专题 基本不等式
【一】基础知识
基本不等式：)0,0a b a b +≥>>
（1）基本不等式成立的条件： ；
（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号.
2.几个重要的不等式
（1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>；
【二】例题分析
【模块1】“1”的巧妙替换
【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 .
【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 .
【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则
1||2||a a b +的最小值为 .
【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足
211a b +=，则2a b +的最小值为 .
【变式】已知正实数,a b 满足
211a b
+=，则2a b ab ++的最小值为 .
【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 .
【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则
8x y xy +的最小值为 .
【例5】已知0,0a b >>，若不等式
212m a b a b
+≥+总能成立，则实数m 的最大值为 .
【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则
2212a b
+的最小值为 .
【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则
11a b
+的最小值为 .
【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足
120PF PF ⋅=，则2
2214e e +的最小值为
【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y
+的最小值是（ ）
A ．6
B ．5
C ．3+
D ．
【例10】已知函数()4141
x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .
【模块二】“和”与“积”混合型
【例1】（2012年天津）设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224
x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 .
【例2】设,x y R ∈，1,1a b >>，若2x y a b ==，28a b +=，则
11x y
+的最大值为_______.
【例3】若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值为 .
【例4】（2013年南开一模）已知正实数,a b 满足21a b ab ++=，则a b +的最小值为 .
【例5】设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22
111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）
（A ）1⎡+⎣ （B ）()
,11⎡-∞⋃++∞⎣
（C ）2⎡-+⎣ （D ）()
,22⎡-∞-⋃++∞⎣
【例6】已知1,1x y >>，且
11ln ,,ln 44
x y 成等比数列，则xy 的最小值为 .
【例7】（2015天津）已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值.
【例8】（2011年天津）已知22log log 1a b +≥，则39a b +的最小值为 .
【例9】下列说法正确的是（ ）
A ．函数x
x y 2+
=的最小值为
B ．函数)0(sin 2sin π<<+=x x x y 的最小值为
C ．函数x
x y 2+=的最小值为
D ．函数x x y lg 2lg +
=的最小值为
【例10】设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是（ ）
A ．10
B
C
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