椭圆定义及应用
一、椭圆第一个定义的应用
1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F
1、F
2
，和一个定长2a。

若动点P到
两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F
1F
2
|<2a.则动点轨迹是椭
圆。

两个定点F
1、F
2
称为椭圆的焦点。

由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。

此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。

即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。

1.2 应用举例
例1.已知点
1(3,0)
F-,
2(3,0)
F,有
126
PF PF
+=,则P点的轨迹是 .
例 2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P
的焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切.
解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。

我们若抓住PF 2为一个圆直径，PF 1为另一个圆半径的2倍，用公式
，很容易得出正确解答。

例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，
求的面积.24
解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用
解决
例4.P 是椭圆22
14520
x y +
=上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点,若
则12PF PF -的值为( )
A. 65
B. 25
C.
1
53
D. 253 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程.
练:一动圆与圆⊙o1：x2+y2+6x+5=0外切,同时与⊙o2 ： x2+y2_ 6x _ 91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

例6.已知定点A（－2，3）,点F为椭圆
22
1
1612
x y
+=的右焦点，点M在该椭
圆上移动时，求| AM| ＋ | MF |的最小值与最大值。

例7.设P是直线x-y+9=0上一点，过P点的椭圆以F
1 (-3，0)和F
2
（3，0）为
焦点，试求P点在什么位置时，所求椭圆的长轴最短，并写出具有最短长轴的椭圆的方程。

解评：（1）转化思想是高中数学重要的数学思想，此题把求长轴最短值转化为
求的最小值，再转化为求F
1
关于直线x-y+9=0的对称点。

这样做后，思路清晰，条理分明，计算简捷。

二、椭圆第二个定义的应用
2.1 椭圆的第二个定义（课本P78）点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离
的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆。

定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

2.2 应用举例
例1.椭圆焦点F
1（-c，0），F
2
（c，0），离心率M是椭圆上一点，其横
坐标为x
0，求M点的两个焦半径|MF
1
|和|MF
2
|之长.
解：过M作右准线的垂线MM2，
则
根据椭圆第二定义
同理可得
解评（1）解析几何中很容易求出平行于坐标轴的线段长，因此椭圆上一点到准线的距离易求，某点的焦半径结果易见。

题设中若有某点的焦半径信息，用第二定义解题可得事半功倍之效。

（2）此题的结果，与第二定义等式都可作为公式加以应用。

例2.椭圆上一点P到左准线的距离等于2，求P到右焦点距离。

解：
解评此题使用了椭圆的两个定义.
例3.已知定点A（－23,点F为椭圆
22
1
1612
x y
+=的右焦点，点M在该椭
圆上移动时，求| AM| ＋ 2| MF |的最小值。

三、同步检测
1.椭圆上一点P到左、右两焦点距离之比为1：3，则P到左准线的距离是（）
A.5
B.15
C.
D.
2.短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F
1和F
2
. 过F
1
作直线交
椭圆于A、B两点，则的周长为（）
A.24
B.12
C.6
D.3
3.已知椭圆上一点P到右焦点的距离为b，则P到左准线的距离是（）
4.已知椭圆的焦点F
1（-1，0），F
2
（1，0），P是椭圆上的一点，且|F
1
F
2
|是
|PF
2|与|P F
1
|的等差中项，则该椭圆的方程是（）
5.P是椭圆上的动点，过点P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM 中点的轨迹方程是（）
答案及提示
提示：
|=5
1. | PF
1
2.
3.
4.
5. 设P（x
0，y
），PM的中点N（x，y），
代入即得结果。