ˆx'x (m)的偏差为零。
即：lim N
E
x' x
(m)
-
x（x m)
0
因此，ˆx'x (m)是x（x m)的渐近无偏估计。
其估计方差为：
2
var
ˆx'x (m)
N
-m N
var ˆxx (m) var ˆxx (m)
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ˆx'x (m)是xx (m)的渐近无偏一致估计，
且其估计方差小于ˆxx (m)的估计方差
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（b）直接法（又称周期图 （periodogram)法）
对观测到的数据样本直接进行傅里叶变换
取模的平方，再除以N
得到功率谱估计。 不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算， 在FFT出现以后，周期图法才得到了广泛的应 用。
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（2）现代谱估计
其基本思想是根据已有的观测数据，建 立信号所服从的模型，从而在观测不到 的区间上，信号的取值服从模型的分布 情况，不再认为是零。
得到x(n)的功率谱的估值。
M
Pˆxx (w) ˆxx (m)e- jwm , M N -1 m-M
由于Pˆxx (w)是通过x(n)的自相关函数间接得到的， 所以又称为间接法。
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(3)采用FFT计算上式功率谱。
设FFT变换域为(0 ~ L -1)，须将求和域(-M，M )
移到(0 ~ L -1)。
所以一般用(有偏估计)渐近无偏估计ˆx'x (m)
L-1
Pˆxx (w) ˆxx (m)e- jwm m0
ˆxx
(m)
ˆxx (m) 0 m M
0 M 1 m L-M
ˆxx (m - L) L - (M +1) m L -1
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经FFT变换,得:
Pˆxx (k) FFT
ˆxx (m)
L-1
ˆxx
-
(m)e
j
2
L
km
m0
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第二节 经典谱估计方法
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一、相关图法
根据维纳-辛欣定理，1958年Blackman和Tukey 给出了相关图法的具体实现。
(1)计算随机信号x(n)的自相关函数：
xx (m) E[x(n)x(n m)]
(2)若 xx (m) m-
可由xx (m)的傅里叶变换得到它的功率谱。
量及频谱利用率。 空时二维自适应信号处理是新一代机载雷达的一项
关键技术。
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2、随机信号的频域分析
随机信号是无始无终，能量无限的信 号，其傅里叶变换不收敛，因而不能 确定此类信号的频谱。
随机信号能量无限，其功率未必无限， 因而常用功率谱来描述其频率特性。
随机信号自相关函数的傅里叶变换是 信号的功率谱密度。
E（x n)x(n m)E x(k)x(k m) E （x n)x(k)E x(n m)x(k m) E（x n)x(k m)E x(n m)x(k)
2 xx
(m)
2 xx
(k
-
n)
xx
(k
m
-
n)xx
(k

m
-
n)
(2)
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所以：E ˆx2x (m)
1
N - m
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4、谱估计的分类
功率谱估计分为两大类： （1）经典谱估计（非参数化方法）（线
性谱估计）。 （2）现代谱估计（参数化方法）（非线
性谱估计）。
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（1）经典谱估计 （非参数化方法）
实质上仍依赖于传统的傅里叶变换法。 经典的谱估计法又分为两种：
（a）相关图法（又称间接法（BT法））。是由 布莱克曼(R.B.Blackman)和图基(J.W.Tukey)于 1958年提出的，称为BT法。
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3、谱估计定义
谱估计或功率谱估值：根据有限个观测 数据，估计平稳随机信号的功率谱。
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3、谱估计的应用
谱估计的应用遍及雷达、声纳、通信、生物 医学、地震勘探等诸多领域。
在雷达信号处理中，由回波信号功率谱密度、 谱峰的密度、高度和位置，可以确定运动目 标的位置、幅射强度和运动速度等。
第五章 功率谱估计
1
第一节 引言
2
1、信号与系统的分析研究方法
（1）在时域进行（一维信号） （2）在频域进行（一维信号） （3）在时频域进行（二维信号） （4）在空域进行（多维信号）
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（1）在时域进行
如我们前面所学的维纳滤波、卡尔曼滤 波和自适应滤波都属于这种方法。
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的一批样本，共有N个值。 估计的方法有两种： (a)有偏自相关函数估计
(b)无偏自相关函数估计
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它的自相关函数由下式估计：
ˆxx (m)
N
1 -m
N - m -1
x(n)x(n m),
n0
m
N
1
式中ˆxx (m)的长度为2N－1。
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(2)求ˆxx (m)的离散傅里叶变换，
在被动式声纳信号处理中，谱峰的位置可提 供鱼雷的方向（方位角）。
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在生物医学工程中，有关生理电信号的功率 谱密度的谱峰可以指示癫痫病的发作周期。
在电子战中，谱分析可用来对目标进行分类， 识别等。 根据信号、干扰与噪声的功率谱，可设计适 当的滤波器，尽量不失真地重现信号，最大 限度地抑制干扰与噪声。
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(3)求功率谱。
Pxx (w) xx (m)e- jmw m-
Pxx (w)是通过x(n)的自相关函数 间接得到的，所以，也称为间接法。
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二、相关图法功率谱估计步骤
(1)先估计随机信号x(n)的自相关函数。
设x(n), n 0,1,L , N -1为实随机序列x(n)
2
E x(n)x(n m)x(k)x(k m) （1）
N - m n0 k0
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当随机序列x(n)是零均值实正态序列时，
它的各高阶矩都可以用其一阶和二阶矩来表示：
Ex1x2x3x4=Ex1x2 Ex3x 4+Ex1x3Ex2x 4+Ex1x 4Ex2x3
则：E（x n)x(n m)x(k)x(k m)
（b）直接法（又称周期图periodogram法）。 是由舒斯特(Schuster)于1898年提出的。
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（a）间接法（BT法）
BT法又称为相关图法 对信号序列估计求其自相关函数值
对自相关函数的估计进行加权
对加权的自相关函数做傅里叶变换
获得功率谱估计。
直到1965年快速傅里叶变换算法（FFT） 问世以前，是最流行的谱估计方法。
时频分布可分为线性时频表示（如短时傅立叶变换、 小波分析等）和非线性时频表示。
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（4）在空域进行
空域信号处理器是雷达必不可少的最重要分系统。 阵列信号处理。属于空域信号处理。 空域相关去噪法。是一种新的自适应小波滤噪法。 极化域——空域联合谱估计。 分布式移动通信系统。充分利用空域来提高系统容
l 0(即k n)的情况将出现N - m 次，
l 1的情况将出现N - m -1次。
依此类推，不同的l的情况，
出现的次数将为N - m - l 。
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上式可写成：var ˆx（x m)
1
N - m
N - m -1
2
(N - m - l ) x2x (l) xx (l m)xx (l - m)
等于序列x(n)的自相关函数的真实值。
因此，ˆxx (m)是自相关函数xx (m)的无偏估计。
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(b)其次求ˆxx (m)的方差
根据方差定义：
var ˆxx (m) E ˆx2x (m) - E2 ˆxx (m)
式中第一项：
E ˆx2x (m)
1
N - m -1 N - m -1
l -( N - m -1)
N N-m
2
N - m -1
(1-
l -( N - m -1)
m N
l
) x2x (l) xx (l m)xx (l - m)
N N-m
N - m -1
2
x2x (l) xx (l m)xx (l - m)
l -( N - m -1)
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(i)当N ? m时，上式以1 N 趋于零，即
k 0,1, 2,L L -1
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三、相关图法功率谱估计质量
用x(n)的N 个有限值得到
自相关函数的估计ˆxx (m)，
它与信号本身自相关函数
xx (m)有一定程度的差别。 它对相关图法的估计性能有很大影响。
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(1)讨论ˆxx (m)接近xx (m)的程度。 主要由ˆxx (m)的估计偏差和估计方差来衡量。
（2）在频域进行
对确定性信号傅里叶变换是在频率域分析 研究的理论基础。
对随机性信号其傅里叶变换并不存在，因 此研究它的功率谱。
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（3）在时频域进行（二维信号）
时频分析是一种新的信号分析方法，对于非平稳信 号、宽带信号，采用时频分析方法显得特别重要， 近年来得到越来越广泛的重视。
由于时频特征分离的固有性质，使局限时间或频谱 的一维信号处理扩展到二维的时频平面，信号的时 频特征得到了分离，对信号的分析可以具体到信号 的特定时间和特定频率，全面反映观测信号的时频 联合特征，相应的时频滤波也变得更为容易、更为 直观 。
对于不同的样本，得出的估计是不同的， 且估计值是一个随机变量。
通过确定它们的均值、方差等参数，