在点x 处连续. 则称函数 y = f (x) 在点 0处连续 处连续的三个条件( 【注】f (x)在x0处连续的三个条件(三条缺一不可) )
; ① f ( x)在x0的某邻域内有定义
lim ② x→x f ( x) ;
0
x→x0
lim f ( x) = f ( x0 )
lim ③ x→x f ( x) = f ( x0 ). 0 "ε δ "定义:
f ( x)在x0连续 ε > 0, δ > 0, 使当x x0 =| x |< δ 时 , 恒有 f ( x) f ( x0 ) < ε .
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1 x sin , 补例1】 【补例 】 试证函数 f ( x ) = x 0, 处连续
【证】
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x ≠ 0, x = 0,
f ( x )的跳跃间断点 . x, 补例4】 【补例 】讨论 f ( x ) = 1 + x ,
x ≤ 0, x > 0,
在x = 0处的连续性
y
【 解 】 f ( 0 0 ) = 0,
f (0 + 0) = 1,
∵ f (0 0) ≠ f (0 + 0),
1
o
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∴ x = 0为函数的跳跃间断点 . 为函数的跳跃间断点
相关结论】 【相关结论】 ④ y = sin x 及 y = cos x 在 R 内连续 .
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二,函数的间断点
在点x 连续必须满足的三个条件 函数 f (x) 在点 0处连续必须满足的三个条件
; ① f ( x)在x0的某邻域内有定义 lim ② x→x f ( x) ;
0
有定义, lim 存在, ③虽在 x=x0 有定义,且 x→x f ( x) 存在,但 →
x→x0
lim f ( x) ≠ f ( x0 )
0
不连续( 间断), ),并称 则函数 f (x) 在点 x0 处不连续(或间断),并称 不连续点( 间断点) 点 x0 为 f (x) 的不连续点(或间断点).
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【相关结论】 相关结论】 ① 有理函数 ( 多项式 ) 在区间 ( ∞ ,+∞ )内是连续的 . ∵§5中已证多项式 f (x)有 lim f ( x) = f ( x0 ) )
x→x0
②
P( x) (Q ( x0 ) ≠ 0 ) 有理分式函数 F ( x ) = Q( x ) 在定义域内连续. 在定义域内连续.
∵ Q( x0 ) ≠ 0 时, F( x) = F( x0 ) 已证 lim
x→x0
③ 函数 y =
x 在 (0,+∞ )内是连续的
0
lim ∵§3 例5 已证明 x0 > 0时, x x = x0 x→
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【例3】 证明函数 y = sin x在区间( ∞ ,+∞ )内连续. 】 【证】 任取 x ∈ ( ∞ ,+∞ ),
y x . . 则称 = f ( x)在点 0处连续x0称为连续点
设 x = x0 + x, y = f ( x) f ( x0 ), x → 0 就是 x → x0 ,
y → 0 就是 f ( x ) → f ( x0 ). 故定义又可叙述为 :
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定义2】 ⑶【定义 】 设函数 y = f ( x ) 在 U ( x0 , δ )内有定义 , 如果
如果函数在开区间 (a , b )内连续, 并且在左端点 x = a处右连续, 在右端点 x = b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续. 记 f ( x) ∈C[a, b].
几何表现】 【几何表现】
闭区间[a,b]上的连 上的连 闭区间 续函数的集合
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
x x y = sin( x + x ) sin x = 2 sin cos( x + ) 2 2 x x ∵ cos( x + ) ≤ 1, 则 y ≤ 2 sin . 2 2
对任意的 α , 当α ≠ 0时,
有 sin α < α ,
x ∴当x → 0时, y → 0. 故 y ≤ 2 sin < x , 2 即 函数 y = sin x对任意 x ∈ ( ∞ ,+∞ )都是连续的 .
增量的几何解释】 【增量的几何解释】 y
y = f (x)
y
y
y = f (x)
y
x
0 x0 + x
0
x0
x x 0 + x x
x0
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x
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2.【连续的定义】 . 连续的定义】
⑴【概念描述】 概念描述】 , 若当 x → 0时 y → 0,即lim y = 0
x→0
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或
x→0
lim[ f ( x0 + x) f ( x0 )] = 0,
y x . 则称 = f ( x)在点 0处连续
y U , 内有定义 如果 ⑵【定义1】 定义1 设函数 = f ( x)在 ( x0 ,δ ) lim y = lim[ f ( x0 + x) f ( x0 )] = 0,
x→0 x→0
定理】 ⑶【定理】
f ( x)在 x0 处连续 f ( x)在 x0处既左连续又右连续
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x + 2, 补例2】 【补例 】 讨论函数 f ( x ) = x 2, 连续性
x ≥ 0, 在 x = 0处的 x < 0,
【解】
x →0 x →0
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 2) = 2 = f (0),
在x = 0
f (x) 在x0的邻域内显然有定义
1 ∵ lim x sin = 0, x→0 x
又 f ( 0 ) = 0,
由定义2知 由定义 知
lim f ( x ) = f (0), x →0
函数 f ( x )在 x = 0处连续
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3.【单侧连续】 . 单侧连续】
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如例5中 如例 中, 令 f (1) = 2,
y
2 1
2 x , 0 ≤ x < 1, 则 f ( x) = x ≥ 1, 1 + x , 在x = 1处连续 .
o
1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点】 【特点】 函数在间断点 x0处的左,右极限都存在 . 处的左, 左右极限存在且相等 相等. 可去型 : 左右极限存在且相等. 跳跃型: 左右极限存在但不相等 不相等. 跳跃型: 左右极限存在但不相等.
x →0 x→0
lim f ( x ) = lim ( x 2) = 2 ≠ f (0),
右连续但不左连续, 右连续但不左连续,
故函数 f ( x )在点 x = 0处不连续 .
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4.【连续函数与连续区间】 【连续函数与连续区间】
在区间上每一点都连续的函数, 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 连续函数,或者说函数在该区间上连续 函数在该区间上连续. 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
y
【解】 f ( 0 0) = 0, f (0 + 0) = +∞ ,
∴ x = 1为函数的第二类间断点
o
x
这种情况称为无穷间断点 这种情况称为无穷间断点
+ f ( x0 ) 与 f ( x0 ) 中至少有一个是 ∞ , 称之 . 特点】 【特点】
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1 【例7】 讨论函数 f ( x ) = sin 在 x = 0处的连续性 . 】 x
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2.【函数间断点的几种常见类型】 【函数间断点的几种常见类型】
(1).【第一类间断点】(左右极限都存在的点). 【第一类间断点】 左右极限都存在的点).
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①[跳跃间断点]如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都 跳跃间断点]
+ 存在, 但 f ( x0 ) ≠ f ( x0 ), 则称点 x0为函数
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1. 【间断点定义】 间断点定义】
在点x 某去心邻域内有定义 有定义. 设函数 f (x) 在点 0的某去心邻域内有定义.如果 有下列三种情形之一 之一: 函数 f (x) 有下列三种情形之一: 没有定义; ①在 x=x0 没有定义;
lim 有定义, 不存在; ②虽在 x=x0 有定义,但 x→x f ( x)不存在; →
0
lim ③ x→x f ( x) = f ( x0 ).
0
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 如果上述三个条件中只要有一个不满足,则 【描述】 描述】 不连续( 间断), 称函数 f (x) 在点 x0 处不连续(或间断), 不连续点( 间断点) 并称点 x0 为 f (x) 的不连续点(或间断点).
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第八节 函数的连续性与间断点 一,函数的连续性 二,函数的间断点 三,小结 思考题