1 x2
),
y(x) 0 ,
c2
exp(
1 x2
)
,
x 0. x 0. x 0.
3
1.2.1例子和思路
例 4: 证明初值问题
dy y, dx
的解存在且惟一。
y(0) 1
(1 .2 .1)
证：若 y y(x) 是初始值问题的解, (1 .2 .1) 两端积分
y ( x ) 满足 y(x)=1+ xy(s)ds 0
y 1 , 1 x
x( ,1).
初值问题 yy2,y(0)2的解:
y
2 1 2x
.
它的存在区间为
(
1 2
,
)
例2: 初值问题 yx,y(0)a(a0)的解为: y
y a2 x2存在区间为 (a,a)
2
例3:初始值问题:
2y yx3
x0 ,
0 x0
y(0)0
有无穷多解,存在区间为: (,).
c1
exp(
x 2 (x )1 (x )x 0f(s ,1 (s )) f(s ,0 (s ))d s 13
x 2 (x )1 (x )x 0f(s ,1 (s )) f(s ,0 (s ))d s
x
L 2
其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，
（ 1 x） =y0＋xx0 f(s,0(s))ds （ 2 x） M =y0＋xx0 f(s,1(s))ds （ n x） =y0＋xx0 f(s,n1(s))ds
这样就得到一个连续函数列 n ( x)
它称为 Picard迭代序列。
11
（ 3 ) Picard 序列的收敛性
引理1.1 对于一切 n 和 x [x0,x0h],n(x)
8
定理1: 若 f ( x, y ) 在R上连续且关于y满足
Lipschitz条件，则初值问题 (1.2.3) 在区间
x x0 h 上存在惟 一的解，其中
h
min
a,
b M
证明： 思路：
Mmax f(x,y) (x,y)R
（１）将初值问题解的存在惟一性化为
积分方程解的存在惟一性．
9
（２）构造积分方程迭代函数序列.
证明：考虑函数项级数
0(x) [k(x)k1(x)] x0xx0h k1
它的前 n项的部分和为:
S n(x)0(x)[k(x)k 1(x) ]n(x) k 1
于是 n ( x)的一致收敛性与级数的一致收敛性等价。
估计级数通项:
x 1 (x )0 (x )0f(s ,y 0 )d s M (x x 0 )
(1 .2 .2 )
反之，若一个连续函数 y y(x) 满足 (1 .2 .2 )
则它是 (1 .2 .1) 的解。
4
构造迭代序列 {yn (x)} 来证明 (1 .2 .1) 有解．
取 y0(x) 1,
y1(x)10xy0(s)ds1x, y2(x)10xy1(s)ds1xx 22 !,
……
连 续且满足 n(x)y0 b.
证明: 显然对一切的 n都有 n (x) 有定义且
连续, 设 n (x) 在区间 x0,x0h上满足:
n(x)y0 b
则 n 1 ( x ) y 0 x x 0f( s ,n ( s ) )d s M x x 0 M h b
12
引理 1.2 函数列 n(x)在[x0,x0+h]上一致收敛。
设：对 n 有 n(x)n1(x)M n L!n1(xx0)n
则 当 x0xx0h时 ，
x n 1 (x )n (x )x 0f(s ,n (s )) f(s ,n 1 (s ))d s
x
L x0
n(s)n1(s)ds
M n!nx L x 0(sx0)nd s(n M 1 n)!L (xx0)n 1
7
则称 f ( x, y ) 在R上关于y满足 Lipschitz 条件。 L 称为 Lipschitz 常数。 注: 若 f (x, y) 关于y 的偏导数连续,
f(x ,y 1 ) f(x ,y 2 ) fyy (y 1 y 2 ) fyy y 1 y 2
则 f ( x, y ) 在R上关于y满足 Lipschitz 条件。
yn(x)10 xyn-1 (s)ds1xLx nn !
5
由于y n ( x ) 收敛，且 lnim yn(x) ex代入验证函数 y e x 为初值问题 (1 .2 .1) 的解, 这就得到解的存在性。
惟一性证明: 设有两个解 y(x),y(x)
令 g(x)(x)(x)则 g ( x )可微，且满足
（３）证明该迭代序列收敛． （４）证明该序列的极限是积分方程的解． （５）证明惟一性．
仅考虑 x0xx0h 上存在.
详细证明： ( 1 ) 等价积分方程
初值问题 (1.2.3) 与积分方程
y(x)=y0xx0f(x,y(s))ds 的解等价。
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（ 2 ）构造 Picard 迭代数列
取（ 0 x）=y0代 入 (1.2.3)右 端 后 得
§ 1.2 解的存在惟一性
对于给定的微分方程，它的通解一般有无限多个， 而给定初始条件后，其解有时惟一，有时不惟一.
给定初始条件的微分方程解的存在惟一性? (一)它是数值解和定性分析的前提; (二)若实际问题中建立的方程模型的解
不是存在且惟一的，该模型就是一个坏模型.
1
例1:初值问题 yy2,y(0)1有解:
g'( x )'(x) '(x)g ( x ) ,g(0) 0
得 （ g( 'x)-g (x))ex0 即（g(x)ex） '0
故g(x)ex c 又g(0)＝0 故g(0)e-x 0
故g(x) 0 即(x)(x) 这就证明了惟一性。
6
1.2.2 存在惟一性定理及其证明
考虑微分方程:
yf(x,y), y(x0)y0
(1.2.3)
Lipschitz 条件: 设 f ( x, y ) 在矩形区域
R (x ,y )x x 0 a ,y y 0 b
上连续，如果有常数 L>0,使得对于所有的
( x1 , y 1 ) , (x1, y2)R 都有:
f(x 1 ,y 1 )f(x 1 ,y 2 ) Ly 1 y 2
14
于是，由数学归纳法得，对于所有自然数k，有
n(x)n1(x)MLkk!1hk
x0 xx0h
因为正项级数
MLk1
hk
收敛,
k 1
k!
由Weiestrass判别法知，
级数在 x0 xx0h上一致收敛。