2015年高考北京市文科数学真题一、选择题1.若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A B = （ ） A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<<C ．{}33x x -<<D ．{}53x x -<<2.圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-=3.下列函数中为偶函数的是（ ） A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．ln y x =D ．2xy -=4.某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中， ）A ．B ．C ．180D ．300 5.执行如果所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66.设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．1BCD ．2注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程。

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升 二、填空题9.复数(1)i i +的实部为__________________10.32-，123，2log 5三个数中最大数的是______________________11.在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B=______________________ 12.已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b =____________13.如图，C ∆AB 及其内部的点组成的集合记为D ，(),x y P 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为_____________14.高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是____________；②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是______________三、解答题15.已知函数()2sin 2x f x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值16.已知等差数列{}满足+=10，-=2.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}满足，；问：与数列{}的第几项相等？17.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？18.如图，在三棱锥E-ABC 中，平面EAB ⊥平面ABC ，三角形EAB 为等边三角形，AC ⊥ BC,且AC=BC=,O,M 分别为AB,EA 的中点。

（Ⅰ）EB//平面MOC.（Ⅱ）平面MOC ⊥平面 EAB （Ⅲ）求三棱锥E-ABC 的体积。

19.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点20.已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．2015年高考北京市文科数学真题一、选择题 1.答案：A 解析过程：在数轴上将集合A 、B 表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A B 为图中阴影部分， 即{}32x x -<<，选A 2.答案：D 解析过程：由题意可得圆的半径为r =则圆的标准方程为()()22112x y -+-=.选D 3.答案：B 解析过程：根据偶函数的定义()()f x f x -=， A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，选B. 4.答案：C 解析过程：由题意得，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=； 设样本中老年教师的人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x =，解得180x =.选C 5.答案：B 解析过程：初值为3a =，0k =，进入循环体后，32a =，1k =； 34a =，2k =；38a =，3k =；316a =，4k =； 此时14a <，退出循环，故4k =，选B6.答案：A 解析过程：||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅<>，由已知得cos ,1a b <>= ，即,0a b <>= ，//a b. 而当//a b时，,a b <> 还可能是π，此时||||a b a b ⋅=- ，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件.选A7.答案：C 解析过程：四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC ⊥平面ABCD ，SA 是四棱锥最长的棱，SA == C8.答案：B 解析过程：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，选B. 二、填空题 9.答案：1- 解析过程：复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 10.答案：2log 5 解析过程：31218-=<，121=>，22log 5log 42>>>2log 5最大11.答案：4π 解析过程：由正弦定理，得sin sin a bA B ==所以sin 2B =，所以4B π∠=.12.解析过程：由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =13.答案：7 解析过程：由题意得，目标函数233z b x ==-+， 因此当2x =，1y =，即在点A 处z 取得最大值为7 14.答案：乙、数学解析过程：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后； 而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙； ②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多； 而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少， 所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.三、解答题15.答案：（Ⅰ）2π；（Ⅱ）解析过程：（Ⅰ）因为()sin f x x x =2sin()3x π=+-所以，()f x 的最小正周期为2π（Ⅱ）因为203x π≤≤，所以33x πππ≤+≤ 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值所以()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2()3f π=16.答案：（Ⅰ）42(1)22n a n n =+-=+；（Ⅱ）6b 与数列{}n a 的第63项相等. 解析过程：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n = . （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =. 所以61642128b -=⨯=. 由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.17.答案：（Ⅰ）0.2；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）同时购买丙的可能性最大.解析过程：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.2 1000=（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.3 1000+=（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.2 1000=，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.1 1000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.18.答案：（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析；（Ⅲ）3. 解析过程：（Ⅰ）因为,O M分别为AB，V A的中点，所以//OM VB.又因为VB⊄平面MOC，所以//VB平面MOC.（Ⅱ）因为AC BC=，O为AB的中点，所以OC AB⊥.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面V AB.所以平面MOC⊥平面V AB.（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB中，AC BC==所以2,1AB OC ==.所以等边三角形VAB 的面积VAB S ∆又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C-V AB 的体积等于133VAB OC S ∆⨯⨯=. 又因为三棱锥V-ABC 的体积与三棱锥C-V AB 的体积相等，所以三棱锥V-ABC 的体积为3.19.答案：（Ⅰ）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )2k k f -=； （Ⅱ）证明详见解析.解析过程：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，0k >得 ()2k x kf x x x x-'=-=，由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间()0,+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间(1上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间(1上的唯一零点.当k e >时，()fx 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e k f -=<， 所以()fx 在区间(1上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()fx 在区间(1上仅有一个零点.20. 答案：（Ⅱ）1；（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行. 解析过程： （Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=. 所以a =1b=，c =所以椭圆C 的离心率3c e a ==. （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-. （Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--. 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+. 直线BM 的斜率11212323BM y x y x k x ++--=- 因为11112121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=-- 121121(1)[2()3](3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3]1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=--0=， 所以，1BM DE k k ==，所以//BM DE 综上可知，直线BM 与直线DE 平行。