第四讲 微分方程解的稳定性上一讲，我们利用最大值原理讨论了新古典经济增长模型，得到了两个方程，一个是状态变量的转移方程，另一个是欧拉方程。

这两个方程构成了包含状态变量和控制变量的二元一次方程组。

[]δα--=-)()()()()(1t k t c t k t k t k []δραα--=-1)()()(t k t c t c 这个方程组是一个非线性微分方程组，一般情况下，非线性方程组不存在解析解，即方程组的解不能用初等函数来表示。

因此，他们的性质需要借助其他方法来了解。

微分方程：变量为导数的方程叫做微分方程。

常微分方程：只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程。

偏微分方程：有两个或两个以上自变量的方程叫做偏微分方程。

微分方程的阶：微分方程中变量的导数最高阶叫做方程的阶。

线性方程：方程的形式是线性的。

例如，方程0)()()()(321=+++t x t y a t y a t y a是一个二阶线性常微分方程。

又如，索洛－斯旺模型的基本方程是一个非线性方程：())()()(t k t k s t k⋅-=δα 再如，拉姆齐模型的动态是下列微分方程组的解：[]δα--=-)()()()()(1t k t c t k t k t k []δραα--=-1)()()(t k t c t c 一、 一阶微分方程一阶微分方程可以用下面的方程表示 ),(y x f dx dy= (1.1) 其中，函数R R R f →⨯:是连续可微函数。

最简单的微分方程是)(x f dxdy= (1.2) 它的解可表示为不定积分：⎰+=c dx x f y )( (1.3)其中，⎰dx x f x F )()(＝表示任意一个被被积函数，c 为任意常数。

当然，我们也可以确定任意一个被积函数，例如，令⎰⎰xdt t f dx x f x F 0)()()(＝＝, 则(2.2)的不定积分可表示为⎰+xc dt t f y 0)(＝这时，不定积分仍然代表无穷多条曲线，如果给出初始条件0)0(y y =, 则，上面微分方程的解就是⎰+xy dt t f y 00)(＝ (1.4)二、 常见的一阶微分方程解法1． 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为)()(x g y x p dx dy=+ (2.1) 边界条件（即初始条件）0)0(y y =。

为求解线性微分方程，在方程的两边同乘以⎰xdt t p 0)(ex p , 则方程的左边为dxdt t p y d ydt t p x p dt t p dxdyxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅+⎰⎰⎰000)(exp )(exp )()(exp 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎰⎰x xdt t p x g dxdt t p y d 00)(exp )()(exp (2.2)方程(2.2)的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰c dt t p x g dt t p y x xx 000)(exp )()(exp (2.3)2. 可分离变量的微分方程一个方程是可分离变量的，如果它可以写成下列形式dy y g dx x f )()(=这类方程的解只需在方程两边同时积分即可。

⎰⎰=dy y g dx x f )()( (2.4)3. 可化为可分离变量或线性方程的贝努利方程方程 )()(x g y y x p dxdyn =+ (2.5) 叫做贝努利方程。

其中，n 为正整数。

方程(2.5)两边同除以n y)()(1x g y x p dxdyy n n =+-- )()(1111x g y x p dx dy n n n=+---n y z -=1)()(11x g z x p dxdzn =+- (2.6)这样，贝努利方程就转化为线性方程。

4．恰当方程考虑非线性方程0),(),(=+dxdyy x N y x M (2.7)或者0),(),(=+dy y x N dx y x M如果存在函数),(y x φ 满足),(),(),(y x d dy y x N dx y x M φ=+则称方程(2.7)是恰当方程，其解c y x =),(φ。

例1，方程0=+ydy xdx 的解是xy=c.方程0)(ln =+dx y dy yx的解是c y x =ln . 三、一阶常微分方程的图解法对于线性常微分方程而言，目前已经有完整的理论，方程的解也可以用明确的解析表达式来表示。

但是，对于非线性方程而言，除了个别特殊的形式之外，一般是没有办法获得解析表达式的，甚至根本不存在解析表达式。

我们希望在没有明确的解析表达式的情况下，仍然了解方程的解的性质。

例2，索罗－斯旺模型的基本方程())()()(t k t k s t k⋅-=δα (3.1) k 表示资本存量，δ表示资本折旧率，α表示资本的收入份额。

该方程表示资本存量的净增加等于总储蓄与总折旧之间的差额。

先求稳定点。

令0)(=t k, 得()0)()(＝t k t k s ⋅-δα可以求得两个解， ()())1(1*)(,0)(αδ-==s t k t k由于0≥k ,再判断稳定点稳定性。

()⎪⎩⎪⎨⎧><==<>⋅-=***,0,0,0)()()(k k k k k k t k t k s t k δα根据()0)()(1＝δαα-⋅=-t k s dkt k d ,可得()())1(1**)(-=ααδs t k , )(t k 在()())1(1**)(-=ααδs t k 有最大值，在()())1(1**)(-=ααδs t k 的左边大于0，是k 的增函数；在()())1(1**)(-=ααδs t k 的右边小于0，是k 的减函数。

即：()⎪⎩⎪⎨⎧><==<>=-⋅=-******1,0,0,0)()(k k k k k k t k s dk t k d δαα四、 一元高阶线性微分方程与多元微分方程组以二阶线性微分方程为例：0)()()()(321=+++t x t y a t y a t ya 令)()(t y t z =，则，)()(t yt z =，于是该二阶线性微分方程就可以用一个一阶线性微分方程组来表示：)()(0)()()()(321t z t y t x t y a t z a t za ==+++或者⎪⎩⎪⎨⎧=---)()()(1)()()(11312t z t yt x a t y a a t z a a t z ＝ 由此看来，一个二阶微分方程就可以用一个一阶线性微分方程组来表示。

同样道理，任何一个更高阶的微分方程，可以化成一个一阶微分方程组。

因此，要了解高阶微分方程的性质，只要研究一阶微分方程组的性质即可。

1. 最简单的线性线性方程组：对角矩阵系统。

)()()()(22221111t y a t yt y a t y==写成矩阵形式就是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(00)()(21221121t y t y a a t y t y 系数矩阵有两个特征根，分别是11a 和22a 。

方程的解1111)(c e t y t a +=2222)(c e t y t a +=情形1，,011>a 且022>a : 0)(,0)(0201>>t y t y , y 1，y 2都随着时间的推移而增加。

状态不稳定。

情形2，,011<a 且022<a :0)(,0)(0201>>t y t y , y 1，y 2都随着时间的推移而下降。

状态稳定。

情形3，,011>a 且022<a :0)(,0)(0201>>t y t y , y 1都随着时间的推移而增加, y 2随着时间的推移而下降。

状态为鞍点稳定。

2．一般非对角线性系统：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()()()()()(21212222121121t x t x t y t y a a a a t y t y 该方程组的矩阵形式为)()()(t X t AY t Y+= 根据矩阵理论，对于矩阵A ，存在矩阵V ，使D AV V =1－为一个对角矩阵。

其中，对角线上的元素是矩阵A 的特征根。

令)()(1t Y V t Z -=，则)()()()()(111t X V t DZ t X V t AVZ V t Z---+=+= 这个方程组定义了两个独立的一阶常系数线性微分方程：)()()(1t X V t z t zi i i -+=α 其中，i α是矩阵A 的第i 个特征根，1-i V 是1－V 第i 行。

⎰+⋅=-t i i t t i i i i e b dt t X V e e t z ααα)()(1 再通过变换)()(1t Y V t Z -=求Y 。

二维系统稳定性的一般讨论：对角例子的稳定性性质依赖于对角元的符号。

所以，依此类推，非对角系统的稳定性性质依赖于其特征值的符号。

于是会产生以下几种可能性：1) 两个特征值不同且都是正实数，在这种情况下系统是不稳定的。

2) 两个特征值不同且都是负实数，在这种情况下系统是稳定的。

3) 两个特征值是实数但符号相反，在这种情况下系统是鞍点路径稳定的。

此外，当系统是鞍点路径稳定时,稳定臂对应于与负特征值相关的特征向量。

同理，不稳定臂对应于正特征值相关的特征向量。

这里的直观想法仍然是与对角矩阵相关的轴就是特征向量。

正如我们前面的例子中看到的,当系统是对角的时,与对角矩阵的负分量相关的轴是稳定臂,与正分量相关的是不稳定臂。

4) 两个特征值都是负实部的复数，在这种情况下系统以一种振荡方式收敛到稳态。

5) 两个特征值都是有正实部的复数，系统是不稳定且振动的。

6) 两个特征值是有零实部的复数，所示其轨迹是环绕着稳态运动的椭圆。

7) 两个特征值相等。

在这种情况下特征向量矩阵不可逆，所以前面概括的解析解法不适用，此时的解的形式为 t i i i e t b b t y α)()(21+=其中1i b 和2i b 是积分常数和矩阵A 中的系数函数。

α是唯一的特征值。

若0<α解是稳定的,若0>α, 解是不稳定的。

更高维系统的稳定性也有类似的性质。

如果所有的特征值都为正，这系统是不稳定的。

如果所有的特征值都为负，则系统稳定的。

如果特征值异号，则系统是鞍点路径稳定的。

由于像前面所说的一样，稳定臂对应于与负特征值相关的特征向量，那么稳定臂的维数就是负特征值的个数。

例如在有一个负特征值的3*3系统中,稳定臂(有时被称为稳定流形(stable manifold))是一条通过稳态且对应于这一负特征向量的直线。