空间向量知识点归纳总结知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。

》（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

6. 空间向量的直角坐标系： ~（1）空间直角坐标系中的坐标：（2）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。

②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

》（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+（5）夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+（6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==或,A B d =7. 空间向量的数量积。

@（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。

（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。

（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。

（4）空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>。

②0a b a b ⊥⇔⋅=。

③2||a a a =⋅。

（5）空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。

②a b b a ⋅=⋅（交换律）。

③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。

8．空间的角： |（1）两异面直线所成的角：设b a 、是两条异面直线，过空间任一点O 做直线a '∥a ，b '∥b ，则b a ''、所成的锐角或者直角叫做异面直线b a 、所成的角，它的取值范围是 ； 向量求法：设直线b a 、所成的角为θ，它们的方向向量a 、b 的夹角为ϕ，则有==ϕθcos cos ；（2）线面角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角，它的取值范围是 ； 向量求法：设直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为v ，直线与平面所成的角为θ，向量u 、v 的夹角为ϕ，则有==ϕθcos sin ；（3）二面角：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做一个半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，它的取值范围是 ；向量求法：① 若CD AB 、分别是二面角βα--l 的两个半平面内与l 垂直的直线（B A 、在直线l上），则二面角的大小就是向量AB 与向量CD 所成角的大小；设二面角为θ，则>=<CD AB ,θ·② 设向量u 、v 分别是二面角βα--l 的两个半平面的法向量，则向量u 、v 的夹角（或其补角）就是二面角的大小，设二面角为θ，则视实际图形而定，>=<v u ,θ或><-=v u ,πθ；4．空间的距离：空间的点点距、点线距、推荐用传统方法，点面距既可以用传统方法，也可以用平面的法向量来求。

向量法求点面距：点P 到平面α的距离为d =，其中A 为α内异于垂足的任一点，n 是α的法向量。

空间向量与立体几何测试题（一）一、选择题：1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c,x,y,z ∈R ．其中正确命题的个数为（ ）2．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ）】Ａ．1Ｂ．1-Ｃ．12Ｄ．2- 3．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ）Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6494．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ）A.627 B. 637 C. 647 D. 6575．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.已知点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA ·OB =OB ·OC =OC ·OA ,则点O 是△ABC 的（ ）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点`C.三条中线的交点D.三条高的交点7．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对8．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)333第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） !9．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为10．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ= ．11.已知a,b,c 是空间两两垂直且长等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 .12．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．三、解答题（本大题共3小题,满分35分），14．(10分)如图,二面角α-ι-β的棱上有A,B 两点，直线AC,BD 分别在这 ~个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=68， 求二面角α-ι-β的大小.'.15．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F.EM GDCBAιβαA\DCB（1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ；（3）求二面角D -PB -C 的大小． -<16(13分)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,顶点A 1在底面ABC 上的射影 恰为点B,且AB=AC=A 1B=2.(1) 求棱AA 1与BC 所成角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ,使AP=14，并求出二面角P-AB-A 1的平面角的 余弦值.@空间向量与立体几何测试题（二）'一、选择题：1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的 A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++= 2．在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，那么下列说法正确．．的是 （ ） A ． 点p 关于x 轴对称的坐标是()1,,p x y z - B.点p 关于yoz 平面对称的坐标是()2,,p x y z -- C.点p 关于y 轴对称点的坐标是()3,,p x y z - D.点p 关于原点对称点的坐标是()4,,p x y z --- 3．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ）~B\ C 1FE D 1C 1B 1A 1DCBAB.51C.53D.574．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则−→−AB +1()2BD BC +等于（ ）A.−→−AG B. −→−CG C. −→−BC D.21−→−BC 5．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．10106．已知向量(0,2,1)=a ，(1,1,2)=--b ，则a 与b 的夹角为 （ ）A. 0°B. 45°C. 90°D. 180°—二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11、若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则同方向的单位向量是_________________.12．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ＝xAB y AC z AS ++，则x ＋y ＋z ＝ ． 13、已知()()2,4,,2,,26a x b y a a b ===⊥，若且，则x y +的值为 。