直角三角形与勾股定理1．如图J20－1，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C 两点间的距离为( )A．0.5 km B．0.6 kmC．0.9 km D．1.2 kmJ20－1J20－22．如图J20－2，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________．3．如图J20－3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．图J20－31．如图J20－4，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC.若∠1＝35°，则∠B的度数为( )图J20－4A．25°B．35°C．55°D．65°2．如图J20－5，将一副三角尺按图中方式叠放，BC＝4，那么BD＝________．3．如图J 20－6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，cos A ＝56，D 为AB 上一点，且AD∶BD＝1∶2，若BC ＝3 11，求CD 的长．图J 20－64．如图J 20－7，已知BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C ＝60°，AB ＝1，BC ＝3＋3，CD ＝2 3. (1)求tan ∠ABD 的值； (2)求AD 的长．图J 20－75． 如图J 20－8①，在△OAB 中，∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，BA ＝2.以OB 为边，向外作等边三角形OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于点E.(1)求证：四边形ABCE 是平行四边形；(2)如图J 20－8②，将图①中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长．图J 20－8一、选择题1．如图J20－9，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )图J20－9A．5 B．6C．7 D．252．下列长度的四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A．4，5，6 B．1.5，2，2.5C．2，3，4 D．1，2，33．如图J20－10，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC＝3，∠B＝60°，则CD的长为( )图J20－10A．0.5 B．1.5C. 2 D．14．如图J20－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD ＝3，则BC的长为( )图J20－11A．6 B．6 3C．9 D．3 3二、填空题5．如图J20－12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为________ cm.图J20－126．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC边上的高是________ cm.图J20－137．如图J20－13，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为________．8．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为________．9．如图J20－14，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10，8)．则点E的坐标为________．图J20－14三、解答题10．如图J20－15，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC 的周长(结果保留根号)．图J20－1511． 如图J 20－16，在四边形ABCD 中，∠D ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝6，AB ＝10 33，AB ⊥AC ，在CD 上选取一点E ，连接AE ，将△ADE 沿AE 翻折，使点D 落在AC 上的点F 处．求：(1)CD 的长； (2)DE 的长．图J 20－1612．如图J 20－17，在△ABC 中，点D 在AB 上，且CD ＝CB ，点E 为BD 的中点，点F 为AC 的中点，连接EF 交CD 于点M ，连接AM.(1)求证：EF ＝12AC ；(2)若∠BAC＝45°，求线段AM ，DM ，BC 之间的数量关系．图J 20－1713．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称．(2)如图J20－18，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°.①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．图20－18参考答案1．D2．20 [解析] 根据题意可知OM 是△ADC 的中位线，所以OM 的长可求；根据勾股定理可求出AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO 的长，进而求出四边形ABOM 的周长．具体过程如下：∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，∴OM ＝12CD ＝12AB ＝2.5.∵AB ＝5，AD ＝12，∴AC ＝52＋122＝13.∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点， ∴BO ＝12AC ＝6.5，∴四边形ABOM 的周长为AB ＋AM ＋BO ＋OM ＝5＋6＋6.5＋2.5＝20. 3．解：(1)证明：在△CAD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点， ∴MN ∥AD ，且MN ＝12AD.在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点， ∴BM ＝12AC.又∵AC＝AD ， ∴MN ＝BM.(2)∵∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD， ∴∠BAC ＝∠DAC＝30°. 由(1)知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC ，∴∠BMC ＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°. ∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC＝30°，∴∠BMN ＝∠BMC＋∠NMC＝90°，∴BN 2＝BM 2＋MN 2.而由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12×2＝1，∴BN ＝ 2.1．C2．2 63．解：如图，过点D 作DE⊥AC 于点E. ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，cos A ＝56，∴设AC ＝5x ，AB ＝6x. 由勾股定理得BC ＝11x.∵AD ∶BD ＝1∶2，∴AD ＝2x ＝6. ∵cos A ＝56，∴AE ＝5.在Rt △ADE 中，由勾股定理得DE ＝11. ∴CE ＝AC －AE ＝10，∴在Rt △DCE 中，由勾股定理得CD ＝111.4．解：(1)如图，过点D 作DE⊥BC 于点E. ∵在Rt △CDE 中，∠C ＝60°，CD ＝2 3，∴CE ＝3，DE ＝3. ∵BC ＝3＋3，∴BE ＝BC －CE ＝3＋3－3＝3， ∴DE ＝BE ＝3，∴在Rt △BDE 中，∠EDB ＝∠EBD＝45°. ∵AB ⊥BC ，∴∠ABD ＝∠ABC－∠EBD＝45°， ∴tan ∠ABD ＝1.(2)如图，过点A 作AF⊥BD 于点F.∵在Rt △ABF 中，∠ABF ＝45°，AB ＝1， ∴BF ＝AF ＝22. ∵在Rt △BDE 中，DE ＝BE ＝3， ∴BD ＝3 2， ∴DF ＝BD －BF ＝3 2－22＝5 22， ∴在Rt △AFD 中，AD ＝DF 2＋AF 2＝13.5．解：(1)证明：∵在Rt △OAB 中，D 为OB 的中点， ∴DO ＝DA ，∴∠DAO ＝∠DOA＝30°. ∵△OBC 为等边三角形，∴∠BOC ＝∠BCO＝60°，∴∠EOA ＝90°， ∴∠AEO ＝60°.∴∠BCO ＝∠AEO＝60°，∴四边形ABCE 是平行四边形． (2)在Rt △ABO 中，∵∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，AB ＝2， ∴OA ＝AB·tan 60°＝2×3＝2 3.在Rt △OAG 中，OA 2＋OG 2＝AG 2，设OG ＝x. 由折叠可知：AG ＝GC ＝4－x ，由勾股定理可得x 2＋(2 3)2＝(4－x)2，解得x ＝12.∴OG 的长为12.1．A 2.B3．D [解析] 解直角三角形ABC 求出AB ，再求出CB ，然后根据旋转的性质可得AB ＝AD ，然后判断出△ABD 是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD ＝AB ，然后根据CD ＝BC －BD 计算可得解．具体过程如下：∵∠B ＝60°，∴∠C ＝90°－60°＝30°.∵AC ＝3，∴AB ＝3×33＝1， ∴BC ＝2AB ＝2.由旋转的性质得AB ＝AD ， ∴△ABD 是等边三角形， ∴BD ＝AB ＝1，∴CD ＝BC －BD ＝2－1＝1. 4．C5．5 6.8 7.58．6或2 3或4 39．(10，3) [解析] ∵点D 的坐标为(10，8)，∴OA ＝8，AD ＝OC ＝10. 根据折叠的性质知，AF ＝AD ＝10，DE ＝EF.在Rt △AOF 中，OF ＝AF 2－OA 2＝6，∴CF ＝OC －OF ＝4. 设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝8－x ，则在Rt △CEF 中，x 2＋42＝(8－x)2，解得x ＝3， ∴点E 的坐标为(10，3)．故填(10，3)． 10．解：∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B ＝60°. ∵∠BAC ＝90°，∴∠C ＝180°－90°－60°＝30°， ∴BC ＝2AB ＝4.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝BC 2－AB 2＝42－22＝2 3，∴△ABC 的周长为AC ＋BC ＋AB ＝2 3＋4＋2＝6＋2 3. 11．解：(1)∵AB⊥AC，∴∠BAC ＝90°.又∵∠D＝90°，AD ＝6， ∴CD ＝8.(2)由题意，得∠AFE＝∠D＝90°，AF ＝AD ＝6，EF ＝DE. ∴∠EFC ＝90°，FC ＝4.设DE ＝x ，则EF ＝x ，CE ＝8－x.在Rt △EFC 中，由勾股定理，得x 2＋42＝(8－x)2， 解得x ＝3. ∴DE ＝3.12．解：(1)证明：∵CD＝CB ，点E 为BD 的中点， ∴CE ⊥BD ，∴∠AEC ＝90°. 又∵点F 为AC 的中点， ∴EF ＝12AC.(2)∵∠BAC＝45°，∠AEC ＝90°， ∴∠ACE ＝∠BAC＝45°，∴AE ＝CE. 又∵点F 为AC 的中点， ∴EF ⊥AC ，∴EF 为AC 的垂直平分线， ∴AM ＝CM ，∴AM ＋DM ＝CM ＋DM ＝CD. 又∵CD＝CB ， ∴AM ＋DM ＝BC.13．解：(1)答案不唯一，正方形、矩形、直角梯形均可． (2)证明：①∵△ABC≌△DBE， ∴BC ＝BE.又∵∠CBE＝60°，∴△BCE 是等边三角形． ②∵△ABC ≌△DBE ， ∴AC ＝DE.∵△BCE 是等边三角形， ∴BC ＝CE ，∠BCE ＝60°. 又∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE ＝90°， ∴在Rt △DCE 中， DC 2＋CE 2＝DE 2，∴DC 2＋BC 2＝AC 2，即四边形ABCD 是勾股四边形．。