数
学
建
模
论
文单位：湖南信息职业技术学院系别: 信息工程系
班级: 信息0903
作者: 贺际嵘
公平的席位分配问题
[摘要]我们用公平席位分配模型,解决了10人委员会人员组成问题并保证对A.B.C的相对都公平.首先,我们用人们常用的惯例分配席位的方法来分配10个席位得出结果如表1-1；再假定情况1,也用惯例分配席位的方法来分配得出结果如表2-2；由以上两步的结果可以判定此种按照人数比例分配的惯例分配方法在这里应用分配的结果是不公平的,导致总席位数N增加一个,A的席位数反而减少了一个；此后,我们在寻找一个更为公平的分配方案,经过对问题的深入了解,逐步分析并结合各种情况的共同性建立我们日常寻求的更为公平的分配方案—Q值法；最后,我们通过Q值法求的本问题的最佳分配结果,也进一步,把这一以Q值法为为方法的公平席位分配模型推广到我们的日常生活中所遇到的席位分配问题.通过公平席位分配模型对席位的分配,不难检验出惯例分配席位的方法是不公平的,总席位数为N=10 的公平分配结果是: A是n1=2, B是n2=3,C是 n3=5.
[关键字]公平分配；Q值法；模型．
1 问题重述
我们日常生活之中经常会面对席位分配的问题,如某学校共1000学生,235人住在A楼,333人住在B楼,432住在C楼. 学生要组织一个10人委员会,我们可以试用惯例分配方法和Q值方法分配各楼的委员数,并比较结果,试得出更为公平的分配方案及结果.
事先我们可以对问题进行假设与符号定义；然后进行我们的问题分析,先用惯例分配分配席位的方法分析：①可以先人们常用的惯例分配席位的方法来分析公平分配10个席位并得出结果；②也可以再假定情况1,也用惯例分配席位的方法来分析并得出结果；两种结果进行分析以初步得出惯例分配席位的方案是不公平的,并思考怎样才能得出更为公平的分配方案；然后,我们把模型建立方面的分析及其模型建立放在模型建立里面再分析.
2 问题的假设与符号定义
1.1问题的假设:
1.席位是以整数计量的,并且为有限个,设为N个；
2.每个单位有有限个人,席位是按各集体的人员多少来分配的；3．每个单位的每个人都具有相同的选举权利；
4．每个单位至少应该分配到一个名额,如果某个单位,一个名额也
不应该分到的话,则应将其剔除在分配之外；
5．在名额分配的过程中,分配是稳定的,不受任何其他因素所干扰.
1.2符号的定义：
n---－表示某单位的席位数（n1、n2、n3分别表示A、B、C的席位数）；
p----表示某单位的人数（p1、p2、p3分别表示A、B、C的人数）；
q-------表示总席位数；
N-------表示人数.Q-------表示某单位的Ｑ值.
3 问题的分析
通常人们都是按照人数比例来进行分配的.当比例中有小数时,
人们又按照惯例将多余的席位分给比例中小数最大者.我们能得出以
下结论：
*
n/
公式：
N
p
q
3.1 惯例分配总席位数为N=10的结果：
我们用惯例分配席位的方法分配,结果为n1 =3、n2=3、n3=4,分配过
程及结果如表2-1所示：
楼层人数p 所占比例(q/N) 分配方案席位(n)
A 1 235 235/1000 (235/1000)*10=2.35 3
B 2 333 333/1000 (333/1000)*10=3.33 3
C 3 432 432/1000 (432/1000)*10=4.32 4
表2－１惯例分配总席位数为N=10的分配过程及结果.
3.2 假定情况一: 若增加为11席,分配有何变化?
我们也运用惯例分配席位的方法分配,结果为n1 =2、n2=3、n3=5,
分配过程及结果如表2-2所示：
楼层人数p 所占比例（q/N）分配方案席位（n）
A 1 235 235/1000 (235/1000)*11=2.59 2
B 2 333 333/1000 (333/1000)*11=3.66 4
C 3 432 432/1000 (432/1000)*11=4.75 5
表2－2 惯例分配总席位数为N=11的分配过程及结果.
现象一:总席位增加1席, A 减少１席位．（不公平！）
显然,存在不公平现象,能否给出更公平的分配席位的方案？
4 模型建立
目标:建立公平的席位分配方案.
4.1 引出绝对不公平值并给出相对不公平值:
设A,B 两方人数分别为21,p p ；分别占有 1n 和2n 个席位,则两方每个席位所代表的人数分别为
11n p 和 2
2n p
. 我们称 2
2
11n p n p -
为.例：10,100,1202121====n n p p
则
22
2
11=-n p n p ； 又 10,1000,10202121====n n p p 则
22
2
11=-n p n p 由上例可知,用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准,并不合理,下面我们给出相对不公平值.
①若 2
2
11n p n p > 则称 112212
222
11-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值, 记为 ),(21n n r A ；
②若 2
2
11n p n p < 则称 121121
111
22-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ,记为 ),(21n n r B .
4.2给出相对公平的席位分配方案:
如果，A B 两方分别占有1n 和2n 席,利用相对不公平值A r 和B r 讨论,当总席位增加1席时,应该分配给A 还是B.不妨设1122>p n p n ,即对A 不公平,当再分配一个席位时,有以下三种情况：
I .当
22
1>+11p p
n n 时,这说明即使给A 增加1席,仍然对A 不公平,所以这一席显然应给A 方.
II.当
22
1<+11p p
n n 时,这说明给A 增加1席,变为对B 不公平,此时对B 的相对不公平值为:
211212
11-1 ++=
()
(,)B p n r n n p n （3）
III.当
221
>+11p p
n n 时,这说明给B 增加1席,将对A 不公平,此时对A 的相对不公平值为:
121221
11-1 ++=
()
(,)A p n r n n p n （4）
因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果
121211 +<+(,)(,)B A r n n r n n （5）
则这1席给A 方,反之这1席给B 方.
由(3)(4)可知,(5)等价于
2
122
2211<
11++()
()p p n n n n （6）
不难证明上述的第I 种情况
22
1>+11p p
n n 也与(6)式等价,于是我们
的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方.
若记:
2, =1,2
1=
+()
i i i i p Q i n n
则增加的1席给Q 值大的一方.
4.3模型内部推广:
上述方法可以推广到有m 方分配席位的情况.设第i 方人数为i p ,已占有i n 个席位.当总席位增加1席时,计算:
2, =1,2
1=
+()
i i i i p Q i m n n ，，
则增加的1席应分配给Q 值大的一方.这种席位分配的方法称为Q 值法.
5 模型求解
5.1下面用Q 值法讨论A,B,C 层分配11个席位的问题：
先按照比例将整数部分的9席分配完毕n 1=2, n 2=3, n 3=4,.再用Q 值法分配第10席和第11席.
分配第10席,计算得:
9204.173
*223512
==
Q ；
9240.75
4*333322
==Q ；
9331.20
5*443232
==Q ； 3Q 最大,于是这1席应分给C 层.
即: n 1=2, n 2=3, n 3=5. 分配第11席,计算得:
9204.173
*223512
==
Q ；
9240.754*333322
==Q ； 80.22066
*543232==
Q ,
Q 2最大,于是这1席应B 层. 即: n 1=2, n 2=4, n 3=5.
5.2现象分析及结果：
根据Q 值分配结果与假定情况一的现象,易得出:
惯例分配总席位为10时,分配不公平,以至得出总席位数N 增加一个,A 的席位数反而减少了一个的错误结论.原因在于分配时,应给C 的1个席位反而给了B ；10人委员会组成为:Ａ.Ｂ.Ｃ的席位数分别 2、3、5.
6 模型评价
●我们巧用绝对值,避免了分两种情况.从而简化了运算. ●改进后的Q 值法席位分配方案应用性推广,分配更公平.
7 参考文献
[1]李志林等,数学建模及典型案例分析,北京：化学工业出版社,2006.。