20．(本小题满分 16 分) 若数列{an}满足：对于任意 n∈N*，an＋|an＋1－an＋2|均为数列{an}中的项，则称数列{an}为“ T 数列”． （1）若数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2，n∈N*，求证：数列{an}为“ T 数列”； （2）若公差为 d 的等差数列{an}为“ T 数列”，求 d 的取值范围； 2 （3）若数列{an}为“ T 数列”，a1＝1，且对于任意 n∈N*，均有 an＜an2 ＋1－a n ＜an＋1，求数列{an}的通 项公式．
(第 3 题图)
(第 4 题图)
学
2018.05
4．根据如图所示的伪代码，可知输出 S 的值为________ ▲ ． 5． 已知 A， B， C 三人分别在连续三天中值班， 每人值班一天， 那么 A 与 B 在相邻两天值班的概率为________ ▲ ．
x－y－3≤0， y 6．若实数 x，y 满足x＋2y－5≥0，则 的取值范围为________ ▲ ． x y－2≤0，
D．选修 4—5：不等式选讲 已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1，求 2a＋b＋ 2b＋c＋ 2c＋a的最大值．
5 南京清江花苑严老师
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答 卷卡指定区域内 作答．解答应写出 ． ．．．．．．． 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 A(1，a) (a＞0)是抛物线 C 上一 点，且 AF＝2． （1）求 p 的值； （2）若 M，N 为抛物线 C 上异于 A 的两点，且 AM⊥AN．记点 M，N 到直线 y＝－2 的距离分别为 d1， d2，求 d1d2 的值． y M A · OF x
……………………………10 分 ……………………………12 分
4 3 13 1 3 3 3 × － × ＝ ． 7 14 7 14 2
因为 α 为锐角，所以 0＜2α＜π．
7 南京清江花苑严老师
π 又 cos2α＞0，所以 0＜2α＜ ， 2 π π π 又 β 为锐角，所以－ ＜2α－β＜ ，所以 2α－β＝ ． 2 2 3 16．(本小题满分 14 分) （1）证明：如图 1，连结 PE． 因为△PBC 的边长为 2 的正三角形，E 为 BC 中点， 所以 PE⊥BC， 且 PE＝ 3，同理 AE＝ 3． 因为 PA＝ 6，所以 PE2＋AE2＝PA2，所以 PE⊥AE．……4 分 因为 PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC 平面 ABC， 所以 PE ⊥平面 ABC． 因为 PE平面 PBC， 所以平面 PBC⊥平面 ABC． （2）解法一 如图 1，连接 CD 交 AE 于 O，连接 OM． 因为 PD∥平面 AEM，PD平面 PDC，平面 AEM∩平面 PDC＝OM， 所以 PD∥OM， PM DO 所以 ＝ ． PC DC 因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，CD∩AE＝O， DO 1 所以 O 为ABC 重心，所以 ＝ ， DC 3 1 2 所以 PM＝ PC＝ ． 3 3 解法二 如图 2，取 BE 的中点 N，连接 PN． 因为 D，N 分别为 AB，BE 的中点， 所以 DN∥AE． 又 DN平面 AEM，AE平面 AEM， 所以 DN∥平面 AEM． 又因为 PD∥平面 AEM，DN平面 PDN，PD平面 PDN，DN∩PD＝D， 所以平面 PDN∥平面 AEM． ………………………………9 分
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分 14 分) 2 7 解： （1）因为点 P 的横坐标为 ，P 在单位圆上，α 为锐角， 7 所以 cosα＝ 2 7 ， 7 ………………………………2 分 ………………………………4 分 ………………………………6 分 ………………………………8 分
x2 y2 8．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 2a，则 a b 该双曲线的离心率为________ ▲ ． 9．若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，n∈N*，且 a1=1，S6=3S3，则 a7 的值为________ ▲ ．
P M
A D B E
C
17．(本小题满分 14 分)
(第 16 题图)
如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段 AB，AC 和以 BC 为直径的半圆弧⌒ BC 组成，其中 AC 为 2 π 百米，AC⊥BC，∠A 为 ．若在半圆弧⌒ BC ，线段 AC，线段 AB 上各建一个观赏亭 D，E，F，再修两 3 π π 条栈道 DE，DF，使 DE∥AB，DF∥AC. 记∠CBD＝θ（ ≤θ＜ ） ． 3 2 （1）试用 θ 表示 BD 的长； （2）试确定点 E 的位置，使两条栈道长度之和最大.
N
(第 22 题图)
23．(本小题满分 10 分) 已知 fn(x)＝ ∑ A
i ＝1 n －1
n －i n n x(x＋1)…(x＋i－1)，gn(x)＝An＋x(x＋1)…(x＋n－1)，其中
x∈R，n∈N*且 n≥2．
（1）若 fn(1)＝7gn(1)，求 n 的值； （2）对于每一个给定的正整数 n，求关于 x 的方程 fn(x)＋gn(x)＝0 所有解的集合．
南京市 2018 届高三年级第三次模拟考试 数
注意事项： 1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题） 、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本试卷满 分为 160 分，考试时间为 120 分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题 ．． 纸 上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． ． 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位 置上） 1．集合 A＝{x| x2＋x－6＝0}，B＝{x| x2－4＝0}，则 A∪B=________ ▲ ． 2．已知复数 z 的共轭复数是－ z ．若 z(2－i)＝5，其中 i 为虚数单位，则－ z 的模为________ ▲ ． 3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了 500 名学生，他们的每天在校平均开销 都不低于 20 元且不超过 60 元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的 学生人数为________ ▲ ． S←1 I←1 Whil Print S
1 所以 cos2α＝2cos2α－1＝ ． 7 3 3 3 3 （2）因为点 Q 的纵坐标为 ，所以 sinβ＝ ． 14 14 13 又因为 β 为锐角，所以 cosβ＝ ． 14 因为 cosα＝ 2 7 21 ，且 α 为锐角，所以 sinα＝ ， 7 7 4 3 ， 7
因此 sin2α＝2sinαcosα＝ 所以 sin(2α－β) ＝
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南京市 2018 届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案
说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视 影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的 错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位 置上） 1．{－3，－2，2} 8． 5 9．4 2． 5 10．2 3．150 11．x＋2y－4＝0 4．7 2 5． 3 12．－3 2 6．[ ，2] 11 2 5 13． 9 7． ①③ 14．[e2，4e]
M A
B
N (第 21A 题图)
C
B．选修 4—2：矩阵与变换
1 2 已知矩阵 A＝ 0 1 求直线 l1 的方程．
，B＝2 0 ，若直线 l: x－y＋2＝0 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到直线 l ， 1 0 1
C．选修 4—4：坐标系与参数方程 π π 在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P（2， ） ，圆心 C 为直线sin(θ－ )＝－ 3与极轴的交点，求圆 C 的 3 3 极坐标方程．
x ＋x＋a，0≤x≤2， 10．若 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，且 f(x)＝ 则 f(a+1)的值为________ ▲ ． －6x＋18，2＜x≤3，
2
11．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0 与 x 轴的两个交点分别为 A，B，其中 A 在 B 的右侧，以 AB 为直径的圆记为圆 N，过点 A 作直线 l 与圆 M，圆 N 分别交于 C，D 两点．若 D 为线 段 AC 的中点，则直线 l 的方程为________ ▲ ． 2 → → →→ →→ 12．在△ABC 中，AB=3，AC=2，D 为边 BC 上一点．若 AB · AD ＝5， AC · AD ＝－ ，则 AB ·AC 的值为 3 ▲ ． ________ c b 13．若正数 a，b，c 成等差数列，则 ＋ 的最小值为________ ▲ ． 2a＋b a＋2c 14．已知 a，b∈R，e 为自然对数的底数．若存在 b∈[－3e，－e2]，使得函数 f (x)＝ex－ax－b 在[1，3]上 存在零点，则 a 的取值范围为________ ▲ ． 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 α，β 的顶点为坐标原点 O，始边为 x 轴的正半轴，终边与单位圆 O 2 7 3 3 的交点分别为 P，Q．已知点 P 的横坐标为 ，点 Q 的纵坐标为 ． 7 14 （1）求 cos2α 的值； （2）求 2α－β 的值.