y kx m,
由
x2
4
y2
1
得
4k 2 1
x2 8kmx 4
m2 1
0．
需要满足 8km2 16 4k2 1 m2 1 0 ，即 m2 4k 2 1 ．
设点 P x1, y1 ， Q x2, y2 ，
则有
x1
x2
8km 4k 2 1
，
x1x2
4 m2 1 4k 2 1
同理可证 AH CE ．
因为 CE BD H , CE 平面 BCDE ， BD 平面 BCDE ，
所以 AH 平面 BCDE ． （2）解法 1：以 E 为原点， EB 所在直线为 x 轴， EC 所在直线为 y 轴，平行于 AH 的直线
为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz ，
M
且 CE, AH 平面 AEC ，所以 BE 平面 AEC ． 因为 AE 平面 AEC ，所以 BE AE ． 因为点 M ， N 分别为边 AE ， AB 的中点，
NE
D
H
所以 NM / /BE .
B
C
理科数学试题 A 第 5 页 共 15 页
所以 NM AE ． 所以 DMN 为所求二面角的平面角.
3
6
6
所以 A = 时， b 2a 2 7 sin A+ 取得最大值 2 7 ．
2
所以 b 2a 的最大值为 2 7 ．
18．解：（1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均
每月进行训练的天数不少于 20 天”记为事件为 A ，
则 P A 25 1 ．
理科数学试题 A 第 2 页 共 15 页
现从这 12 人中抽取 3 个，则“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的数量Y 服从超
几何分布，Y 的所有可能的取值为 0 ，1， 2 ， 3 ．
则 PY
0
C30C93 C132
21 ， P Y
55
1
C13C92 C132
27 55
，
P Y
2
c sin C
3 sin
2，
3
得
a
2sin
A
，
b
2
sin
B
2
sin
2 3
A
．
所以
b
2a
2 sin
2 3
A
4
sin
A
5sin A 3 cos A
2 7 sin A+ （其中 tan 3 ， 0 ）．
5
2
因为 0 A 2 ， 0 ，所以 0 A 5 ．
设椭圆的方程为 x2 a2
y2 b2
1a b
0 ，
则 2a 4，且 c a2 b2 3 ，所以 a 2 ， b 1．
所以曲线 C 的方程为 x2 y2 1． 4
（2）解法 1：依题意，直线 BP, BQ 的斜率均存在且不为 0，
设直线 BP 的斜率为 k k 0 ，则直线 BP 的方程为 y k x 2 ．
减，在 3, 上单调递增，
所以函数 f x 的单调递减区间为 0,3 ，单调递增区间为 3, ．
（2）解：由（1）可知，当 x 3, 时， f x 0 ．
所以要使 h x 0在区间 0, 上恒成立，
只需 g x 0 在区间 0,3 上恒成立即可．
因为
g x
0
a
1 3
x
1 ln
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D B C B C A C B C B
由图可知，二面角 B AE D 的平面角是钝角，
故二面角 B AE D 的余弦值为 3 ． 3
解法 2：在四棱锥 A BCDE 中，分别取 AE ， AB 的中点 M ，N ，连接 DM ，MN ，
ND ．
因为△ ADE 为等边三角形，所以 DM AE ，
A
因为 BE EC ， BE AH ， CE AH H ，
2
．即
y
2
3k 1 2k 2
x
2 3
．
此时直线
l
过定点
2 3
,
0
．
当k
2 2
时，直线
l
的方程为
x
2 3
，显然过定点
2 3
,0
．
综上所述，直线
l
过定点
2 3
,
0
．
解法 2：当直线 l 的斜率不存在时，设直线 l 的方程为： x x1 ．
设点 P x1, y1 ，则点 Q x1, y1 ，依题意 x1 2 ，
所以可得点
Q
的坐标为
2 2k 2 1 k2
, 2k 1 k2
．
当 k
2 2
时，直线 l 的斜率为 kPQ =
2
3k 1 2k 2
．
所以直线 l 的方程为
y 2k 1 k2
2
3k 1 2k 2
x
2 2k 2 1 k2
，
整理得 y 3k 2 1 2k 2
x
1
k 2k
二、填空题
13． 3 ， 3 3
14． 5
说明：第13题中第1个空2分，第二个空3分．
15． 10
16．16
三、解答题
17．解：（1）根据正弦定理 a b c ， sin A sin B sin C
得 abc 3 ． a2 b2 c2
因为 c 3 ，所以 ab a2 b2 c2 【或 ab a2 b2 3 】．
100 4 设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数为 ，
则
B
4，1 4
．
所以恰好抽到 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的概率为
P
2
C24
3 4
2
1 4
2
27 128
．
（2）用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取12 个，则其中“平均每月进行训练 的天数不少于 20 天”有 3 个．
3 2
2
1 2
2
6 2
2
3.
2 3 1
3
22
所以二面角 B AE D 的余弦值为 3 . 3
20．（1）解：设 M 的半径为 R ，因为 M 过点 A 3, 0 ，且与 N 相切，
所以
R
MA
,
即 MN MA 4 ．
MN 4 R,
因为 NA 4 ，所以点 M 的轨迹是以 N ， A 为焦点的椭圆．
z1
0,
m EB x1 0,
m 0, 2, 1 ．
B 取x
z A
E
D
H C
y
设平面 ADE 的法向量为 n (x2, y2, z2 ) ，
则
n
EA
3 3 y2
6 3
z2
0，
取
n
6, 2, 1 ．
n
ED
1 2
x2
3 2
y2
0，
所以 cos m, n m n 3 3 ． m n 3 3 3
C32C19 C132
27 220
， PY
3
C33C90 C132
1 220
．
所以 Y 的分布列如下：
Y
0
1
2
3
21
27
27
1
P
55
55
220
220
所以 E Y 0 21 1 27 2 27 3 1 165 = 3 ．
55 55 220 220 220 4
19．（1）证明 1：在图1中，因为△ ABC 为等边三角形，且 D 为边 AC 的中点， 所以 BD AC ． 在△ BCD中， BD CD ， BC 2， CD 1，所以 BD 3 ． 因为 D, E 分别为边 AC, AB 的中点，所以 ED / /BC ．
在图 2 中，有 DH ED 1 ，所以 DH 1 BD 3 ．
HB BC 2
3
3
因为 AB AD ，所以△ ABD 为直角三角形．
因为 AD 1 ， BD 3 ，所以 cos ADB AD 3 ． BD 3
在△ ADH 中，由余弦定理得
AH 2 AD2 DH 2 2AD DH cos ADB 1 1 21 3 3 2 ，
．
因为 y1 kx1 m ， y2 kx2 m ，
所以
y1 y2
kx1
m kx2
m
m2 4k 2
4k 2 1
．
因为 kBPkBQ
y1 x1 2
y2 x2 2
x1 x2
y1 y2
2 x1
x2
4
1 2
，
所以 x1x2 2x1 x2 4 2y1y2 ．
4 m2 1
理科数学试题 A 第 6 页 共 15 页
y k x 2,
由
x
2
4
y2
1,
得 1 4k 2 x2 16k 2 x 16k 2 4 0 ，
解之得
x1
2
，
x2
8k 2 2 1 4k 2
．
因此点
P
的坐标为
8k 2 2 1 4k 2
, 4k 1 4k 2