普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}x x y x A 2|2-==，{}1|2+==x y y B ，则=⋂B A （ ） A ．[)∞+，1 B ．[)∞+，2 C ．(][)+∞∞-,20,U D ．[)∞+，0 2.已知R a ∈，且i a ,0>是虚数单位，22=++ii a ，则=a （ ） A ．4 B ．23 C ． 19 D ．523.已知)θ-θsin cos ，则直线AB 的斜率为A ．4.相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．25.袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（ ）A ．73B ．31 C. 21 D ．52 6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由程大位所著，其中记载这样一首诗：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！其含义为：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？现有如图所示的程序框图，输入n m ,分别代表钱数和果子个数，则符合输出值p 的为（ ）A ．p 为甜果数343B ．p 为苦果数343C.p 为甜果数657 D ．p 为苦果数6577.03132sin =-⎪⎭⎫ ⎝⎛π+x 在区间()π，0内的所有零点之和为（ ） A ．6π B ．3π C. 67π D ．34π 8.已知112,0:22<++>∀x ax x x p 恒成立，若p ⌝为真命题，则实数a 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C. 4 D ．59.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．332+πB ．33+π C.3+π D ．63+π 10.如图为正方体1111D C B A ABCD -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B ，运动过程种，点M 与平面11DC A 的距离保持不变，运动的路程x 与MD MC MA l ++=11之间满足函数关系)(x f l =，则此函数图象大致是（ ）A ．B ． C. D ． 11.抛物线px yC 2:2=的准线交x 轴于点M ，过点M 的直线交抛物线于Q N 、两点，F 为抛物线的焦点，若︒=∠90NFQ ，则直线NQ 的斜率)0(>k k 为（ ）A ．2B ．2 C. 21 D ．22 12.已知函数()⎩⎨⎧≥<--=),0(),0(22x x e x x x x f ()a e x g x +=+1，其中e 为自然对数的底数，若())(x g x f y -=有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()e -∞-,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-3,2e C.()()0,1,--∞-U e D ．()0,13,2-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-U e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量⎪⎭⎫ ⎝⎛-==3,21),3,1(OB OA ,M 是椭圆1422=+y x 上的动点，则MB MA ⋅的最小值为 ． 14.已知),(y x 满足22+≤≤x y x ，则35--x y 的取值范围是 ． 15.ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为b a c c b a 22,,,+=，当C ∠最大时，=+∆22b a S ABC ． 16.3位逻辑学家分配10枚金币，因为都对自己的逻辑能力很自信，决定按以下方案分配：(1)抽签确定各人序号：1，2，3；(2)1号提出分配方案，然后其余各人进行表决，如果方案得到不少于半数的人同意（提出方案的人默认同意自己方案），就按照他的方案进行分配，否则1好只得到2枚金币，然后退出分配与表决；(3)再由2号提出方案，剩余各人进行表决，当且仅当不少于半数的人同意时(提出方案的人默认同意自己方案），才会按照他的提案进行分配，否则也将得到2枚金币，然后退出分配与表决；(4)最后剩的金币都给3号.每一位逻辑学家都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，1号为得到最多的金币，提出的分配方案中1号、2号、3号所得金币的数量分别为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足)1)(3(4-+=n n n a a S ，且0>n a .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n a n a a n a a a T 2222121⋅+⋯+⋅+⋅=的值.18. 某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数()21.7,127~N ξ,且所有得分都是整数.(1)求全班平均成绩；(2)计算得分超过141的人数；（精确到整数）(3)甲同学每次考试进入年级前100名的概率是41，若本学期有4次考试，X 表示进入前100名的次数，写出X 的分布列，并求期望与方差.参考数据：(),6826.0=σ+μ≤ξ<σ-μP ()9544.022=σ+μ≤ξ<σ-μP .19已知在直角梯形D ABC '中，︒=∠=∠90B A ，2',1===BC AB AD ，将BD C '∆沿BD 折起至CBD ∆，使二面角A BD C --为直角.(1)求证：平面⊥ADC 平面ABC ； (2)若点M 满足AC AM λ=,[]10，∈λ，当二面角C BD M --为45°时，求λ的值.20.如图，矩形ABCD 中，()()()()2,2,2,2,0,2,0,2--D C B A ,且DC DN AD AM λ=λ=,,、[]AN ,1,0∈λ交BM 于点Q .(1)若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称，求曲线P 的轨迹方程；(2)过点()03，作曲线P 的两条互相垂直的弦GH EF 、，四边形GHEF 的面积为S ，探究GH EF S +是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由.21.已知函数()11--+=x e x a x x f ，其中e 为自然对数的底数.(1)若()x f 有极值点，求证：必有一个极值点在区间），（31内； (2)求证：对任意1,1->>a x ，有()⎪⎭⎫ ⎝⎛+>x x x f ln 211. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θ=ρsin 2.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在平面直角坐标系中，将曲线C 的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线D ，过点)0,2(M 作直线l ，交曲线D 于B A 、两点，若2=⋅MB MA ，求直线l 的斜率.23.（(2)2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)答案一、选择题1-5:BCDDB 6-10: BCABC 11、12：DC二、填空题13.433- 14.[]2,1 15. 2033+ 16.9,0,1 三、解答题17.解：(1)当2≥n 时，由()()321342-+=-+=n n n n n a a a a S ，得()()134111-+=---n n n a a S32121-+=--n n a a ，两式相减得()()()()()022********=--+⇒-+-=------n n n n n n n n n n a a a a a a a a S S . 由0>n a ，得)2(021≥=---n a a n n ，故{}n a 为等差数列，公差为2.当1=n 时，由()()31341111=⇒-+=a a a S ，所以12+=n a n .(2)易知()12753212272523+⋅++⋯+⋅+⋅+⋅=n n n T ，()()32127521221225234++⋅++⋅-+⋯+⋅+⋅=n n n n n T ，两式相减得()()32127532122222233++⋅+-+⋯+++⋅=-n n n n T ()322)1(2632122121223+-⋅+---⋅+⋅=n n n 32)16(832++-=n n ， 所以()9821632-+=+n n n T . 18.解：(1)由不同成绩段的人数服从正态分布)1.7,127(2N ，可知平均成绩127=μ.(2)()()2.141141>ξ=>ξP P()1.72127⨯+>ξ=P[]0228.022(121=σ+μ≤ξ<σ-μ-⨯=P , 故141分以上的人数为230.02281000≈⨯人.(3)X 的取值为0，1，2，3，4，2568143)0(4=⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P , 64274341)1(3114=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P , 128274341)2(2224=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P , 6434341)3(1324=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ,方差()4343414)1(=⨯⨯=-=p np X D . 19.解：(1)梯形D ABC '中，∵，︒=∠==90,1DAB AB AD ∴2=BD . 又∵2'45'=︒=∠BC DBC ，,∴2'=D C ,∴︒=∠90'BDC .∴︒=∠90BDC .折起后，∵二面角A BD C --为直角，∴平面⊥CBD 平面ABD .又平面⋂CBD 平面BD CD BD ABD ⊥=,,∴⊥CD 平面ABD .又⊂AB 平面ABD ，∴CD AB ⊥.又∵D CD AD AD AB =⋂⊥,,∴⊥AB 平面CAD .又∵⊂AB 平面ABC ，∴平面⊥ADC 平面ABC .(2)由(1)知，⊥DC 平面AD AB ABD ⊥,，∴以D 为原点，DCAB DA ,,方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则()()()0,0,1,2,0,0,0,1,1A C B ,设),,(z y x M ，由AC AM λ=, 得⎪⎩⎪⎨⎧λ==λ-=-201z y x ，得)20,1(λλ-M .取线段BD 的中点E ，连结AE ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21E , ∵AB AD =,∴BD AE ⊥.又∵D BD CD AE CD =⋂⊥,,∴⊥AE 平面BDC .∴平面BDC 的一个法向量为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,21. 设平面MDB 的一个法向量为),,(c b a m =，则()⎩⎨⎧=+=λ+λ-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,02100b a c a m DM m 取λ-=1c ，则()λ-λλ-=1,2,2m .∴22|cos |=m ， 即3122)1(22222222222=λ⇒=λ-+λ+λ⋅λ+λ或1-. ∵0>λ，∴31=λ. 20.解：(1)设),(y x Q ， 由求得∵QA k ∴⋅QA k ∴422-+x x y 整理得)10,02(1422≤≤≤≤-=+y x y x . 可知点Q 的轨迹为第二象限的41椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为1422=+y x . (2)设()),(,,2211y x F y x E ，当直线EF 斜率存在且不为零时，设直线EF 的斜率为k ，把)3(-=x k y 代入椭圆方程，化简整理得()0412********=-+-+k x k x k . 222124138,0)1(16k k x x k +=+>+=∆， 222141412kk x x +-=.∴2121x x k EF -+= ()[]()2221221241144)1(k k x x x x k ++=-++=. ∵GH EF ⊥,∴把k 换成k1-，即得224)1(4k k GH ++=. ∴()22224)1(441142121kk k k GH EF S ++⋅++⋅=⋅= ()22224)41()1(8k k k +++=， ()()22221414k k GH EF +++=+=5=+GH EF . ∴GH EF S +为定值52. 21.解：(1)易知()122112)1()('-----+=x e x a x a x x f ， 设()12)1(2---+=a x a x x g ， 若)(x f 有极值点，则()0=x g 有两个不相等的实根，∴0562>++=∆a a ，∴5-<a 或1->a ，此时，()())5)(1(31+--=⋅a a g g0)5)(1(<++-=a a ，∴()x g 有两个零点，且有一个在区间()31，内. 即()x f 有一个极值点在区间()31，内. (2)由1,1>->x a ，得01>->+x x a ， 得11>-+x a x ， ()111-->-+=∴x x e e x a x x f . ∴只需证()1ln 2111>⎪⎭⎫ ⎝⎛+>-x x x ex . 令(x ϕ则('ϕx . ∴当x 为增函数，∴(ϕx x . )1>， 即证()1ln 211>+>x x x ， 令x x x h ln 211)(--= 则0212121)('>-=-=xx x x x h ， ∴当1>x 时，)(x h 为增函数，∴0)1()(=>h x h ，即x x ln 211+>. ∴原不等式成立.22.解：(1)由θ=ρsin 2，得θρ=ρsin 22， 将y y x =θρ+=ρsin ,222，代入整理得0222=-+y y x .(2)把0222=-+y y x 中的x 换成2x ， 即得曲线D 的直角坐标方程0242=-+y y x . 设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ϕ=ϕ+=sin ,cos 2t y t x （t 为参数，[)π∈ϕ,0），代入曲线D 的方程，整理得()()04sin 8cos 4sin 4cos 222=+ϕ-ϕ+ϕ+ϕt t ， 0)sin 4(cos 16)sin 8cos 4(222>ϕ+ϕ-ϕ-ϕ=∆ 0sin cos <ϕϕ⇒.设B A ,两点所对应的参数分别为,t t ，22tan 31sin 2±=ϕ⇒=ϕ⇒. 由0sin cos <ϕϕ，得22tan -=ϕ， 即直线l 的斜率为22-. 23.解：(1)由柯西不等式，得()91111112222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅≥++⎪⎭⎫ ⎝⎛++c c b b a a c b a c b a ， 当且仅当33===c b a 时，取等号.所以222111cb a ++的最小值为9. (2)由222y x xy +≤， 得6722332133221222+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⋅+a a a . 同理得672332122+≤⋅+b b ， 672332122+≤⋅+c c . 三式相加得()4272111332222222=+++≤+++++c b a c b a ，∴。