值分析》绪论
参考书：
[1] 施吉林, 刘淑珍, 陈桂芝. 计算机数值方法. 第一版. 北京：高等教育出版社， 1999. [2] 吴勃英, 王德明, 丁效华, 李道华. 数值分析原理. 第 一版. 北京：科学出版社，2003. [3] 陈传淼. 科学计算概论. 第一版. 北京：科学出版社,
2007. [4] Rainer Kress. Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 2003.
数值计算方法涉及的基础数学课程较多, 但在本 课程中主要涉及微积分、线性代数、常微分方程等数 学知识.
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第一章 引论
引例
例1: y = arctan5430 – arctan5429的准确值为:
0.0000000339219··· 0.33910–7
但是, 用具有八位舍入功能的计算器直接计算得
y 1.5706122 – 1.5706121 = 0.0000001 = 110–7
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1
实际问题
否
解释 实际问题
是
结束
抽象
建立数学模型
简化
类方 型法
结果分析 求解计算
应用于实践
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2
数值分析研究的主要内容:是各类数学问题的近 似解法——数值方法, 是从数学模型(由实际问题产生 的一组解析表达式或原始数据)出发, 寻求在有限步内 可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则, 这种规则称为算法, 它包括计算公式, 计算方案和整个 计算过程.
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乘法相关的误差公式： 设 f (x1, x2)= x1 x2 . e ( x 1 x 2 ) x 2 e ( x 1 ) x 1 e ( x 2 ) e r ( x 1 x 2 ) e r ( x 1 ) e r ( x 2 ) |e ( x 1 x 2 ) | |e ( x 1 ) | |e ( x 2 ) | |e r ( x 1 x 2 ) | |e r ( x 1 ) | |e r ( x 2 ) |
有效数字位数越多, 近似值的绝对误差和相对误 差就相对越小, 反之亦然.
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§3 误差的传播规律
设x1*, x2*分别为x1, x2的近似值, 函数值 y=f(x1, x2) 的近似值用y*=f (x1*, x2*)表示. 利用函数f (x1, x2)在点 (x1*, x2*)处的二元泰勒展开公式, 对y*的绝对误差和 相对误差进行分析.
实际 问题
建立数 学模型
确定计 算方法
编程 上机
由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差
由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差
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计算过 程中产 生的舍 入误差
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例如用级数
sixn x1x 31x 51x 7 3 ! 5 ! 7 !
的前三项计算 sinx 的近似值, 即取 sixn S 5(x)x3 1 !x35 1 !x5
为1.5708(cm2), 相对误差限为2.7% .
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22
§4 数值运算中应注意的几个原则
一、选用数值稳定性好的算法
再来看例2的积分问题:
I n e 1 0 1 x n e x dx ( n 0 ,1 ,2 , )
由递推公式 In= 1 – n In–1 (n = 1, 2, …) 可得 In- In*=(-1)n n!(I0- I0*) (n=1, 2, …)
e 1 x n ex|1 0 e 1 0 1 nn 1 x ex dx
1 n n 1 I (n 1 ,2 , ).
如果取 I0 = 1–e–1 = 0.63212056 (八位有效数字).
利用递推公式进行计算得:
n In近似值 n In近似值 n In近似值 0 0.63212056 6 0.12680320 12 0.63289603
对于两个数值
x1=100±2, x2=10±1
近似值x1*=100的绝对误差限*(x1*)=2是近似值 x2*=10的绝对误差限*(x2*)=1的两倍. 但是,近似值100
的偏差不超过2, 而近似值10的偏差不超过1. 哪个近似
值的精度好呢？
一个近似值的精度不仅与绝对误差的大小有关, 还与精确值的大小有关. 为此我们需要引入相对误差 的概念.
3. 高效性: 它应该具有计算量小、占用存储单元 少、计算过程简单、规律性强等优点.
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《数值分析》课程主要介绍几类数学问题的经典 算法. 在学习中既要重视实际应用, 又要重视有关理论, 必须注意理解算法的设计原理和处理技巧, 重视基本 概念和理论——误差分析, 收敛性与稳定性. 认真完成 习题中的理论证明和计算方面的相关问题, 手算与上 机计算相结合, 同时注意培养利用计算机进行科学计 算的能力.
设x的近似值为x*, 则称x*的绝对误差e(x*)与精确
值x的比值为近似值x*的相对误差, 并记作er(x*),
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即
er(x* )e(x x* )x xx*
同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另
外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导,
当
|
e ( x*) x*
|
较小时,
有
e(x* )e(x* )e(x*x )* (x)
1 0.36787944 7 0.11237760 13 -7.2276483
2 0.26424112 8 0.10097920 14 102.18708
3 0.20727664 9 0.091187200 15 -1531.8061
4 0.17089344 10 0.088128000 :
5 0.14553280 11 0.030591000 :
所得计算结果的可靠性值得怀疑. 这一结果的产
生是由于四舍五入造成的.
例2: 计算下面积分的值( n = 0, 1, 2, ···):
Ine101xnexd.x
积分In的值必定落在区间[0, 1]内, 我们由被积函
数及其图形作出判断. A
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由分部积分法可得:
Ine101xndex
n=1,2,4,6, 8,10,15
x x*
xx*
[x*[ee((xx**))2]x] *1[e(exx(**x*)]2) x*
当x*x 时, 即e (x*)0 时, 上式是[e( x*) ]2
x*
的同阶无穷小, 故可忽略不计A .
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通常将 er*(x* )e(xx* * )x x* x* 作为近似值 x*的相对误差.
满足不等式
|er (x *| )|e(x x * *| )|x x* x*|r
这是一门与计算机紧密结合, 实用性很强的数学 课程.
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算法应具有的特点:
1. 可行性: 它只能包括计算机能够直接处理的加、 减、乘、除和逻辑运算, 以及计算机的内部函数, 并能 够在有限步结束.
2. 可靠性: 它应该有数学理论分析的支持,包括误 差分析、收敛性分析、数值稳定性分析等, 使得近似 解与精确解的误差可以任意地小.
当 x1*和 x2*的绝对误差都较小时, y – y*= f (x1, x2) – f (x1*, x2*)
f x 1 ( x 1 * x 2 * x , 1 x ) 1 * ( f x 2 ( ) x 1 * x 2 * x , 2 ) x 2 * ( 近似值y*的绝对误差的近似表达式为:
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除法相关的误差公式:
设
f
(x1,
x2)=
x x
1 2
e(x x1 2 )x 12 e(x1 )x x2 1 2e(x2 )
er(x x12 )er(x1)er(x2) |e(x x 1 2 )||x 1 2 2|(x |2 e(x 1 )||x 1 e(x2 )|)
|er(x x1 2 )||er(x1 )||er(x2 )|
满足不等式 |e(x*)| = | x–x*| *的正数*称为近
似值 x*的绝对误差限, 简称为误差限. 在工程技术中常记作 x=x*±*。 例如, 电压V=100±2(V), V*=100(V)是V的一个近
似值, 2(V)是V*的一个误差限, 即
| V–V*| 2(V)
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二、相对误差与相对误差限
这两个近似表达式给出了二元函数绝对误差和相对误
差的传播规律. 一般地讲, 我们比较注意二元运算中的 相关问题, 以下对加、减、乘、除四则运算进行讨论.
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加, 减法相关的误差公式: 设 f (x1, x2)= x1±x2 .
e ( x 1 x 2 ) e ( x 1 ) e ( x 2 ) e r (x 1 x 2 )x 1 1x 2 [x 1 e r (x 1 )x 2 e r (x 2 )] |e ( x 1 x 2 ) | |e ( x 1 ) | |e ( x 2 ) | |e r (x 1 x 2 )| |x 1 1 x 2 |[x 1 | e r (x 1 )| |x 2 e r (x 2 )|]
则截断误差为： R (x ) sx i n S 5 (x ) 7 1 !x 7 9 1 !x 9