（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互 关系。 2.根据现有的数据，运用适当的统计检验，假设检验 有关分布。 3.应用已得到的概率分布，确定描述整个系统的运行 特征。 4.根据系统的特征，通过应用适当的决策模型，改进 系统的功能。 （四）、生灭过程的差分微分方程组 当顾客到达时间间隔为负指数分布(即输入过程具有 Poisson特征，N(t)服从Poisson分布)，服务时间为负 指数分布，则系统的排队过程是Markov(马尔科夫)过程， 而且它具有一类特殊Markov过程的特征，通常称这类随 机过程的生灭过程。
“M/M/c”即Poisson输入负指数服务时间分布C个 服务台的等待制排队模型。 “M/G/1”即Poisson输入，一般服务时间分布， 单个服务台的等待制排队模型。
2.几种重要的排队模型 (1)单服务台系统
顾客到达 排队 00…00
服务台
顾客离去
(2)多服务台的平衡系统
顾客到达 排队 00…00
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受 服务时止的这段时间，其期望值记 Wq ；逗留时间则指从 顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要的时间， 即是顾客在系统中所花费的总时间，其期望值记 Ws 。 逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙的时间，即顾客从到达 空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止的这段时间 。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工 作强度，与忙期相对应的是闲期，这是指服务台连续保 持空闲的时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期， 是交替出现的。 排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务 台的利用率(即服务员忙碌的时间在总时间中所占比例) 在排队论的研究中也是很重要的指标。
从而可以求得概率分布列 { pn }
（五）、典型排队模型和理论结果 下面给出满足生灭过程典型排队M/M/1与M/M/C的 结果 (一)单服务台等待制M/M/1排队模型 1.M/M/1/ 顾客来到的时间间隔 服从参数 的 负指数分布，服务员为顾客服务时间 服从参数 的指数分布，且 与 相互独立，1个服务台，系 统容量为 的等待制排队模型。 可理解为:单位时间平均到达的顾客数-----平均到 达率 可理解为:单位时间平均服务完的顾客数----平均 服务率
2.生灭过程微分差分方程组 设 pn( t ) 表示系统在时刻t的状态X(t)=n的概率即 pn( t ) p{ X (t ) n} n s ， t 0 则系统在时刻t+△t的 状态为n的概率近似于以下四个概率之和。 (1)P{系统在时刻t时为n，而在△t内没有到达也没有 消失} = pn(t ) [1 n t ](1 un t ) pn(t ) (1 n t n t ) 0(t ) (2)P{系统在t时为n-1而在△t内有一个到达并且没有一 个消失}= pn1(t ) n1t (1 n1t ) pn1(t ) n1t 0(t ) (3)P{系统在t时为n+1，而在△t内没有到达而有一个 消失}= pn1( t ) n1t (1 n1t ) pn1( t ) n1t 0(t ) (4)P{系统在△t内发生多于一个的到达或消失}=0(△t) 即应用全概率公式有
| n k
当系统状态S为可数集时，生灭过程微分差分方程 组为
' p n( t ) n1 pn1( t ) ( n n ) pn( t ) n1 pn1( t ) ' p0( t ) 0 p0( t ) 1 p1 (t )
（二）排队模型的符号表示与几种重要排队模型 1.排队模型的符号一般表示法 一般表示法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔的分布类型 B:服务时间的分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务的等待排队模型主要由三参数法即 A/B/C 例“M/M/1/k/ 表示顾客到达间隔时间和服务 /F1F0” 时间均服从负指数分布，一个服务台，系统至多容纳 k个顾客潜在的顾客数不限，先来先服务的排队系统。
Pn (t t ) pn (t )(1 n t n t ) pn1 (t )n1t pn1 (t ) n1t O(t )
当 n0 时
pk (t t ) pk (t )(1 k t ) pk 1 (t )k 1t O(t )
0 p 0 1 p1 0 p p 0 k k k 1 k n ) pn n1 pn1 0 0 p0 1 p1 0 n 1
(9.4
1.生灭过程的定义 设有一个系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1， 2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为 系统在时刻t所处的状态，若在某一时刻t系统的状态数为 n，如果对△t>0有。 (1)到达(生):在(t，t+△t)内系统出现一个新的到达的概 率为 n t 0( t ), n 0 的常数；没有发生新的到达的概率 为 1 n t 0( t ) ；出现多于一个以上的新的到达概率 为0(△t) 。 (2)消失(灭):在(t，t+△t)内，系统消失一个的概率的 n t 0( t ); n 0 的常数，没有消失的概率为 1 n t 0( t ); 消失多于一个以上的概率为0(△t)则称系统状态随时间而 变化的过程X(t)为一个生灭过程。
n表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务
(包括排队等待和正在接受服务的)数目小于k则他排队等 待，否则他即时离去，等待制服务的次序规则有先到先服 务随机服务，有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先 服务的系统。 3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计 服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否 合理，设计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行 优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是 (1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务 的)的数目，它的期望值为 Ls ；排队长度则仅指在队列中 排队等待的顾客数，其期望记为 Lq . 系统中的顾客数 (队长)=等待服务的顾客数+正被服务的顾客数，所以 Lq (或Ls ) 越大，说明服务效率越低。
二、实例分析
一、排队论简介
（一）基本概念 1．排队系统 排队是指在服务机构处要求服务对象的一个等待队列 排队系统是指一个具有排队等待现象的服务系统 排队论是指定量的研究排队问题，寻找系统内在规律，寻找 供求关系平衡的最优方案。 现实世界中排队的现象比比皆是，但有如下共同特征: (1)有请求服务的人或物，如候诊的病人，请求着陆的飞机等， 我们将此称为“顾客”。 (2)有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们 称为“服务员”。由顾客和服务员就组成服务系统。 (3)顾客随机地一个一个(或者一批一批)来到服务系统每位顾 客需要服务的时间不一定确定的，服务过程的这种随机性造成 某个阶段顾客排长队，而某些时间服务员又空闲无事。
服务台 服务台 顾客离去 顾客离去

服务机构
(3)串联排队系统
顾客到达 排队 00…00 0 0 顾客离去 … 0
M1
M2
Mn
(4)排队网络模型
顾客到达 排队 00…00 0 0 0 顾客离去
10% ( 调试 0 检验 90% )
(5)匹配排队模型
煤矿 火车 煤仓
汽车(或火车) 港口 轮船
另外还有 (6)优先权的排队系统 (7)成批排队模型 (8)有限源排队模型 我们讨论(1)(2)两种
(1)顾客输入过程 {N (t ) : t 0},( N (0)
0)是平均率为

的Poisson过程即 N (t ) ～ (t ) 设M(t)为(0，t)内容去顾客数，则 {M(t ) : t 0}是平均率为 的Poisson分布即 M(t ) ～ (t ) (2)X(t):时刻t系统中的顾客数 则 X ( t ) N ( t ) M( t ) L(t):时刻t排队等待顾客数 L( t ) max{ X ( t ) 1,0} 则 研究X(t)的分布模型 令
排队论模型
排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学 方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学 科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立 一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统 预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、 机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取 得了显著的成绩。 一、排队论简介
n 1
(9.2) 若能求解这组方程，则可得到在时刻t系统状态概 率分布 { pn( t ) , n s} 称为生灭过程的瞬时解，一 般这种瞬时解是难以求得的
3.统计平衡下的极限解 实际应用中，关心的是 t 时，方程的解称为生 灭过程微分差分方程组的极限解。 lim ' pn(t ) pn 由pn 令 t ( t ) 0 及(9.1)(9.2)式得当S为有限状 态集时，(9.1)式变为 1 n k n 1 p n 1 ( n n ) p n n 1 p n 1 0 (9.3)
2 排队系统的特征 为了描述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成 (1)输入过程 顾客陆续来到的过程，设N(t):(0，t)时间内来到的顾客数(非负 整数值) {N (t ),t 0} 是随机过程，又设 Ti 第i个顾客到达的时间，从 j i Ti Ti 1 时间间距(隔) N (t ) max{j, i t} 而 {Ti } 随机变量序列， i 1 一般假设顾客来到时间间隔 i 相互独立与随机变量 有相同的； 分布 可以根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布， 然后按照统计学的方法(如x 检验法)确定服从哪种理论分布，并 估计它的参数值。我们主要讨论 概率分布为负指数分布 M (另外有定长分布D， k阶爱尔兰分布 E k ，一般独立分布GI等)