第一章 随机事件及概率第一节 样本空间与随机事件1.试写出下列的样本空间。

{}{}()()()()()()()()(){}(){}()(){}22(1)0100,(2)1,(3)(5,0)5,15,25,35,40,51,52,53,54,5(4),02,,5,212,,0,1,2,3,4,5,6s x x x R s x x x z s s x y xy x y Rs x y x y x y =≤≤∈=≥∈==≤+≤∈=≤+≤= 2.化简下列各式：()()1()2AΩ整个样本空间3.设A,B,C 为三个事件，用A,B,C 的运算关系表示下列事件：()()()()()()()()1234567ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABCABCABCABCABCABC ABC ABC ABC第二节 随机事件的概率1.()()()()1121341ca b cb c a c---+--+2.P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0 =5/8{}{}()()()()()()()()()()()293101831012=0531031011533111(+-)10101514115A B C P A C P B C P AB C p A p AB P A B P A B P A P A B P A B P AB =========-=-===-=设含含4.()()()()()1311011372102321013102715115C P A C C C P B C C P C C ======设这个球是黑球为事件A设刚好一个白球一个黑球为事件B ，两个球全是黑球为事件C.5.()221232152335C C P A C ==设这两件商品来自同一场地为事件A 。

6.()()()()500412411013641=0.7463652=10.42712p A A p A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-=设至少有一个人的生日是月日为事件A 。

设至少有两个人的生日是同一个月的为事件A 。

()133310474423333350474423....1 (1960)A C C C C p A C C C C ==设发生一个部件强度太弱为事件则8.解:以8时为零时刻，8时至9时之间有60分钟，设两人到达的时间分别为故两人能会面的概率为:=0.438第三节 条件概率1.()()()()()()()()0.60.10.3P A B P A P B P AB P AB P AB P A P AB +=+-===-={(,)|060,060}x y x y Ω=≤≤≤≤则{(,)|15}D x y x y =-≤()D P A ==Ω的面积的面积2221602(6015)260-⋅-2.此题不要求做()()()()()()1113751111015251.129++3902,.13778520++20310915142524/178461++310155A C C C P A C C C A B P AB P A B P B ⎛⎫==⎪⎝⎭⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭设先抽到的一份是女生表为事件设先抽到的一份是女生表为事件后抽到一份是男生表为事件3.解:设Ai={第i 次能调试好},则三次能调好的概率P(A)为4.112123()()()()P A P A P A A P A A A =++1121()()(|)P A P A P A A =+121312()(|)(|)P A P A A P A A A +12325933838100.958=+⋅+⋅⋅={}{}{}12B A B B A A ===设发出信息发出信息收到信息为()()()()12122133|0.98|0.01P B P B P A B P A B ====()()()()()()()1111122||||20.983210.980.0133196197P A B P B P B A P A B P B P A B P B =+⨯=⨯+⨯=由贝叶斯公式得：5.{}{}{}{}{}()()()()()()()()()()()()()()()()()()123412341231111112233=0.3 P 0.2 P 0.1 P 0.4111P ///4312/1/=/+/+/2B A A A A A A A A B A B A B A P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ============设他迟到了乘火车；乘轮船；乘汽车；乘飞机则 P P = P第三节 事件的独立性1.()()()()()()()()()()()()()()10.7-0.40.32=+-+-0.7 =0.5P B P A B P A P A B P A P B P AB P A P B P A P B P B =-====则 2.设事件B 为目标被命中;事件A 为甲命中 P(B)=0.6x0.5+(1-0.6)x0.5+0.6x(1-0.5)=0.8 P(A ｜B)=P(A)/P(B)=0.6/0.8=0.75 3.()910110213310.76444P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--≈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设他至少猜对题为事件A.4.()()()()()()422224166006115266006115224366610.10.90.09810110.10.60.16090.10.90.1140+1+20.10.9+0.10.9+0.10.9C P P C P P C C P P P C C C =-=⨯⨯==--=-⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯=①P ②P ③P 每小时每户用电话的概率P=5.设任意选出n 件产品，则有取n 为299即可。

6.解：设以 表示“飞机被击中i 次”， 是S 的一个划分。

以A 表示事件“飞机被击落”，则由题意由全概率公式得总习题一一、单项选择题1.A2.B3.B4.D5.B 或C6.B7.D8.A9.B二、填空题 1.B 2.lg 0.051(11%)0.95298.07lg 0.99n n --≥⇒≥≈(0,1,2,3)i H i =0123,,,H H H H 1()0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P H =⨯--+-⨯⨯-+--=2()0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41.P H =⨯-+-+-=3()0.40.50.70.14P H =⨯⨯=0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A H P A H P A H P A H ====3()()(|)0.458i i i P A P H P A H ===∑第二章第48页()()()()14231231.1321≤=≥=++=X X X X X X X X X ，表示取列的合格品个数()11008.02.00.2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=X X X X F()()()()()()52b b 531lim b lim 53lim b 53.32121-=-=-=-=+∞→+∞→+∞→χχχF F F X F X F X F x x x第57页{}()PP -==P -P =P -P -P =P =P =P ==P ∞→∞==∑∑11111lim .111λλλλλn n K kknK K K X()()()()()()()()()()()361616112362616111,36361611036461619,3656161836661617,3656161636461615,3636161436261613,36161612.2121314151615141312=⨯==P =⨯⨯==P =⨯⨯==P =⨯⨯==P =⨯⨯==P =⨯⨯==P =⨯⨯==P =⨯⨯==P =⨯⨯==P =⨯⨯==P =⨯==P X C X C X C X C X C X C X C X C X C X X随机变量X 的分布律为()()()()()()9164,918291321,911091161,13491282.3214242141214214181421422214282148===P ===P ===P ===P ==-=P ===-=P C C X C C C X C C C X C C X C C C X C C X随机变量X 的分布律为 4. 根据题意，随机变量X 服从二项分布()2.0,15~βX ，分布律为()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0611.00123451546129.08.02.08.02.08.02.03213138329.08.02.08.02.010********.08.02.031152,1,08.02.012331513221514115150015141151233151515==P -=P -=P -=P -=P -=P -=>P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==P +=P +=P =≤≤P =⨯⨯-⨯⨯-==P -=P -=≥P =⨯⨯==P =⨯⨯==P -X X X X X X X C C C X X X X C C X X X C X K C K X K K K5. 根据题意，随机变量X 服从二项分布⎪⎭⎫⎝⎛5001,500~βX ()()()0803.031112X 13X 1~1231=-=≤P -=≥P ∴∴==∑=-K e p X np 近似λ6. 根据题意，随机变量X 服从二项分布()01.0,300~βX()()()()名维修人员至少应配解得即近似8899.0N 01.0!31X 1N X 3~301.030003∴≥>≤P <-=≤P -=≥P ∴∴=⨯==∑=-N X k e N p X np NK kλ第67页()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=∴=≥+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=<≤-=-<=∴==-=---+∞∞-⎰⎰⎰1x 11x 121arcsin 11x 011x 21arcsin 1arcsin 1111x 101x 21111.111112112x X F X F x x d x X F X F C C d xC d x f x x x ππππππ时，当时，当时，当()()()()()()()()212111191022121000121~.21---=-=≥=≥≥P =-=>P ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=⎪⎭⎫⎝⎛E T eF T P T T e F T t t e t F t()()()()()()()()()()()()()()()()()()3C ,0235.02354987.020233233346977.0232232121239996.015.32234231010425328.05.01232235521.3==-∴=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=<∴≤=≥=Φ-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=≤-=>=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤<-=-Φ+Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤<即C C C X P C X P C X P X P X P X P X P X P ()()()()10001100000010001.4333111000100010001000----∞+-∞+-∴====≥⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰⎰e e e e d e d xf X P x x ex f X x xx x都没有损坏的概率是：得表示元件寿命，由题意随机变量 ()()()()3.22796.04004001140011600120011200112001,0~1600,1600~.52≤∴≥⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=≤-=>-∴σσσσσσσX P X P N x N X()54d 511104405051.6c 512==∴≥-≤∴≥-=∆⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰P C C C others C C f 或第71页 1.（1）(2) ()()()()()()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>=--=--=≤≤-=≤===>=≤⎪⎩⎪⎨⎧>⋅=>==--othersy e y f y f y y F y F y X y P y X P y Y P y y othersy ye yf y x e y y x x X X y Y x 0022F F 0,y 0F 0,y 2001210y ln 1.22Y Y Y 2ln 22ππ当当由公式法：为单调函数，()()()()()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴∈>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤=>=≤⎩⎨⎧≤≤==others y y y f y x y y f y y y f y y f y f y y y x y P y x P y Y P y y othersx x f x Y x x x X 0942519,4251,004114144F 4F 444F 0,y 0F 0,y 06514.3Y Y x x 2Y Y 2πππππππππππππππππ 当当[][]()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=∴=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=-==-≥=≤=≤=>=≤+∞∈∴∈-000ln 2ln 21ln ln F ln F 0,y 0F 0,y ,01,0.4Y Y x Y Y y y yyy f yyy y f y f y y x P y e P y Y P y y y x x x 当当第73页()()()()76.0221414141X 22220.3.211161161814121.1=∴=--=-=≤-=>⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<==∴=++++a a F X P X P aX a a X X X F BA C C C C C C D一、4.B5.B6.C7.B8.C()()()()()()()72.06.04.06.04.02x 1x 1211231.104141414114.9223213=⨯⨯+⨯⨯==+====⇒=-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤=≤+-=≤=C C P P Y P x x x Y B y f y X P y X P y Y P y f CX Y 或()()()()()()()()()[]()()25.021215.01F 1F 1F 1F 11F 1F 1x 1x 1x 11x 1x x 1x 2x x 0x F 2.33227.24.0 .1=⇒=+--+⇒=--⇒---=--⇒>-<=<<-⇒>=<⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=a aaa a P P P P a a a aa a 二、()()()()()()()()()()()31.258. 6497.271931111Y P 11Y P , 31,3~ 1P , 3195111X P 11X P 2719 .65.02222X P 2, 20.5.52,0525.05252152 C X P 1C X P C X P C X P 5, 22.432122=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=<-=≥⎪⎭⎫ ⎝⎛∴==⇒=--=<-=≥=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=≤====-⇒=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≤-=<⇒>=<==B Y P P C C C C C C 舍即σμσμ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()6826.01121112720612724884X 60P 1272x 12 %3.27269169X P 1,0~72X ,72~.411100011000X P 01.35.000X P 3 12111lim 1 .2n 1,-n 1,2,k 1K X P .1233112100010001000=-Φ=-Φ-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤≤⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=∴=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=>-∴===--=-=>⎪⎩⎪⎨⎧≤>-===≤+∞<<∞-+='==⇒=+=∞+===--------∞→X F N N X e e P ee F X X e X F F x ee X F xf A e AF nXx xxx σσσσ 三、()()()()()(){}{}{}()()()()()()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--+-=--+=--+-=--+-=<≤-+≤<=<≤-⋃≤<=≤≤===<<=≥=≤∴<<<<∴=othersy y y y f y y f f y y y y y y x y P y x P x y y x y x y x P y Y P x y 01012111arcsin 11arcsin y arcsin F arcsin F 1arcsin F 10arcsin F arcsin F F 0F arcsin F arcsin arcsin 0y F arcsin arcsin 0sin sin y F 1y 01y F 1y 0y F 0y 1y 0x 0 ,0sin .522X 2X Y X X X X X X X X Y Y Y Y πππππππππππ 又时，当时，当时，当时，当上不单调在第三章习题3-1 1.2.X3.（1）⎰⎰⎰⎰+∞+∞+-+∞∞-+∞∞-+∞-∞==)(2),(),(dxdy Ce dxdy y x f F y x =1，得C=4（2）0y 0≤≤或x 时，0),(=y x f ，故0),(=y x F 00>>y x 且时，)1)(1(4),(220)(2y x xyv u e e dudv e y x F --+---==⎰⎰⎩⎨⎧----)1)(1(0),(22yx e e y x F 0000>>≤≤y x y x 且或 （3）P(X+Y ≤1)=⎰⎰-=-xy x dy e dx 10)(2104=231--e4.6121==⎰⎰xxG dy dx S ⎩⎨⎧=∴06),(y x f 其他Gy x ∈),(习题3-2 1.181=a ，92=b ，61=c2.1)1(),(),(100=-==+∞-∞⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-xdxdy x Cy dxdy y x f f ，得C=24当10<<x 时，)1(12)1(24)(02x x dy x y x f xX -=-=⎰当10<<y 时，21)1(12)1(12)(-=-=⎰y y dx x y y f yY 当10<<x ，10<<y 时，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故X,Y 不独立.3.当20≤≤x 时，⎰+=+=20)1(41)(81)(x dy y x x f X 当20≤≤y 时，⎰+=+=20)1(41)(81)(y dx y x y f Y⎪⎩⎪⎨⎧+=0)1(41)(x x f X其它20≤≤x ，⎪⎩⎪⎨⎧+=0)1(41)(y y f Y 其它20≤≤y当20≤≤x ，20≤≤y 时，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故X,Y 不独立. 4.4112121=⨯⨯=G S ⎩⎨⎧=∴04),(y x f 其它Gy x ∈),(⎰++==120484)(x X x dy x f ，021<<-xy dx y f y Y 224)(210-==⎰- ，10<<y习题3-31.(1) 当X=2时，Y 可能取值1，2，3，4故214181)2()1,2()21(========X P Y X P X Y P214181)2()2,2()22(========X P Y X P X Y P0)24()23(======X Y P X Y P(2) 当Y=1时，X 可能取值为1，2，3，4故25124825161)1()1,1()11(========X P Y X P Y X P 同理可得()25612===Y X P ，()25413===Y X P ，()25314===Y X P∴Y=1时，X 的条件分布律为2. x y x X e dy e dy y x f x f -+∞+-+∞∞-===⎰⎰)(),()( （0>x ）y y x Y e dx e dx y x f y f -+∞+-+∞∞-===⎰⎰)(),()( （0>y ）(1)y x y x X X Y e e e x f y x f x y f --+-===)()(),()( （y>0）(2) x y y x Y Y X e ee yf y x f y x f --+-===)()(),()( (x>0)(3)由于)()(x f e y x f X x Y X ==-，故X 与Y 独立 3．1),(),(01===+∞-∞⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---xxCdxdy dxdy y x f F ，得C=1⎩⎨⎧=∴01),(y x f 其它01,<<--<x x yx dy dy y x f x f xxX 21),()(-===⎰⎰-+∞∞- （-1<x<0）y dx dx y x f y f yY -===⎰⎰--+∞∞-11),()(1（-1<y<1）x x f y x f x y f X X Y 21)(),()(-==（x y -<）yy f y x f y x f Y Y X -==11)(),()( (-1<x<-y )4．（1）)1(66),()(1x x xdy dy y x f x f xX -===⎰⎰+∞∞- （0<x<1）2036),()(y xdx dx y x f y f yY ===⎰⎰+∞∞- （0<y<1）⎩⎨⎧-=0)1(6)(x x x f X其它10<<x ，⎩⎨⎧=03)(2y y f Y 其它10<<y（2）xx x x f y x f x y f X XY-=-==11)1(66)(),()( （10<<x ）∴233111)31(=-==x y f X Y（3）{}416),(11210101===≤+⎰⎰⎰⎰-<<<≤+xxy x y x xdy dx dxdy y x f Y X P 习题3-41． 由题意得（u ，v ）的联合分布(1) ()v u X ,m in =，X 的可能值为1，2 同理()v u Y ,m ax =的分布律为2．ax f X 1)(=，a x <<0 xa x y f X Y -=1)(，a y x <<<0)(1)()(),(x a a x y f x f y x f X Y X -== a y x <<<0[])ln(ln 1)(1)(0y a a adx x a a y f yY --=-=⎰10<<y3． 由题意得（X,Y ）的联合分布律为a)b)c)总习题 三一、1.A ； 2.A二、1.31=+b a ，0,0≥≥b a 91;92==b a2. 0.3三、1．.,2010sin ,cos 1020221)1(1(),(),(⎰⎰======⎰⎰⎰⎰=-+-==+∞-∞==≤≤≤≤+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-πθθπθθrdr r A d dxdyy x A dxdy y x f F r y r x r 得π3=A2XP(X=1，Y=3)=0 ; P(X=1)=31; P(Y=3)=91 P(X=1，Y=3)≠P(X=1)P(Y=3)故X 与Y 不独立. 3．1),(0)32(==⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞+∞+-dxdy ke dxdy y x f y x ，得k=6{}⎰⎰--+---==<<<<10622)32()1)(1(620,10e e dxdy e y x P y x4．1),(1013==⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy Cxy dxdy y x f ，的C=8⎰==1328)(x dy xy x f X（0<x<1）310348)(y dx xy y f Y ==⎰ (0<y<1)当10<<x ，10<<y 时，有)()(),(y f x f y x f Y X =，故X,Y 独立.第四章＆4.1 一.()()()221.6359.8E X E XE X ==+= 二．()()()()4314112631E X E Y E X Y E XY ==--==-()0.503E X =四．()()~4,0.10.4X B E X =五． 1.()11113142,3kkx dx k E kx dx k αααεαα==+===+∴==⎰⎰ 六．()350x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩55x x ≤≥ ，()355010E X x dx x +∞=⋅=⎰ 七．()100,()a Xa f x ⎧⎪=⎨⎪⎩0x aothers << 33331()6244326aE V x dx a a X V X ππππ==⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰八.()()23012401xX f x y dy x x ==≤≤⎰()340x X f x ⎧∴=⎨⎩01x others ≤≤ ()()()1221212101Y yf y y dx y y y ==-≤≤⎰()()21210y y Y f y -⎧⎪=⎨⎪⎩01y others ≤≤ ()()()()()()()()11301120120012222200445312151,12216()1215X Y xx E X xf x dx x x dx E Y yf y dy y y y dy E XY xy f x y dxdy dx xy y dy E X Y dx x y y dy +∞+∞-∞-∞==⋅===⋅-==⋅=⋅=+=+⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰九．[]()1200002000,4000Xf x ⎧⎪=⎨⎪⎩20004000x others ≤≤w t 设收益为，进货箱。