第六章 不等式课 题：基本不等式教学目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不 等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。

教学重点：2a b+≤的证明过 程。

教学难点：2a b+≤等号成立条件。

教学过程： 1.课题导入2a b+≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为222)(2b a ab b a -=-+当a b ≠时22,()0,,()0,a b a b a b ->=-=当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）2a b+特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+2）2a b+≤用分析法证明：要证2a b+≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2（4） 显然，（4）是成立的。

当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。

3）2a b+≤的几何意义 探究：课本第110页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。

过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。

2a b+的几何解释吗？易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.2a b+≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题]例1 已知x 、y 都是正数，求证：(1)yxx y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3. 分析：在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. 4.小结重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2ba +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2ba +≥ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.第六章 不等式课 题：基本不等式教学目标：2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题教学重点：2a b+≤的应用教学难点：2a b+求最大值、最小值。

教学过程： 1.课题导入1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 3.我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数. ab b a ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数。

2.讲授新课例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy=100，篱笆的长为2（x+y ） m 。

由2x y+≥可得 x y +≥ 2()40x y +≥。

等号当且仅当x=y 时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. （2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （36－2x ）＝21·2x （36－2x ）≤2122236236()28x x +-=当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m 2。

由18922x y +==，可得 81xy ≤ 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000xx l ++= 29760040272024000016002720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥xx 当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx ==因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 3.随堂练习1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少? 2．课本第113页的练习1、2、3、4 4.课时小结用均值不等式求函数的最值，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

第六章 不等式课 题：基本不等式教学目标：2a b+≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题教学重点：2a b+≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值教学难点：利用此不等式求函数的最大、最小值。

教学过程： 1.课题导入1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba22a b+≤求最大（小）值的步骤。

2.讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m>0,求证24624m m+≥。

[思维切入]因为m>0,所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。

[证明]因为 m>0,，由基本不等式得246221224m m +≥=⨯= 当且仅当24m=6m ，即m=2时，取等号。

规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和246m m⨯=144为定值的前提条件。

3.随堂练习1[思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+.例2 求证:473a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明]443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43a -=a-3即a=5时,等号成立.规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 2)利用不等式求最值例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x =+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x =+的最大值.[思维切入]本题(1)x>0和94x x⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.解 1) 因为 x>0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12.(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥=,所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-即x=-32时, 9()4f x x x=+取得最大-12. 规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 随堂练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值. [思维拓展2] 若x>0,y>0,且281x y+=,求xy 的最小值. 4.课时小结2a b+≤证明不等式和求函数的最大、最小值。