=
13 (3x +1)2 ( x + 2) + C. 5
由以上二例可以看出： 由以上二例可以看出：被积函数中含有被开方因式 可以消去根号， 为一次式的根式n ax + b 时,令n ax + b = t 可以消去根号， 从而求得积分． 从而求得积分．下面重点讨论被积函数含有被开方因式 为二次式的根式的情况． 为二次式的根式的情况．
x
∫ f (u)du = ∫ dF(u) =F(u) + C.
这个定理非常重要， 这个定理非常重要， 它表明： 它表明： 在基本积分公式中， 在基本积分公式中， 后公式仍成立． 自变量x换成任一可微函数u = ϕ(x)后公式仍成立． 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围． 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围．应用这一 结论，上述例题引用的方法, 结论，上述例题引用的方法, 可一般化为下列计算程 序： 令u = ϕ(x) 凑微分 ∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx ∫ f [ϕ(x)]dϕ(x)
1− (2x −1)
d(2x −1)
2
= arcsin(2x −1) + C.
二、第二换元积分法
第一换元积分方法是选择新的积分变量 u = ϕ( x), 但 x 对有些被积函数则需要作相反方式的换元， 对有些被积函数则需要作相反方式的换元， 即令 = ϕ(t ), 作为新积分变量，才能积出结果， 把 t 作为新积分变量，才能积出结果，即 x = ϕ (t )
例９
解 于是
1+ x 为了消去根式， 为了消去根式，可令 x = t 2 (t > 0), 则 dx = 2tdt.
求∫
x
dx.

t t2 ∫1+ x dx = ∫1+ t 2tdt = 2∫1+ t dt x
= 2∫
(t
2
−1) +1 1 dt = 2∫ t −1+ dt 1+ t 1+ t
例 7
（２）∫
3+ x dx x dx = 3∫ +∫ dx 2 2 2 4− x 4− x 4− x 1 − x 2 d(4 − x2 ) = 3arcsin + ∫ 2 4 − x2 x = 3arcsin − 4 − x2 + C. 2
1 1+ ex − ex ex dx =∫ dx = ∫ 1− dx （３）∫ x x x 1+ e 1+ e 1+ e
x =∫ d 2 a x 1− a x =arcsin + C. a dx 1 x = arctan + C. 类似得(2) 类似得(2) ∫ 2 2 a +x a a 1
sin x d(cos x) dx = −∫ = −ln | cos x | +C. (3) ∫ tan xdx = ∫ cos x cos x
求 ∫ a2 − x2dx. π π 作三角变换， 解 作三角变换，令 x = asin t − < t < , 那么 2 2 例 11
a2 − x2 = a cos t且dx = a cos tdt, 2 2 2 2 2 1+ cos 2t 于是 ∫ a − x dx = ∫ a cos tdt 2= a ∫ 2 dt a2 a = t + sin2t + C. 2 4 x 的函数， 为把 t 回代成 x 的函数，可根据sin t = , a 作辅助直角三角形（如右图） 作辅助直角三角形（如右图） ， a a2 − x2 ． 得 cost = a 所以
例 4
dx 求∫ ． 2 x 1− ln x
1 dx =∫ d( ln x) ∫ x 1− ln2 x 2 2 1− ln x x 1− ln x = arcsin ( ln x) + C. dx =∫ 1
设 u = cos x,得 du = −sin xdx,
解
sin x dx． 例 5 求∫ x sin x dx = 2∫ sin xd x = −2cos x + C． 解 ∫ x
例 6
(1) ∫
求下列积分： 求下列积分： dx dx (a > 0)； (2) ∫ 2 2； (3) ∫ tan xdx ； 2 2 a +x a −x
(4) ∫ cot xdx； (5) ∫ sec xdx； (6) ∫ csc xdx. dx 1 dx 解 （1） ∫ a2 − x2 = ∫ 2 x a 1− a
∫ f (u)du = F(u) + C.
的任一个可微函数． 其中u = ϕ(x)是 的任一个可微函数． 证 由 于 ∫ f (x)dx = F(x) + C , 所 以
x
dF(x) = f (x)dx．根据微分形式不变性,则有： 根据微分形式不变性 则有： 形式不变性, dF(u) = f (u)du ．其中u = ϕ(x)是 的可微函数，由此得 的可微函数，
1 dx = ∫ （５）∫ 1+ cos x dx 1 x =∫ d 2 x 2 x 2 2cos cos 2 2 x = tan + C. 2
1 （６）∫ sin 5x cos 3xdx = ∫ (sin 8x + sin 2x)dx 2 积化和差） （积化和差）
类似得(6) 类似得(6) ∫ csc xdx = ln | csc x − cot x | +C．
本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用． 本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用．
求下列积分： 求下列积分： 1 1 3+ x dx； ∫ dx； dx； ∫ (1)∫ 2 (2) (3) 2 x 2 x −a 1+ e 4− x 1 2 dx； ∫ sin 5x cos3xdx． (4) ∫ sin xdx； (5) ∫ (6) 1+ cos x 本题积分前， 解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被 积函数做适当变形． 积函数做适当变形． 1 1 1 1 (1)∫ 2 2dx = ∫ − dx x −a 2a x − a x + a 1 d( x − a) d( x + a) = [∫ −∫ ] 2a x −a x+a 1 = [ln x − a − ln x + a ] + C 2a 1 x −a = ln + C. 2a x + a
x
∫
a2 x 1 a − x dx = arcsin + x a2 − x2 + C. 2 a 2
2 2
1 = ∫ dx − ∫ d(1+ ex ) 1+ ex
= x − ln(1+ ex ) + C.
1− cos 2x 1 1 dx = ∫ dx − ∫ cos 2xdx （４）∫ sin xdx = ∫ 2 2 2
2
1 1 = x − ∫ cos 2xd(2x) 2 4 1 1 = x − sin 2x + C. 2 4
凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把 这需要解题经验, 哪一部分凑成dϕ(x),这需要解题经验,如果记熟下列一 些微分式,解题中则会给我们以启示． 些微分式,解题中则会给我们以启示． 1 dx 1 2 = 2d( x)， dx = d(ax + b)， xdx = d(x )， x 2 a 1 x x dx = d(ln | x |)， sin xdx = −d(cos x)， e dx = d(e )， x cos xdx = d(sin x)， 2 xdx = d(tan x)，csc2 xdx = −d(cotx)， sec dx dx = d(arcsin x)， = d(arctan x)． 2 2 1+ x 1− x 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧． 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧．
dx ． 2 x−x dx
=∫
解二 因为
dx ∫ x − x2 = ∫ 本题说明，选用不同的积分方法， 本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式 的积分结果． 的积分结果．
dx dx = 2d x,所以 x dx d x = 2∫ = 2arcsin x + C. 2 x(1− x) 1− ( x)
= t 2 − 2t + 2ln 1+ t + C
回代
t= x
x − 2 x + 2ln 1+ x + C.
例 10
求∫ 3
3
x +1 dx ． 3x +1
1 3 代入后， 解 令 3x +1 = t, 即 x = (t −1,)则 dx = t 2dt 代入后，得 3
x +1 1 4 1 5 1 2 ∫ 3 3x +1 dx = 3 ∫( t + 2t ) dt = 15 t + 3t + C
∫
f (u ) d u
F (u ) + C
回代
F [ϕ ( x )] + C .
这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫 这种先“ 微分式，再作变量置换的方法， 第换一元积分法，也称凑微分法． 第换一元积分法，也称凑微分法．
例 3
求 ∫ cos2 x sin xdx.
解
1 1 cos2 x sin xdx = −∫ u2du = − u3 + C = − cos3 x + C. ∫ 3 3 方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤, 方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式． 分成积分公式的形式．
∫ f ( x ) dx