y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
y
y f ( x)
y
y y
y f ( x)0源自x x0 x 0 x x
x
0
x0
x 0 x
x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如 果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
注意
定理4是定理3的特殊情况.
1 例如, u 在 ( , 0) (0, )内连续, x y sin u 在(, )内连续,
1 y sin 在 ( , 0) (0, )内连续. x
四、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
1.跳跃间断点 如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都
存在, 但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x )的跳跃间断点.
x, 例4 讨论函数 f ( x ) 1 x , x 0, 在x 0处的连续性. x 0,
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
定义 2
设函数 f ( x ) 在U ( x 0 ) 内有定义,如果
函数 f ( x ) 当 x x 0 时的极限存在,且等于它在 点 x 0 处的函数值 f ( x 0 ) ,即 lim f ( x ) f ( x0 ) x x
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数.
, 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续 2 2 故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续 .

同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续 ; y arctan x, y arc cot x 在[,]上单调且连续 .
lim 数的增量y 也趋向于零,即x 0 y 0
x 0
或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如, 有理整函数在区间 ,)内是连续的 ( .
例3 证明函数 y sin x在区间( ,)内连续. 证
任取 x (,),
x x cos( x ) 2 2 x 则 y 2 sin . 2
y sin( x x ) sin x 2 sin
lim lim f [ ( x )] f (a ) f [ x x ( x)]. x x
0
0
意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
2.变量代换( u ( x ))的理论依据 .
ln(1 x ) . 例9 求 lim x 0 x
解 原式 lim ln(1 x )
第九节
函数的连续与间断
一、函数的连续性
二、函数的间断点及其分类
三、连续函数的运算 四、初等函数的连续性 五、闭区间上连续函数的性质
六、小结 思考题
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y
2 1
o
1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点 函数在点x0处的左、右极限都存在 .
3.第二类间断点 如果 f ( x )在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 . 1 例6 讨论函数 f ( x ) x , x 0,在x 0处的连续性. x , x 0, y
三、连续函数的运算
定理1
若函数 f ( x ), g ( x )在点 x0处连续,
f ( x) 则 f ( x ) g ( x ), f ( x ) g ( x ), ( g ( x0 ) 0 ) g( x ) 在点 x0处也连续.
例如, sin x, cos x在(,)内连续,
y
解
f (0 0) 0,
f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点 .
o
x
2.可去间断点如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 ,
但 lim f ( x ) A f ( x0 ), 或 f ( x )在点 x0处无定 x x
0
那末就称函数 f ( x ) 在点x 0 连续.
" " 定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x ) f ( x0 ) .
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x 0, x 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x
同理可得
1 ln(1 y )
1 y
1.
ax 1 lim ln a . x 0 x
定理4
设函数 u ( x ) 在点 x x0连续, 且
( x0 ) u0 , 而函数 y f ( u) 在点 u u0 连续, 则复合函数 y f [( x )]在点 x x0也连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
x 2 , x 0, 例2 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
解 lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
反三角函数在其定义域内皆连续.
定理3
若 lim ( x ) a , 函数 f ( u)在点a连续,
x x0 x x0
则有 lim f [( x )] f (a ) f [ lim ( x )].
x x0
证
f (u)在点 u a连续,
0, 0, 使当 u a 时, 恒有 f ( u) f (a ) 成立.
lim f ( x ) limcos x 1,
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
(1) f ( x )在点x0处有定义;
( 2) lim f ( x )存在;
x x 0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 则称 , 函数 f ( x )在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
又 lim ( x ) a, x x
0
对于 0, 0, 使当 0 x x0 时,
恒有 ( x ) a u a 成立.
将上两步合起来:
0, 0, 使当0 x x0 时,
f ( u) f (a ) f [ ( x )] f (a ) 成立.
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
★
1, 当x是有理数时, f ( x) 1, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续. 判断下列间断点类型:
y
y f x
x1
o
x2
x3
x
例8 当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0, 解 f ( 0) a ,
又 f (0) 0,
lim f ( x ) f (0), x 0
由定义2知
函数 f ( x )在 x 0处连续.
3.单侧连续
若函数f ( x )在(a , x 0 ]内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数f ( x )在[ x 0 , b)内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续.
x 0 1 x
ln[lim(1 x ) ] ln e 1. x 0
1 x
ex 1 . 例10 求 lim x 0 x
解
令 e x 1 y,
则 x ln(1 y ),
当x 0时, y 0.
y lim 原式 lim y0 y 0 ln(1 y )
(均在其定义域内连续 )
定理5
x 1
f (1 0) 2,
lim f ( x ) 2 f (1),
x 0为函数的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
如例5中, 令 f (1) 2,
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) x 1, 1 x , 在x 1处连续.
连续的.
★ 指数函数 y a x
(a 0, a 1)
在(,)内单调且连续 ;
★ 对数函数 y loga x
(a 0, a 1)
在(0,)内单调且连续;
★
y x a log