第11课：基本不等式与双√函数
一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x
q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p
q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0<<q p 时，函数图像关于X 轴对称，为二、四象限倒双√；
（4）当0<pq 时，不是双勾图像。

研究：以x
x y 23-=为例
二、基本不等式ab b a ≥+2
1、一正：只要b a 、为正，上式就是恒成立！
2、二定：当利用基本不等式求一端的最值时，则必须配凑出不等式另一端是定值！
积定和最小，____________________________；
3、三相等：用来验证等号能否取；当求最值时则是验证最值能否取到！成败的关键！ .)2(23的最小值示例：求函数>-+=x x x y
正确解法：
两者联系：
（1）基本不等式去等号时的值即为双勾函数的拐点，
（2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！
三、利用基本不等式求最值
类型一：形如()()0,1≠++
+=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求⎪⎭⎫ ⎝⎛>-+
=455434x x x y 的最小值 2、求⎪⎭⎫ ⎝⎛<-+=455433x x x y 的最大值
3、求()π,0,sin 2sin ∈+
=x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01
1>-+=x e e y x x 的最小值
类型二：形如()0,2≠+++=c a d
cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值
3、求⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值
5、41622++=x x y 的最大值
6、4
2+=x x
e e y 的值域
类型三：常数代换法
例（1）的最小值求y x y x y x 11,3,0,0+=+>> （2）的最小值求y x y
x y x +=+>>,311,0,0
（3）的最小值求y x xy y x y x 43,53,0,0+=+>> （4）的最小值求x
x y x -+=
<<194,10
（5）的最小值求x x y x 2192,210-+=<<
（6）设正数x,y 满足x >y,x +2y =3,则1x−y +9x+5y 的最小值为( )
A ． 83
B ． 3
C ． 32
D ．
2√33
（7）设0<θ<π2，则1sinθ+3√3cosθ的最小值（ ）
A ． 等于7√3
B ． 等于203√3
C ． 等于8
D ． 不存在
类型四：和积转化法
例（1）.,8,0,0的最小值求xy y x xy y x ++=>> （2）.,8,0,0的最大值求y x y x xy y x +++=>>
变式（1）已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则xy 的最大值为__________
（2）已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则x +3y 的最小值为__________
类型五：和定求积最大值2
22,,⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⇔+≤∈+b a ab b a ab R b a
例（1）.,4,,的最大值求ab b a R b a =+∈+ （2）.,42,,的最值求ab b a R b a =+∈+
（3）.,42,,的最值求ab b a R b a =+∈+
（4）.1,12,,222的最大值求b a b a R b a +=+∈+
课 后 练 习
1.已知a +2b =4,则2a +4b 的最小值为（ ）
A ． 16
B ． 8
C ． 4
D ． 2
2. 已知lgx +lgy =1，则2x +5y 的最小值是_____________________）
3. 函数y =x +x x−1(x ≥2)的最小值是__________．
4. 设正实数a,b 满足a +b =2，则1a +a 8b 的最小值为__________．
5. 已知a,b ∈R +，且(a +b)(a +2b)+a +b =9，则3a +4b 的最小值等于_______）
6．已知正数x,y 满足x +y =1，则1x +11+4y 的最小值为（ ）
A ． 73
B ． 2
C ． 95
D ． 43
18.16.14
.12
.232,0,02018.7D C B A y
x xy x y x ）的最小值为（
，则数南昌高一调研）已知实（+=+>>
.78,1522,0,0.822的最小值求若已知b a ab b a b a +=++>>。