5．2平行关系的性质
时间：45分钟满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、() A．平行
B．相交
C．异面
D．平行和异面
★答案☆：A
解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
∴AB∥GH.
2．设平面α∥β，直线aα，直线bβ，有下列四种情形：①a⊥b；②a∥b；③a与b 为异面直线；④a与b相交．其中可能出现的情形有()
A．1种B．2种
C．3种D．4种
★答案☆：C
解析：易知①②③均可能出现，如果a与b相交，则α与β有公共点，这与α∥β相矛盾，故④不可能出现．
3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是()
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE EA＝BF FC，且DH HA＝DG GC
D．AE EB＝AH HD，且BF FC＝DG GC
★答案☆：D
解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的所有直线中()
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
★答案☆：A
解析：当直线a平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.
5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C()
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
★答案☆：D
解析：如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.
则CE∥AA′，∴CE∥α.
C′E∥BB′，∴C′E∥β.
又∵α∥β，∴C′E∥α.
∵C′E∩CE＝E.
∴平面CC′E∥平面α.
∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．
6．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为()
A．16和12 B．15和13
C．17和11 D．18和10
★答案☆：B
解析：
如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND ＝5，
∴x2－81＝(28－x)2－25，
∴x＝15,28－x＝13.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8,12，过AB的中点E作平行于BD、AC的截面四边形的周长为________．
★答案☆：20
解析：截面四边形为平行四边形，则l＝2×(4＋6)＝20.
8．如图所示，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 四边上的点，且它们共面，AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 为菱形时，AE EB ＝________.
★答案☆：m ∶n
解析：因为AC ∥平面EFGH ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ，AC 平面ABC ，所以EF
∥AC ，所以EB BA ＝EF AC ①.同理可证AE BA ＝EH BD
②.又四边形EFGH 是菱形，所以EF ＝EH ，由①②，得AE EB ＝AC BD .又AC ＝m ，BD ＝n ，所以AE EB ＝m n
. 9．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，
D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则点M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.
★答案☆：M ∈线段FH
解析：如图，连接FH ，HN ，FN ，由平面HNF ∥平面B 1BDD 1，知当点M 在线段FH
上时，有MN ∥平面B 1BDD 1.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10.
如图，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面CDD 1C 1于EF .求证：BB 1
∥EF .
证明：∵CC 1∥BB 1，CC 1⃘平面BEFB 1，BB 1平面BEFB 1，
∴CC 1∥平面BEFB 1.
又CC 1平面CC 1D 1D ，平面CC 1D 1D ∩BEFB 1＝EF ，
∴CC 1∥EF ，∴BB 1∥EF .
11．如图，多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1.
(1)证明：四边形ABED是正方形；
(2)判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由．
解：(1)平面ABC∥平面DEFG，平面ABED∩平面ABC＝AB，
平面ABED∩平面DEFG＝DE，由面面平行的性质定理，得AB∥DE.
同理AD∥BE.
所以四边形ABED为平行四边形．
又AB⊥AD，AB＝AD，
所以四边形ABED是正方形．
(2)如图，取DG的中点P，连接P A，PF.
在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE.
又AB∥DE，AB＝DE，所以AB∥FP且AB＝FP.
所以四边形ABFP为平行四边形，
所以AP∥BF.
在梯形ACGD中，AP∥CG，所以BF∥CG.
故B，C，F，G四点共面．
12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．解：能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，
PC1∥MC，PC1＝MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，
A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝ 5，MN ＝2 2， ∴A 1H ＝ 3.
∴S △A 1MN ＝12
×2 2× 3＝ 6. 故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.。