教学内容：简单的数列问题（一）世界著名的数学家高斯（1777年～1855年），幼年时代聪明过人。
上小学时，有一天数学老师出了一道题让全班同学计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快地说出了正确答案5050。
那些正忙着把这100个数一个一个相加求和的同学大吃一惊!小高斯有什么窍门呢？原来小高斯通过细心观察，发现1～100这一串数中，1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51＝101。
即：与这串数首末两端距离相等的每两个数的和，都等于首末两数的和，这样的和为101的数共有100÷2＝50对。
于是小高斯就把这道题巧算为：1＋2＋3＋…＋99＋100＝（1＋100）×100÷2＝5050像1，2，3，…，99，100这样的一串数我们称为“等差数列”，下面介绍有关等差数列的概念。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
从第一项开始，后项与前项之差都相等的数称为等差数列，后项与前项之差称为公差，数列中数的个数称为项数。
例如：（1）5，6，7，8， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）4，12，20，28， (804)（4）1，4，8，16， (256)其中（1）是首项为5，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为4，末项为804，公差为8的等差数列；（4）中前后两项的差都不相等，它不是等差数列。
从高斯的故事我们知道，要想求出像1，2，3，…，99，100这一等差数列的和，只要用第一个数1与最后一个数100相加求和，再乘以这串数的个数100，最后除以2。
由此，我们得到等差数列的求和公式为：数列和＝（首项＋末项）×项数÷2[例1]计算1＋2＋3＋…＋1999[分析与解]这串加数组成的数列1，2，3，…，1999是等差数列，公差是1，首项是1，末项是1999，项数是1999。
根据等差数列求和公式可解得：原式＝（1＋1999）×1999÷2＝[例2]求首项是5，公差是3的等差数列的前1999项的和。
[分析]等差数列中首项、末项、公差的关系是：末项＝首项＋公差×（项数－1）[解] 末项＝5＋3×（1999－1）＝5999和＝（5＋5999）×1999÷2＝[例3]计算3＋7＋11＋…＋99[分析]这串加数组成的数列是等差数列，公差是4，首项是3，末项是99，但是我们发现项数从题中看不出来，这时就需要先求出项数。
根据上例中介绍的等差数列中首项、末项、公差的关系，可以得到：项数＝（末项－首项）÷公差＋1[解] 项数＝（99－3）÷4＋1＝25原式＝（3＋99）×25÷2＝1275[例4] 计算（1）2000－3－6－9－…－51－54（2）（2＋4＋6＋…＋96＋98＋100）－（1＋3＋5＋…＋95＋97＋99）（3）1991－1998＋1985－1982＋…＋11－8＋5－2[分析与解] （1）利用第一讲中的知识，“某数连续减去几个数，等于减去这几个数的和”，可将原式转化为：2000－（3＋6＋9＋…＋51＋54），所以，此题关键是求3＋6＋9＋…＋51＋54的和。
3＋6＋9＋…＋51＋54＝（3＋54）×[（54－3）÷3＋1]÷2＝57×9＝513从而，原式＝2000－513＝1487。
（2）同学们可能已经发现和式2＋4＋…＋98＋100，1＋3＋5＋…＋97＋99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法。
这样做，很自然，也比较简便。
有其他更为简单的解法吗？再看题，你会冒出一个好想法：运用加减法性质，先做减法：2－1，4－3，6－5，…，100－99，它们的差都等于1，然后计算等于1的差数有多少个。
由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减（以大减小），共得50个差数1，从而，原式＝（2－1）＋（4－3）＋…＋（98－97）×（100－99）＝50（3）利用求解题（2）的经验，容易发现1991－1988＝3，1985－1982＝3，…，5－2＝3这样，此题就归结为计算上述差的个数。
可以这样计算，由于此数列为等差数列，公差是3，由求项数公式可求得项数为：（1991－2）÷3＋1＝664（个）这664个数两两配对做减法运算，共得到664÷2＝332个差数，因而44444444443444444444421”个“原式) (332)25()811()19821985()19981991(-+-+⋯+-+-=＝3×332＝996[思考] 还可以怎样计算出差的个数？（还可根据每个括号中被减数所组成的等差数列的项数。
）[例5] 2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋4×3－3×2＋2×1[解]原式＝1999×（2000－1998）＋1997×（1998－1996）＋…＋3×（4－2）＋2×1＝（1999＋1997＋…＋3＋1）×2＝（1999＋1）×[（1999－1）÷2＋1]÷2×2＝2000×1000＝[小结] 解简单的数列问题，首先要判断该数列是否为等差数列，再找出首项、末项、项数等相关量，最后运用相应公式正确求解。
【能力训练】1．计算：（1）1＋2＋3＋…＋76＋77＋78（2）1＋3＋5＋…＋95＋97＋99（3）2＋6＋10＋14＋…＋202＋206＋210（4）4＋7＋10＋…＋292＋295＋2982．求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4．计算：（1）4000－1－2－3－…－76－77－78（2）560－557＋554－551＋…＋500－497（3）204－198＋192－186＋…＋24－18＋12－6*5．计算：（1）（1＋3＋5＋...＋1999）－（2＋4＋6＋ (1998)（2）1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9＋10＋11－12＋…＋25＋26＋27－28参考答案【能力训练】1．（1）（1＋78）×78÷2＝3081（2）（1＋99）×50÷2＝2500（提示：1到100这一百个自然数中奇、偶数各一半）（3）（2＋210）×[（210－2）÷4＋1]÷2＝5618（4）（4＋298）×[（298－4）÷3＋1]÷2＝149492．（5＋93）×[（93－5）÷4＋1]÷2＝11273．末项＝13＋（30－1）×5＝158和＝（13＋158）×30÷2＝25654．（1）4000－（1＋2＋3＋ (78)＝4000－[（1＋78）×78÷2]＝4000－3081＝919（2）3×11＝33（等差数列560，557，554，551，…，500，497，共有（560－497）÷3＋1＝22项）（3）6×17＝102（等差数列204，198，192，…，12，6，共有（204－6）÷6＋1＝34项）*5．（1）1＋（3－2）＋（5－4）＋（7－6）＋（1999－1998）＝1＋999×1＝1000（2）（1＋2＋3＋4＋…＋25＋26＋27＋28）－2×（4＋8＋…＋24＋28）＝（1＋28）×28÷2－2×（4＋28）×[（28－4）÷4＋1]÷2＝29×14－16×14＝13×14＝182教学内容：简单的数列问题（二）上一讲中，我们学习了什么是等差数列，等差数列的求和公式，以及求项数、末项的公式。
这一讲，我们介绍如何利用这些公式，解决与等差数列有关的问题。
[例1]求所有被2除余数是1的三位数的和。
[分析]首先应分析一下被2除余数是1的三位数是哪些数。
能被2整除的三位数中最小的是100，所以被2除余数是1的三位数中最小的是101。
采用同样的办法可知，三位数中最大的被2除余1的数是999，而且这样的三位数前后两数都差2，因此它们构成一个等差数列，故可以利用等差数列求和公式求和。
[解]所求的三位数的和是101＋103＋105＋…＋999项数＝（999－101）÷2＋1＝898÷2＋1＝450和＝（101＋999）×450÷2＝247500答：所有被2除余数是1的三位数的和是247500由例1可以看出，解这种类型题目的关键是根据题意正确地找出满足条件的数列，然后求和。
[例2]1至100内所有不能被5或9整除的数的和是多少？[分析与解]如果要直接找出1至100内所有不能被5或9整除的数比较麻烦，因此我们采用间接的办法来解。
可以先分别找出能被5或9整除的数，并求出它们的和，然后再从1＋2＋3＋…＋100的和中减去它们的和，即为所求的解。
1至100内所有能被5整除的数是5，10，15，…，100，这个等差数列的项数＝（100－5）÷5＋1＝95÷5＋1＝20，因此5＋10＋15＋…＋100＝（5＋100）×20÷2＝105×20÷2＝10501至100内所有能被9整除的数是9，18，27，…，99，这个等差数列的项数＝（99－9）÷9＋1＝11，因此，9＋18＋27＋…＋99＝（9＋99）×11÷2＝108×11÷2＝594应该注意到，1至100内45，90这两个数既能被5整除，又能被9整除，因此在上面两个数列的求和中都有45、90这两个数。
所以，1至100内所有不能被5或9整除的数的和是：（1＋2＋3＋…＋100）－（5＋10＋15＋…＋100）－（9＋18＋27＋…＋99）＋（45＋90）＝5050－1050－594＋135＝3541由例2可以看出，解这种类型的题目时，如果直接找数列比较困难，那么可以采用间接的方法求解。
另外，解题时分析思考要周密细致，列算式时不要重复，也不要遗漏。