2021届河北衡水金卷新高考仿真考试（三）理科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()12a ia R i+∈-在复平面内对应的点在直线y x =上，则a =（ ） A. 1 B. 3-C. 1-D.13【答案】B 【解析】 【分析】化简复数为代数形式，利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得a 。

详解】()()1222112555a i i a i a a i i +++-+==+-， 因为()12a i a R i +∈-在复平面内对应的点221(,)55a a -+， 该点在直线y x =上，所以22155a a -+=，所以3a =-， 故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义，掌握复数的除法运算是解题关键.2.已知集合{}2230A x Z x x =∈--≤，21122y B y -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B 中的元素个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个【答案】D 【解析】 【分析】求出集合,,A B A B ⋂即得答案.【详解】解不等式2230,x x x Z --≤∈，可得{1,0,1,2,3}A =-. 解不等式21122y -≥，可得[)0,B =+∞. {0,1,2,3}A B ∴⋂=，含有4个元素．故选：D .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.3.若k ∈R ，则3k >-是方程22133x y k k +=-+表示双曲线的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线3k -和3k +异号，进而求得k 的范围即可判断是什么条件．【详解】解：因为方程22133x y k k +=-+表示双曲线，所以()()330k k -+<，解得33k -<<，因为()3,3- ()3,-+∞，所以3k >-是方程22133x y k k +=-+表示双曲线的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义是解决本题的关键，属于基础题． 4.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A.43钱 B.73钱 C.83钱 D.103钱【答案】C 【解析】 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10求得a ＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ， 又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10，∴a ＝2， 则a ﹣2d ＝a 48333a a +==． 故选C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题． 5.在ABC ∆中，23BD BC =，E 为AD 的中点，则CE =（ ） A.1263AB AC - B. 2136AB AC - C. 1536AB AC -D.5163AB AC - 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】如图：1122CE CA CD =+1126CA CB =+ 11()26CA AB AC =+- 1263AB AC =-, 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于容易题.6.以下说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位③在某项测里中，测量结果ξ服从正态分布()()22,0N σσ>，若ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，则ξ在()2,3内取值的概率为0.4；④随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.其中错误的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据各命题对应的知识即可判断各命题的真假.【详解】解：对于①，方差是衡量一组数据的离散程度，当一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，这组数据的离散程度不变，所以方差不变，所以①正确； 对于②，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位，所以②错误； 对于③，由ξ服从正态分布()()22,0N σσ>，ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，所以ξ在()3,+∞内取值的概率也为0.1，所以ξ在()2,3内取值的概率为0.4，所以③正确；对于④，随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值是正确的，所以④正确， 所以错误的命题有1个 故选：B【点睛】此题考查了统计中的有关概念，性质，方法的理解和应用，属于基础题.7.某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A.NM N-B.MM N-C.M NN- D.M N【答案】D 【解析】 【分析】利用定积分计算出矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e 的等式，解出e 的表达式即可.【详解】在函数xy e =的解析式中，令1x =，可得y e =，则点()1,B e ，直线BC 的方程为y e =，矩形OABC 中位于曲线xy e =上方区域的面积为()()1101xxS e e dx ex e =-=-=⎰，矩形OABC 的面积为1e e ⨯=， 由几何概型的概率公式得1N M e =，所以，M e N=. 故选：D.【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算e 的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.8.执行如图的程序框图，最后输出结果为8.若判断框填入的条件是s a ≥，则实数a 的取值范围是( )A. (]21,28B. [)21,28C. (]28,36D. [)28,36【答案】A 【解析】 【分析】根据循环结构程序框图的运算，求得k =7及k =8时s 的值，判断框填入的条件是s a ≥，即可得a 的取值范围.【详解】1k =，0s =，①条件不满足，1s =，2k =；②条件不满足，3s =，3k =； ③条件不满足，6s =，4k =；④条件不满足，10s =，5k =； ⑤条件不满足，15s =，6k =；⑥条件不满足，21s =，7k =； ⑦条件不满足，28s =，8k；满足条件，退出循环.2128a ∴<≤.故选：A .【点睛】本题考查程序框图计算，此类问题需要分析程序框图中各个变量、语句的作用，根据流程图的顺序依次计算即可，属于基础题. 9.已知定义在R 上的偶函数()2x kf x ex -=+（其中e 为自然对数的底数），记()20.3a f =，()0.32b f =，()3log 2c f k =+，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. b c a <<B. c a b <<C. a c b <<D. b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据定义在R 上的偶函数()2x kf x ex -=+，则()()f x f x -=，解得0k =，得到()2x f x e x =+在[0,)+∞上的单调性，再根据20.330.3,log 2,2的大小关系，利用单调性定义求解.【详解】由定义在R 上的偶函数()2x kf x e x -=+，得：()()f x f x -=， 即()22---+-=+x kx kex ex ，所以+-=x k x k e e ， 解得0k =，所以()2xf x e x =+，因为[0,)x ∈+∞时，xy e =，2yx 单调递增，所以()2xf x e x =+在[0,)+∞上单调递增， 因为20.300.31,21<<>，122331log 2log 30.50.090.3>>=>=，所以20.330.3log 22<<，所以()20.3<f ()3log 2+f k ()0.32<f ，即a c b <<. 故选：C【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性，单调性比较函数值的大小，还考查了转化问题求解的能力，属于中档题.10.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b==>>的左右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线E ：()220y px p =>的焦点与双曲线C 的右焦点2F 重合，点P 为C 与E 的一个交点，且直线1PF 的倾斜角为45°则双曲线的离心率为（ ）A.12B.1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线焦点2(,0)F c ，可得抛物线的焦点坐标为(,0)c ，准线l 方程为x c =-，过点P 做PM l ⊥，垂足为M ，根据题意有21||||||PF PM MF ==，可得2PF x ⊥轴，进而将12||,||PF PF 用c 表示，结合双曲线定义，即可求解.【详解】设双曲线焦点2(,0)F c ，则抛物线E 的准线l 方程为x c =-， 过P 做PM l ⊥，垂足为M ，则2||||PM PF =，121211,45,45,|||PMF F PF F MPF MP MF ∠=︒∴∠=︒=，12212211||||,,||||2,||MF PF PF F F PF F F c PF ∴=⊥∴===，又点P 在双曲线上，12||||22(21)PF PF a c ∴-==-，12121ce a ===+-. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线和抛物线的性质，应用曲线的定义是解题关键，注意几何方法的合理运用，属于中档题.11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，3AB =，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，11C D 的中点，点P 在平面ABCD 内，若直线1//D P 平面EFG ，则线段1D P 长度的最小值是（ ）A.223B.62C.5 D.72【答案】D 【解析】 【分析】首先找出过1D 点且与平面EFG 平行的平面，然后在三角形内找线段1D P 长度的最小值即可. 【详解】如图，连接1D A ，AC ，1D C ，因为E ，F ，G 分别为AB ，BC ，11C D 的中点， 所以//,AC EF EF ⊄平面1ACD ，则//EF 平面1ACD ， 因为1//EG AD ，所以同理得//EG 平面1ACD ，又EFEG E =，得平面1//ACD 平面EFG ，因为直线1//D P 平面EFG ，所以点P 在直线AC 上,在1ACD ∆中，有1AD =2AC =，12CD =，所以112AD CS ∆==， 故当1D P AC ⊥时，线段1D P 的长度最小，有11112AD CS AC D P D P ∆=⨯⨯⇒=2122=⨯. 故选：D.【点睛】本题考查了空间中两平面平行的证明，等面积法求点到直线距离，属于一般题.12.已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ） A. (,2ln 2)-∞- B. (],2ln 2-∞- C. (,112ln 2)-∞-+ D. (],112ln 2-∞-+【答案】C 【解析】 【分析】先求导得221()ax x f x x-+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围.【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：13.61(2)x x-的展开式中常数项是___________. 【答案】-160 【解析】试题分析：常数项为333461(2)()160T C x x=-=-. 考点：二项展开式系数问题.14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，()()11f x f x +=-，且当(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，则17()2f =______. 【答案】1- 【解析】 【分析】 由()()0f x f x ，知函数()f x 奇函数，结合(1)(1)f x f x +=-得函数周期4，化简171()()22f f =由已知条件得解. 【详解】由()()0f x f x 知函数()f x 为奇函数，()()f x f x ∴=--()()11f x f x +=-，()()()2f x f x f x +=-=-()()()()42f x f x f x f x ⎡⎤∴+=-+=--=⎣⎦，所以函数的周期为4， 17171()(24)()222f f f =-⨯=，11()()22f f =-- 又(1,0)x ∈-时，41()log ()2f x x =--，4111()log ()1222f ∴-=-=1711()()()1222f f f ==--=- 故答案：1-【点睛】本题考查奇偶性与周期性综合问题.其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．15.已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，n *∈N ，()()112122n n n n n n b a a +++=++，对任意的n *∈N ，n k T >恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】13k ≥ 【解析】 【分析】由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，两式相减整理后可知11n n a a --=，则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，从而可得n a n =，进而可以确定111221n n n b n n +=-+++，则可求出121111 (3213)n n n T b b b n +=+++=-<++，进而可求出k 的取值范围. 【详解】因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得:22112n n n n n a a a a a --=+-- ， 整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=， 由0n a > 知，10n n a a -+≠， 从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列， 则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则121111111 (36611221)n n n n T b b b n n +=+++=-+-++-+++ 11311213n n +=<++- 所以13k ≥.故答案为：13k ≥.【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.一般如果已知了,n n S a 的关系式，一般地代入11,1,2,n nn S n a S S n n N *-=⎧=⎨-≥∈⎩ 进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.16.已知三棱锥S ABC -的顶点都在球O 的球面上，且该三棱锥的体积为SA ⊥平面ABC ，4SA =，120ABC ∠=︒，则球O 的体积的最小值为______.【答案】3【解析】 【分析】根据体积公式得到6BA BC ⋅=，根据余弦定理得到AC ≥，根据正弦定理得到r ≥，根据2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得到R ≥.【详解】11143322S C C AB AB V S SA BA BC -∆=⋅=⨯⨯⋅⨯=，故6BA BC ⋅=. 根据余弦定理：222222cos 3AC BA BC BA BC B BA BC BA BC BA BC =+-⋅=++⋅≥⋅，即AC ≥BA BC =时等号成立.设外接圆半径为r ，故2sin br B=≥，即r ≥设球O 的半径为R ，球心O 在平面ABC 的投影1O 为ABC ∆外心，则22264102SA R r ⎛⎫=+≥+= ⎪⎝⎭，R ≥343V R π=≥.故答案为：3.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，点13,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，点A 是单位圆与x 轴的正半轴的交点.（1）若AOB α∠=，求sin 2α；（2）设点P 为单位圆上的动点，点Q 满足OQ OQ OP =+，ππ262AOP θθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭，()f OB OQ θ=⋅，求()fθ的取值范围.当OQ OQ ⊥时，求四边形OAQP 的面积.【答案】（1）3；（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，32. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义，结合题的条件，可知3sin α=，1cos 2α=-，之后应用正弦倍角公式求得结果；（2）根据三角函数的定义，写出()cos2,sin 2P θθ，利用向量加法运算法则求得()1cos2,2sin 2OQ θθ=+，应用向量数量积的坐标运算式以及辅助角公式求得()π1sin 262f θθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合θ角的范围，求得()f θ的取值范围，令()0f OB OQ θ=⋅=，解得π23θ=，利用面积公式求得结果.【详解】（1）由三角函数定义，可知sin α=，1cos 2α=-，所以1sin 22sin cos 2222ααα⎛⎫==⨯-=-⎪⎝⎭. （2）由三角函数定义，知()cos2,sin 2P θθ， 所以()1cos2,2sin 2OQ OA OP θθ=+=+，所以()()1π11cos 22sin 2262fOB OQ θθθθ⎛⎫=⋅=-+=-- ⎪⎝⎭， 因为ππ62θ≤≤，所以ππ5π2666θ≤-≤，即1πsin 2126θ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，于是()102f θ≤≤，所以()f θ的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.当OB OQ ⊥时，()0f OB OQ θ=⋅=，即π12062sin θ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得π23θ=，易知四边形OAQP 为菱形，此时菱形OAQP 的面积为1π211sin 232⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】该题考查的是有关三角函数和向量的综合题，涉及到的知识点有三角函数的定义，正弦倍角公式，正弦型函数在给定区间上的值域，菱形的面积公式，属于中档题目.18.《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行.作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25,85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的入数如下表：（1）填写下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；（2）若对年龄在[45,55)，[65,75)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X ，求随机变量的分布列和数学期望.参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(1)2×2 列联表没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． ( 2 ) X 的分布列是45EX =;【解析】 【分析】(1 ) 利用表格数据，根据联列表利用公式求解即可．( 2 ) 通过 X 的取值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【详解】(1)2×2 列联表222()50(311729) 6.27 6.635()()()()10403218n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯,所以没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． ( 2 )X 所有可能取值有 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，22842210584(0)225C C P X C C ===;111428228422105104(1)22+5C C P X C C C C C ===; 111222248422105(2)+32255C C P X C C C C C ===;1242210522(3)225C C P X C C ===; 所以 X 的分布列是 X 0123P 84225 104225 35225 2225所以 X 的期望值是 1047064022********EX =+++=. 【点睛】本题考查概率统计中的独立性检验和随机变量的分布列和期望的计算，属于中档题. 19.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=.（1）证明：11B C AC ⊥；（2）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为11A C 的中点，求1B C 与平面1AB M 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（265. 【解析】 【分析】（1）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ，1BC ，则由已知可得，1B D AB ⊥，CD AB ⊥，从而可得AB ⊥平面1B CD ，1AB B C ⊥，所以有1B C ⊥平面1ABC ，可得11B C AC ⊥，（2）由于DB ，1DB ，DC 两两垂直，所以以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解1B C 与平面1AB M 所成角的余弦值. 【详解】证明：（1）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ，1BC .如图，∵三棱柱的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=， ∴ABC 和1ABB △是边长为2的等边三角形，且11B C BC ⊥. ∴1B D AB ⊥，CD AB ⊥.∵1B D ，CD ⊂平面1B CD ，1⋂=B D CD D ，∴AB ⊥平面1B CD . ∵1B C ⊂平面1B CD ，∴1AB B C ⊥. ∵AB ，1BC ⊂平面1ABC ，1ABBC B =，∴1B C ⊥平面1ABC ，∴11B C AC ⊥.（2）∵平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（1）知1B D AB ⊥，∴1B D ⊥平面ABC .则DB ，1DB ，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴， 建立空间直角坐标系.则()0,0,0D ，()1,0,0A -，(13B ，()3,0C ，(13,3C -，(13A -∵M 为11A C 的中点，∴33,322M ⎛- ⎝，∴(10,3,3B C =-，(13AB =，1332AM ⎛=- ⎝， 设平面1AB M 的法向量为(),,n x y z =，则13013302AB n x z AM n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1z =，得()3,3,1n =--. 设1B C 与平面1AB M 所成的角为α，则1143226sin 13613B C n B C nα⋅===⋅⋅.∴1B C 与平面1AB M 所成角的余弦为6513. 【点睛】此题考查由线面垂直证线线垂直，考查求线面角，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 20.已知动点P 到点(1,0)F 的距离与它到直线:4l x =的距离d 的比值为12，设动点P 形成的轨迹为曲线C .（1）求曲统C 的方程；（2）过点3)Q 的直线l 与C 交于E ，F 两点，已知点(2,0)D ，直线0x x =分别与直线DE ，DF 交于S ，T 两点，线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（232230x y +-=. 【解析】【分析】（1）由题意12PFd ==化简可得; （2）直线l 的方程为(2)x ty =+,与椭圆方程联解，设点()11,E x y ，()22,F x y ，()00,M x y ，利用线段ST 的中点M ，表示出12000122(2))(2)12s T y y y y y x x x x =+=-+---，0022y x =-利用根与系数关系代入化简可得解. 【详解】（1）设(,)P x y，由题意得12PFd ==， 整理化简得22143x y +=，曲线方程为22143x y +=. （2）设直线的方程为(2)x ty =+，设()11,E x y ，()22,F x y ，()00,M x y ，直线DE 的方程为11(2)2y y x x =--，101(2)2s y y x x =--， 同理202(2)2T y y x x =--， 所以12000122(2))(2)12s T y y y y y x x x x =+=-+---，即0120122222y y y x x x =+=---， 联立22(2)34120x ty x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，∴2222(34)(12)90t y t y t ++-+-=， 所以12y y=，12y y +=，代入得00222y x ==-0020y +-=，所以点M20y +-=上.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的取值范围等基本知识与基本技能，以及数形结合、转化与化归的数学思想.意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及分析问题、解决问题的能力.21.已知函数()1ln 1f x a x x=+-，其中a R ∈，e 为自然对数的底数. （1）若1a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（3）设函数()()1x g x e f x x=+-在区间()0,a e -)上存在极值，求证：11a a e a --+>+. 【答案】（1）0y =（2）01a <<或1a >（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）对a 分00a a ≤>，两种情况讨论，当0a >时，再分三种情况结合导数分类讨论；（3）先求出()x xe a g x x-'=，要使得()g x 在()0,a e -上存在极值，则须满足()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩即0,0,a a e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩分析推理即可得到11a a e a --+>+. 【详解】（1）当1a =时，()1ln 1f x x x =+-，()10f =，()211f x x x -'=，()10f '=， 所以函数()f x 在1x =处得切线方程为0y =．（2）因为()1ln 1f x a x x =+-，0x >，()10f =， 所以()2211a ax f x x x x-'=-=． ①若0a ≤，则()0f x '<，()f x 在()0,∞+上是单调增函数，所以()f x 在()0,∞+上至多一个零点，与题意不符合．②若0a >，令()0f x '=，得1x a=．（ⅰ）若11a=，即1a =时，()f x 有且仅有一个零点1x =，与题意不符． （ⅱ）若11a >，即01a <<时，11a e >，()110f f a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 又11111ln 10a a a af e a e e e ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，且()f x 的图像在()0,∞+上不间断， 所以存在101,a x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x =．此时，()f x 在()0,∞+恰有两个不同得零点1x =和101,a x x e a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭．所以01a <<符合题意．（ⅲ）若101a<<，即1a >时，()110f f a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭． 令()()21a a a f e e a ϕ-==--，()2a a e a ϕ'=-，()20a a e ϕ''=->，所以()a ϕ'在()1,+∞上是单调增函数，()()20a a e ϕϕ'>=->，所以()a ϕ在()1,+∞上是单调增函数，()()120a e ϕϕ>=->．所以()0a f e ->，且01a e -<<，()f x 的图像在()0,∞+上不间断， 所以存在01,a x e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x =． 此时，()f x 在()0,∞+恰有两个不同得零点1x =和01,a x x e a -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭． 所以1a >符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是01a <<或1a >．（3）依题意()11ln 1ln 1x x g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭，0a x e -<<． 则()x xa xe a g x e x x -'=-=，令()x t x xe a =-，()0,a x e -∈，()(1)0x t x e x '=+>， 所以()t x 在()0,a e -上是单调增函数．要使得()g x 在()0,a e -上存在极值，则须满足()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩即0,0,a a e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩ 所以0a a e e a -->>，ln e e a a -->，即ln a e a a ->+．由（2）可知，当0x >时，()1ln 10f x x x =+-≥， 所以0a >，1ln 10a a +-≥． 所以1111ln 1ln 10a e a a a a a a a a --+-->++--=+-≥，即110a e a a --+-->， 所以11a e a a --+>+．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点.x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的参数方程为,2132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为1,cos x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩（ϕ为参数），曲线1C 、2C 交于A 、B 两点．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）已知P点的直角坐标为23⎫-⎪⎝⎭，求PA PB ⋅的值．【答案】（Ⅰ）曲线1C的极坐标方程为sin()6πρθ-=曲线2C 的普通方程为2212y x -=；（Ⅱ）6445【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程、参数方程、普通方程间的互化公式即可；（Ⅱ）联立直线参数方程与双曲线方程得到关于t 的一元二次方程，进一步得到根与系数的关系，再由直线参数方程的几何意义即可解决.【详解】（Ⅰ）由,2132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去t，得0x -=，所以cos sin 0ρθθ-=，即sin()6πρθ-=由1,cos x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩消去ϕ得，2212y x -=，所以曲线1C 的极坐标方程为sin()62πρθ-=-，曲线2C 的普通方程为2212y x -=. （Ⅱ）将,2132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入2212y x -=中，得25480839t t +-=， 设A 、B 两点所对的参数分别为12,t t ， 则126445t t =-，所以PA PB ⋅=1264||45t t =. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程间的互化，以及直线参数方程的几何意义求长度问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.选修4-5：不等式选讲23.设函数()2121f x x x =-++.（1）若存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤-，求实数m 取值范围；（2）若m 是（1）中的最大值，且正数a ，b 满足a b m +=，证明：221a b b a+≥. 【答案】(1) 21m -≤≤.(2)见解析.【解析】(1)先求出f(x)的最小值为3，再解不等式235m m +≤-得解；（2）利用基本不等式证明22a b a b b a+++≥2a+2b,又因为a+b=1,不等式即得证. 【详解】（1）∵()|21|2|1|212(1)3f x x x x x =-++≥--+=，∵存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤-，∴235m m +≤-，∴21m -≤≤. （2）由（1）知：m 的最大值为1，∴1a b +=，∴22a b a b b a +++≥22a b =+，∴221a b a b b a +≥+=. 当且仅当a b =时取“=”.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查不等式的存在性问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。