xx (m)Ex(n) x (n m)

N 1 jm Pxx () Pxx () lim x(n) x (n m) e N 2 N 1 m n N
1 N jn j ( n m ) lim x(n)e x (n m)e N 2 N 1 n N m
N 1 n 0 2
1 ˆ Pxx ( ) N
x(n)e
jn
1 2 X N ( ) N
进行功率谱估计(不通过自相关函数的估计)
将已知数据序列的傅立叶 变换的模的平方除以序列 长度作为功率谱的估计
计算效率高 频率分辨率低
1
• 研究现状
经典谱估计：
引
言
固有缺陷：原因：“加窗效应” 频率分辨率低 原因：加窗截取，认为窗以外的数据为零。
1
引
言
• 功率谱估计的应用
在信号处理的许多场所，要求预先知道信号
的功率谱密度(或自相关函数)。
常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数
估计。
从宽带噪声中检测窄带信号。
• 功率谱估计的应用
谱估计的分辨率可以粗略地定义为能够分辨出的 二个分立的谱分量间的最小频率间隙(距)。 例如：有一个随机信号，它包括二个频率相差1Hz振 幅相等的正弦波以及加性白噪声(白色噪声的方差是 正弦波功率的10％)。
N
2
功率谱的 真实值
2
才有意义
N 1 j n Pxx ( ) lim E x ( n ) e N 2 N 1 n N

1
• 谱分析
引
言
用有限的N个样本数据来估计平稳随机过 程的功率谱密度。
N 1 1 1 ˆ xx (m) x(n) x(n m) N n 0 N n
1967 Burg 最大熵 1968 Parzen 自回归AR 用参数模型来模拟信号 实际遇到的随机过程x(n)可以用ARMA模型来逼近 目前常用的求自回归模型系数的算法有三种： ①Levinson递推算法； ②Burg递推算法； ③正反向线性预测最小二乘算法。
2
经典谱估计
• 自相关函数的估计 • 周期图作为功率谱的估计 • 平滑后的周期图作为PSD的估计
令l nm
则上式可写成
1 jn jl Pxx ( ) lim x(n)e x(l )e N 2 N 1 n N l
N

1 jn lim x(n)e N 2 N 1 n N 实际上只有将上式求平均，成为
不难证明：
E e B
2 2
2 ˆ
1
• 估计质量的评价
一致估计：
引
言
当N趋向于无穷大时，谱估计趋向于真实的谱密度。
N N
ˆ 0 Bias ˆ 0 Var
正确的估计应该满足一致估计的条件，此为正确估计的必要条件 反之，若估计方法不满足一致估计的条件，则它一定是不正确的
n
x

N
(n) xN (n m)
对自相关函数进行估计，然后再通过式 作傅氏变换得功率谱估计值。
m
jm ˆ ˆ P xx ( ) xx (m)e
已知数据取样自相关函数功率谱
1
• 研究现状
经典谱估计：
引
言
直接法(周期图法 )
将观察到的有限个样本数据利用FFT算法作傅氏变换，直 接按式
x

N
(n) xN (n m)
功率谱的 估计值
ˆ (m)e jm ˆ ( ) P xx xx
或 其中
1 ˆ Pxx ( ) N
x(n)e
n 0
N 1
m
2 jn
1 2 X N ( ) N
周期图
xN (n) RN (n) x(n) xN (n m) RN (n m) x(n m)
1
• 估计质量的评价
无偏估计
引
言
θ：某个随机变量的真值 ˆ ：它的估计值
ˆ 的偏差(Bias)为零 。所谓偏差(用B表示)定义为 ˆ] E ( ˆ) B Bias[
估计1和估计2 都属于无偏估计； 估计2较之估 计1方差小；
1
• 估计质量的评价
最小方差估计
方差
引
言
θ：某个随机变量的真值 ˆ ：它的估计值
ˆ
2

ˆ] Var[

2 ˆ ˆ E E[ ]


为最小的估计。
2 2 ˆ ˆ ˆ Var[ ] E[ ] E [ ]
1
• 估计质量的评价
均方误差
引
言
θ：某个随机变量的真值 ˆ ：它的估计值
2 2 ˆ ˆ MS ( ) E e E ( )
频谱能量向旁瓣泄漏 原因：加窗截取，频域产生旁瓣和主瓣宽度不是无限 窄的现象。 周期图的缺陷：非一致估计 当数据量增至无限多时，周期图的方差并不趋近于零， 而是趋近于常数。
“加窗效应”
矩形序列 其傅立叶变换为
幅度谱
“加窗效应”
各种窗函数的频谱
1
• 研究现状
现代谱估计：引来自言以随机过程的参数 模型为基础
用三种不同的谱估计方法检测这二个正弦分量的效果。
(a) 经典BT PSD法
(b) 最大熵谱估计法
(c) Pisavcnko 谐波分解法
1
• 研究现状
引
言
功率谱估计的方法：教材P489 图10.7.1
1
• 研究现状
经典谱估计：
先通过式
引
言
以傅立叶变 换为基础
间接法(BT PSD估计法 )
N 1 1 1 ˆ xx (m) x(n) x(n m) N n 0 N
谱 估 计
主要内容
• 引言
• 经典谱估计 • 现代谱估计
1
引
言
概述 估计质量的评价 功率谱估计的应用 研究现状
1
引
言
• 随机信号的功率谱密度(函数)，是 其自相关函数的傅氏变换。
前提：均值为零
Pxx ( )
m
jm ( m ) e xx

X(n)的自 相关函数