数学建模第四版答案【篇一：数学建模课后答案】t>第二章(1)（2012年12月21日）1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值方法；（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑n=10的分配方案，p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）?pi?13i?1000.q1?p1n?pi?13?2.35,q2?p2ni?pi?13?3.33, q3?p3ni?pi?13?4.32i分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：n1?2,n2?3, n3?4第10个席位：计算q值为235233324322q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.22?33?44?5q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5方法三（d’hondt方法）此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）.pi是ni每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近.pip中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得?tvdt?2?k?(r?wkn)dnn2?rk?wk22n22vv第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v、s、?的关系.解: 设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0，其量纲表达式为: [p]=mlt2?3, [v]=lt?1,[s]=l,[?]=ml,这里l,m,t是基本量纲.2?3量纲矩阵为：1?2?10a=????3?1(p)(v)齐次线性方程组为：2?3?(l)01??(m) 00??(t)(s)(???2y1?y2?2y3?3y4?0??y1?y4?0??3y?y?012?它的基本解为y?(?1,3,1,1) 由量纲pi定理得??p?1v3s1?1，?p??v3s1?1 ，其中?是无量纲常数.16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt，0-1-3[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[g]=lmt,其中l，m，t是基本量纲.-2-1-1-1-2-2-2-1-10-2量纲矩阵为?1?3?11?(l)?0?(m)110?a=? ???10?1?2(t)??(v)(?)(?)(g)齐次线性方程组ay=0 ，即? y1-3y2-y3?y4?0??0 ?y2?y3?-y-y-2y?034?1的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲pi定理得*??v?3??1?g. ?v???g，其中?是无量纲常数. ?16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt，[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[?]=lm0t0 ，[g]=lmt0-1-3-2-1-1-1-2-2-2-1-10-2其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为?1?0a=????1(v)齐次线性方程组ay=0 即1?3?100101?(l)10??(m) ?1?2??(t)(?)(?)(?)(g)?y1?y2?3y3?y4?y5?0?y3?y4?0 ???y1?y4?2y5?0?的基本解为11?y?(1,?,0,0,?)?122 ?31?y2?(0,?,?1,1,?)22?得到两个相互独立的无量纲量??1?v??1/2g?1/2??3/2?1?1/2??g??2??即 v??1) g1,?3/2?g1/2??1??2?1. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2? ??g(?3/2?g1/2??1) , 其中?是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l, 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为f(t,l,m,g,k)?0其量纲表达式为：[t]?l0m0t,[l]?lm0t0,[m]?l0mt0,[g]?lm0t?2,[k]?[f][v]?1?mlt?2(lt?1 )?1?l0mt?1，其中l，m，t是基本量纲.量纲矩阵为?0?0a=???1(t)100?(l)0101??(m) 00?2?1??(t)1(l)(m)(g)(k)齐次线性方程组y2?y4?0??y3?y5?0 ??y?2y?y?045?1的基本解为11?y?(1,?,0,,0)?122 ?11?y2?(0,,?1,?,1)22?得到两个相互独立的无量纲量?tl?1/2g1/2??1?1/2?1?1/2?lmgk??2∴t?kl1/2l?1, ?1??(?2), ?2?1/2gmg∴t?lkl1/2(1/2) ，其中?是未定函数 . gmg考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为lkl?1/2() t,t；l,l;m,m. 又t??1/2gm?g当无量纲量m?lt?lgl时，就有 ?. ???mltgll《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．【篇二：数学模型第四版课后习题4—1答案】题：某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资，可供购进的证劵以及其信用等级，到期年限，收益如表所示。
按照规定，市政证劵的收益可以免税，其他证劵的收益需按50％的税率纳税。
除外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元。
（2）所购证劵的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证劵的平均到期年限步超过5年。
(1) 若该经理有1000万元资金，应如何投资？(2) 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理该如何操作？(3) 在1000万元资金情况下，若证劵a的税前收益增加为4.5%。
投资应否改变？若证劵c的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？问题分析：这个投资方案的目标是使获取的税后收益最大化，要做好决策应是用多少钱购买多少不同的证劵。
此决策共受到四个条件的限制，资金总额必购证劵，信用等级，到期年限。
按照题目将决策变量，目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来得到如下模型。
基本模型：决策变量：设用x1万元购买a证劵，用x2万元购买b证劵，用x3万元购买c证劵，用x4万元购买d证劵，用x5万元购买e证劵。
目标函数：设总到期税后收益为z万元，则由给出收益率可算出z=0.043 x1+0.054 x2+0.025 x3+0.022 x4+0.045 x5 约束条件：1.资金总额：所用投资金额不超过1000万元。
即x1+ x2+ x3+ x4 +x5≤102.必购证劵政府及代办机构的证劵总共至少购进400万元即x2+ x3+ x4≥43.信用等级：所购证劵的平均信用等级都不超过1.4，即2x1+ 2x2+ x3+ x4 +5x5≤1.4 4.到期年限：所购证劵的平均到期年限步超过5年，即9x1+15 x2+ 4x3+3 x4 +2x5≤5 5.非负约束x1≥0 x2≥0 x3≥0 x4 ≥0x5≥0为输入方便，将（3）（4）化简可得到该问题的基本模型max z=0.043 x1+0.054 x2+0.025 x3+0.022 x4+0.045 x5 (1)x1 +x2+ x3+ x4 +x5≤10 (2)x2+ x3+ x4≥4 (3) 6x1+ 6x2-4x3-4x4+36x5≤10(4)4x1+10 x2- x3-2x4 -3x5≤10(5)x1≥0x2≥0 x3≥0 x4≥0 x5≥0 （6）模型求解：用lingo软件求解输入：model:max=0.043 *x1+0.027* x2+0.025* x3+0.022* x4+0.045* x5 ; [money] x1+ x2+ x3+ x4 +x510;[must] x2+ x3+ x44;[credit] 6*x1+ 6*x2-4*x3-4*x4 +36*x50;[time]4*x1+10*x2-x3-2*x4 -3*x50 ;end得到如下输出:global optimal solution found.objective value: 0.2983636infeasibilities: 0.000000total solver iterations: 5variable value reduced costx1 2.1818180.000000x2 0.0000000.3181818e-02x3 7.3636360.000000x4 0.0000000.6363636e-03x5 0.4545455 0.000000row slack or surplus dual price1 0.29836361.000000money 0.000000 0.2983636e-01must 3.363636 0.000000credit0.000000 0.6181818e-03time 0.000000 0.2363636e-02ranges in which the basis is unchanged:objective coefficient rangescurrent allowable allowablevariablecoefficientincreasedecrease x1 0.4300000e-010.3500000e-020.1300000e-01x2 0.2700000e-010.3018182e-01infinityx3 0.2500000e-010.1733333e-010.5600000e-03x4 0.2200000e-010.6363636e-03infinityx5 0.4500000e-010.5200000e-010.1400000e-01righthand side rangesrow current allowable allowablerhsincreasedecreasemoney10.00000 infinity4.567901 must 4.000000 3.363636infinity credit 0.0105.714320.00000 time 0.010.0000012.00000最优解为x1=2.182,x2=0,x3=7.364,x4=0.454,x5=0;最优值为z=0.298; 即证劵a,c,e分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。