设取 n位有效数字， 由定理1
1 10 ( n 1). 2a1
* r
由于
，就有 20 4.4 , 知 a1 4，故只要取 n 4
* r 0.125 103 103 0.1%,
即只要对
20 的近似值取4位有效数字，其相对误差限就
28
小于0.1%. 此时由开方表得 20 4.472 .
上界，即
e * x * x *
则 * 叫做近似值的误差限， 它总是正数.
11
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x ，读出和该长 度接近的刻度 x * ，x * ， 是 x的近似值，它的误差限是 0.5mm 于是
x * x 0.5mm.
则有 765 x 0.5 . 如读出的长度为 765mm ， 虽然从这个不等式不能知道准确的 x 是多少，但可知
764.5 x 765.5,
结果说明 x 在区间 [764.5, 765.5]内.
12
对于一般情形 x * x *，即
x * * x x * *,
也可以表示为
x x * *.
需要注意的是误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.
13
例如，有两个量 x 10 1 ， y 1000 5, 则
论与软件实现. 数值分析的主要内容： 本课程主要内容包括插值与数据逼近、数值微分与数 值积分、线性方程组的数值求解、非线性方程与方程组求 解、特征值计算、常微分方程数值解等.
2
虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像
纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧 密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论. 数值分析是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理 论体系的课程.
它们虽然写法不同，但都具有3位有效数字.
22
至于绝对误差限，由于单位不同所以结果也不同
* 1
1 10 2 m/s 2 , 2
* 2
1 10 5 m/s 2 , 2
但相对误差都是
* r 0.005 / 9.80 0.00005 / 0.00980.
注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差 与误差限是有量纲的.
似 f ( x)，其误差界记作 ( f ( x*)) ， 利用泰勒展开
f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*) f ( ) ( x x*) 2 , 2 介于x, x * 之间，
取绝对值得
f ( x) f ( x*) f ( x*) ( x*) f ( ) 2
按定义， 上述各数具有5位有效数字的近似数分别是
187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183.
注意： 的5位有效数字近似数是8.0000，而不是8， x 8.000033 因为8只有1位有效数字.
21
如果以 m/s2 为单位，g 9.80m/s 2 , 例2 重力常数g， 若以km/s2为单位， ，它们都具有3位有效 g 0.00980km/s 2 数字， 因为按第一种写法
以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围. 数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差. 当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求 它的近似解.
7
实际问题
数学模型
数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
8
例如，用泰勒(Taylor)多项式
f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n Pn ( x) f (0) x x x 1 ! 2! n!
1 10 ( n 1) ; 2a1
* r
1 反之，若 x *的相对误差限 10 ( n 1) ， 2( a1 1)
* r
则 x* 至少具有 n 位有效数字.
25
证明 由(2.1)′可得
a1 10m x * (a1 1) 10m ,
当 x *有 n 位有效数字时 x* 10 m (a1 a2 10 1 al 10 (l 1) ), (2.1) x x* 0.5 10 m n 1 1 * n 1 r 10 ; m x* a1 10 2a1 反之，由
（2.2）
19
按这个定义， 如取 x* 3.14 作为 π 的近似值， x *就有3位有效数字，
取 x* 3.1416 π ， x * 就有5位有效数字.
20
例1
按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的
近似数：187.9325, 0.03785551, 8.000033, 2.7182818.
首先要建立数学模型， 它是对被描述的实际问题进行抽象、 简化而得到的，因而是近似的. 数学模型与实际问题之间出现 的误差称为模型误差.
6
实际问题
数学模型
在数学模型中往往还有一些根据
观测得到的物理量，如温度、长度、 电压等等，这些参量显然也包含误差. 这种由观测产生的误差称为 数学模型 实际问题
观测误差.
1.2.3
数值运算的误差估计
* * * * 两个近似数 x1 与 x2 ，其误差限分别为 ( x1 ) 及 ( x2 )，
它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为
* * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 );
* * * * * * ( x1 x2 ) x1 ( x2 ) x2 ( x1 );
近似代替可微函数 f ( x) ， 则数值方法的截断误差是
f ( n ) ( ) n 1 Rn ( x) f ( x) Pn ( x) x , (n 1)!
在0与x之间.
有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受
计算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差，
计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差.
（）
24
定理1 设近似数 x *表示为
x* 10 m (a1 a2 10 1 al 10 (l 1) ), (2.1)
其中 ai (i 1,, l ) 是0到9中的一个数字，a1 0, m 为整数. 若 x *具有 n位有效数字， 则其相对误差限为
x* 10,
* x 1;
y* 1000,
* y 5.
* 大 4 倍， 虽然 * 比 但 y x
* y / y* 5 / 1000 0.5%
比
* x / x* 1 / 10 10%
要小得多，这说明 y * 近似 y 的程度比 x * 近似 x的程度好. 所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 x本身的大 小.
该位到 x *的第一位非零数字共有 n位，就说 x *有 n位有效
数字. 表示为
x* 10 m (a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ), （2.1）
其中 ai (i 1,, n)是0到9中的一个数字，a1 0, m为整数， 且
1 x x * 10 m n 1. 2
* r
* r
*
x*
.
16
根据定义，上例中 x 与 y 的相对误差限分别为
*x
x*
10%,
*y
y*
0.5%,
可见 y *近似 y的程度比 x *近似 x 的程度好.
17
当准确值 x位数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x 的前几位近似值 x * ，例如
x π 3.14159265
问题. 这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断 误差将结合具体算法讨论.
10
1.2.2
误差与有效数字
定义1 设 x为准确值， x * 为 x 的一个近似值，称
e* x * x
为近似值的绝对误差， 简称误差. 通常准确值 x是未知的，因此误差 e *也是未知的. 若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个
* * * * x1 ( x2 ) x2 ( x1 )
* * ( x1 / x2 )
x
* 2 2
* ( x2 0).
29
一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差， 其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计. 设 f ( x)是一元函数， x 的近似值为 x *，以 f ( x*)近
e* x * x, 知
e * e * e * ( x * x) x x* x* x
(e*) 2 x * ( x * e*) (e * / x*) 2 1 (e * / x*)
* 是 er 的平方项级，故可忽略不计.
相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限， 记作 ， 即
14
把近似值的误差 e *与准确值 x 的比值
e * x * x x x
* 称为近似值 x *的相对误差，记作 er .
通常取 实际计算中，由于真值 x总是未知的，
e* x * x e x* x*
* r * 作为 x *的相对误差， 条件是 er
e* 较小， 此时利用 x*
15
9
例如，用 3.14159 近似代替 π ，产生的误差
R π 3.14159 0.0000026
就是舍入误差. 此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数 产生的初始误差对数值计算也将造成影响. 分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差.
研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计
第 1章 数值分析与科学计算引论
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.2 数值计算的误差
1.3 误差定性分析与避免误差危害
1.4 数值计算中算法设计的技术