解：
原式
x arctan
x
x 1 x2 dx
例13.
x arctan x 1 ln(1 x2 ) C. 2
x2e3xdx
x2d (e3x ) x2 e3x 2xe3xdx
33
3
x2 e3x 2 xd ( e3x ) x2 e3x 2x e3x 2 e3xdx
33
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§2. 不定积分的计算
根据代数分项分式定理, 有
F ( x) Q(x)
A1 (x a)
A2 (x a)2
A (x a)
B1 (x b)
B2 (x b)2
B (x b)
C1x D1 x2 px
q
C2 x (x2 px
D2 q)2
L
(
x
C 2
sec tdt ln(tan t 1 a
a2 a2 tan2 t ) C1
ln(x x2 a2 ) C, (C C1 ln a).
例10. 求
dx x 2 a2
解： 1. 令x a sect, dx a sect tan tdt.
2. 令x acht, dx ashtdt
dx (t)dt
( 将变量x替换为函数(t) )
求出这个不定积分，再将结果中的t换成－1(x)即得
所求的不定积分.
注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.
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§2. 不定积分的计算
例如：1.
sin
x
cos
函数t 1(x)存在且连续, 且
f ((t))(t)dt F(t) C,
则
f (x)dx F(1(x)) C.
证明： d (F ( 1(x)) F(t) ( 1)
dx
f ((t))(t) 1 f (x). (t)
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§2. 不定积分的计算
例7. 求 x 1 dx
x x2 a2 x2 a2 dx a2 ln | x x2 a2 | C1
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | C.
2
2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C.
2
2
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ex2 dx, sin x dx, sin x2dx, x 是非初等函数, 即
初等函数的原函数不一定是初等函数.
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§2. 不定积分的计算
四、有理函数积分法
1. 代数的预备知识
设P(x)与Q(x)都是多项式, 则有理函数的一般形式是
P(x) . Q(x)
若P(x)的次数 Q(x)的次数，称 P(x) 为有理假分式； Q(x)
2
2
a
( t arcsin x, sin 2t 2sin t cost 2 x a
a2 x2 ).
a
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§2. 不定积分的计算
例9. 求
1 dx
x2 a2
解：令 x a tan t, dx a sec2 tdt, 则
原式
a sec2 t dt a sec t
x n(ln x)n1 1dx x
x(ln x)n n (ln x)n1dx x(ln x)n nIn1,
其中，I1 ln xdx x ln x x C.
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§2. 不定积分的计算 初等函数的导数仍是初等函数, 但求不定积分却不那么 简单, 有些不定积分不能用初等函数来表示, 如
§2. 不定积分的计算
例15. 求 eax cosbxdx 及 eax sin bxdx.
解： eax cosbxdx 1 eax cosbx b eax sin bxdx,
a
a
eax sin bxdx 1eax sin bx b eax cos bxdx,
a
a
联立, 解之得：
(uv) uv uv,
or
uv (uv) uv.
作不定积分运算, 即得
uvdx uv vudx,
or
udv uv vdu,
称之为 分部积分公式.
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§2. 不定积分的计算 注1. 不能直接求
uvdx 改写 转化
udv
求 vudx,
求 vdu
d(x )
2
sin(x )
2
ln
|
sec x tan x | C. (tan x 1 cos
x
csc
x
cotx)
例5. x2 4 3x3 dx
2 sin x
1
(4
3x3
)
1 2
d
(4
3x3
)
1
t
1
2 dt
2
(4
3
3x3 ) 2
.
9
9
9
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§2. 不定积分的计算
选则 u,v 的原则是 vdu 要比 udv 简单易求,
从而达到化繁为简的目的.
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§2. 不定积分的计算
例11. 求 x sin xdx
解： (1) 令 u x, dv sin xdx d( cos x),
则原式 xd(cosx) x cos (cosx)dx
§2. 不定积分的计算
一、“凑”微分法
例如：求 e2xdx e2x d (2x)
2
形式上“凑”成能由不定 积分公式求出的积分!
令2x t 1 etdt 1 et C 1 e2x C.
dx 1 dt 2
2
2
2
简单替换
例1.
x
1
a
dx
(a const)
d (x a) 令x a t dt ln | t | C ln | x a | C. x a dx dt t
若P(x)的次数 Q(x)的次数，称 P(x) 为有理真分式. Q(x)
有理假分式 P(x)
多项式
T (x)
F ( x)
有理真分式
Q(x) 除法
Q(x)
（多项式）
例如：
x4 3 x2 2x 3 4x 6 .
x2 2x 1
x2 2x 1
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§2. 不定积分的计算
二、换元积分法
例6. 求
1 x2
e
1 x
dx
1.
原式
e
1 x
d
(
1
)
1
e x
C.
x
2.
令 1 t, x
dx
1 t2
dt
原式
t
2et
(
1 t2
)dt
1
etdt e x C.
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§2. 不定积分的计算
Theorem : 设f (x)连续,x (t)及(t)皆连续,x (t)的反
eax cos bxdx b sin bx a cos bx eax C, a2 b2
eax
sin bxdx
a sin bx a2
b cos b2
bxeax
C,
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§2. 不定积分的计算
注2. 类似的, 下列函数
xk sin bx, xk cos bx, xkeax , xk lnm x, xk arctan x, p(x) sin mx, p(x) cos mx, p(x) ln x, p(sin x)eax 等等.
原式
asht asht
dt
t
C
ln
|
x
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x2 a2 | C.
§2. 不定积分的计算
注：
dx ln | x x2 a2 | C. x2 a2
a2 x2 dx 1 x a2 x2 a2 arcsin x C.
2
2
a
“凑”微分法与换元积分法比较
“凑”微分法——将函数替换为变量：
解：令 x a sin t, dx a costdt,
a2 x2 dx a cost a costdt a2 cos2tdt
a2 (1 cos 2t)dt a2 (t 1 sin 2t) C.
2
22
a2 (arcsin x x 1 a2 x2 ) C
2
a aa
1 x a2 x2 a2 arcsin x C.
x px
D q)
L
E1x F1 x2 rx
s
(
E2 x x2 rx
F2 s)2
L
(
E x F x2 rx s)
.
()
其中，Ai , Bj ,Ck , Dk , Em, Fm都是常数.求解常数的方法：
tan xdx
sin cos
x x
dx
d cos x cos x
ln | cos x | C.
例3.
sec
xdx
dx cos x
cos xdx cos2 x
d sin x 1 sin2 x
1 2
( 1
1 sin
x
1
1 sin
x
)d
sin
x
1 2
ln 1 sin 1 sin
x x
C
1 2
ln
(1 sin x)2 cos2 x