1994年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)2222x xdx x -+=+⎰_____________.(2) 已知0()1f x '=-,则000lim(2)()x xf x x f x x →=---_____________.(3) 设方程2cos xye y x +=确定y 为x 的函数,则dydx=_____________. (4) 设121000000,00000n na a A a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中0,1,2,,,i a i n ≠=则1A -=_____________.(5) 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随意取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1) 曲线2121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()0f x >,则方程1()0()xxabf t dt dt f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内的根有 ( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷多个 (3) 设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且0AB =,则A 和B 的秩 ( )(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n ,一个等于n (D) 都等于n (4) 设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),ααα=-==4(1,2,2,0),α=-5(2,1,5,10),α=则该向量组的极大线性无关组是 ( )(A) 123,,ααα (B) 124,,ααα(C) 125,,ααα (D) 1245,,,αααα(5) 设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=,则 ( ) (A) 事件A 和B 互不相容 (B) 事件A 和B 相互对立 (C) 事件A 和B 互不独立 (D) 事件A 和B 相互独立三、(本题满分5分)求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞-+.四、(本题满分5分)已知22(,)arctan arctan y x f x y x y x y=-,求2f x y ∂∂∂.五、(本题满分6分)已知sin xx是函数()f x 的一个原函数,求3()x f x dx '⎰.六、(本题满分8分)某养殖场养两种鱼,若甲种鱼放养x (万尾),乙种鱼放养y (万尾),收获时两种鱼的收获量分别为(3)x y x αβ--和(42)x y y βα-- (0)αβ>>,求使产鱼总量最大的放养数.七、(本题满分8分)已知曲线(0)y x a =>与曲线ln y x =00(,)x y 处有公共切线,求:(1) 常数a 及切点00(,)x y ；(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S .八、(本题满分7分)设函数()f x 有导数,且10(0)0,()()xn n nf F x t f x t dt -==-⎰.证明：20()1lim(0)2nx F x f x n→'=.九、(本题满分8分)设123,,ααα是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系.证明122331,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.十、(本题满分8分)设0011100A x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.十一、(本题满分7分)假设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他. 现在对X 进行n 次独立重复观测,以n V 表示观测值不大于0.1的次数.试求随机变量n V 的概率分布.十二、(本题满分8分)假设由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布(,1)N μ,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T (单位:元)与销售零件的内径X 有如下关系:1,10,20,1012,5,12.X T X X -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】ln 3 【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为 0,当被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以有原式22222220022222x x x dx dx dx x x x -=+=+++⎰⎰⎰ 22212dx x=+⎰22ln (2)ln 6ln 2ln 3.x =+=-=(2)【答案】1【解析】由此题极限的形式可构造导数的定义的形式,从而求得极限值.由于000(2)()limx f x x f x x x→---00000(2)()()()limx f x x f x f x x f x x→----+= 00000000(2)()()()(2)lim lim 2()() 1.2x x f x x f x f x x f x f x f x x x →→----''=-+=-+=--所以 原式0001lim1(2)()1x x f x x f x x →===---.【相关知识点】导数的定义：0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.(3)【答案】sin 2xy xyye xy xe y+'=-+ 【解析】将方程2cos xye y x +=看成关于x 的恒等式,即y 看作x 的函数. 两边对x 求导,得sin ()2sin 2xy xyxyye xe y xy yy x y xe y+'''++=-⇒=-+. 【相关知识点】两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.(4)【答案】121100010001001000n n a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式11100A B B A---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 且 11122111n n a a a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以,本题对A 分块后可得1121100010001001000n n a a A a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (5)【答案】23【解析】设事件i A =“取到的是第i 等品”,1,2,3i =,则由题意有1{}0.6P A =, 2{}0.3P A =, 3{}0.1P A =.应用条件概率公式得3113133()()0.62(|).1()0.93()P A A P A P A A P A P A ====-二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)【解析】本题是关于求渐近线的问题.由于2121lim arctan (1)(2)4x x x x e x x π→∞++=+-,故4y π=为该曲线的一条水平渐近线.又 21201lim arctan (1)(2)x x x x e x x →++=∞+-.故0x =为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞=,则y a =为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim ()x af x →=∞,则x a =为铅直渐近线；斜渐近线：若有()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐近线.(2)【答案】(B)【解析】方法1：令1()(),[,]()xxabF x f t dt dt x a b f t =+∈⎰⎰, 则1()()0.()F x f x f x '=+> 故()F x 在区间[],a b 内是单调递增的. 又 11()0()()ab ba F a dt dt f t f t ==-<⎰⎰, ()()0.b a F b f t dt =>⎰由介值定理知()0F x =在(),a b 内仅有一个根.应选(B). 方法2：排除法.由题设条件,可令()1f x =,此时方程1()0()xxabf t dt dt f t +=⎰⎰变为 ()()0x a x b -+-=,即2()0x a b -+=.该方程在(),a b 内仅有一个实根2a b+,则(A)、(C)、(D)均不正确.故本题应选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.(3)【答案】(B)【解析】本题主要考查矩阵秩的概念和性质,还涉及到矩阵运算、可逆,齐次方程组解的概念与性质等知识点.在中学的代数里,若0ab =,我们知道至少有一个数为0,而作为矩阵运算0AB =就不能说其中至少有一个矩阵是零矩阵,这种差异要搞清楚.例如1222000.241100-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 由0AB =不能得出0A =或0B =,那么再按矩阵秩的定义就知(A)错误.又()0r A n A =⇔≠A ⇔可逆.因此对于0AB =,若其中有一个矩阵的秩为n ,例如设()r A n =,则有1100.B A AB A --===与已知0B ≠相矛盾.从而可排除(C)、(D).对0AB =,把矩阵B 与零矩阵均按列分块1212(,,,)(,,,)(0,0,,0),n n AB A A A A ββββββ===于是0(1,2,,)i A i n β==,即i β是齐次方程组0Ax =的解.因此,0AB =,0B ≠表明0Ax =有非零解,从而()r A n <. 可以继续用非零解的观点来处理秩()r B ,方法如下：()00,T T T T B A AB ===从TA 非零,知()Tr B n <,故()r B n <.当然,本题最简单的方法是用命题：若A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,0AB =,则()()r A r B n +≤. 再由A ,B 均非零,按秩得定义有()1r A ≥,()1r B ≥,也就不难看出应选(B). (4)【答案】(B)【解析】这是一道常规题,按一般方法求解即可.方法一：对()12345,,,,Tααααα作初等行变换,并记下每次变换的式子,有1231241512112411241124031203120312330714031200001220010401042215100312000αααααααααα---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 现在已经可以看出秩为3,极大线性无关组是124,,ααα. 方法二：用列向量()12345,,,,TT T T T ααααα作行变换,有1031210312103121031213021033130110101101217250110103313000104214010022420224200000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦每行第1个非0数在第1,2,4列,故124,,ααα是极大线性无关组. 故此题应选(B). (5)【答案】(D)【解析】事实上,当0()1P B <<时,(|)(|)P A B P A B =是事件A 与B 独立的充分必要条件,证明如下：若(|)(|)P A B P A B =,则()()()1()P AB P AB P B P B =-, ()()()()()P AB P B P AB P B P AB -=,()()[()()]()()P AB P B P AB P AB P B P A =⋅+=,由独立的定义,即得A 与B 相互独立.若A 与B 相互独立,直接应用乘法公式可以证明(|)(|)P A B P A B = .(|)1(|)(|)P A B P A B P A B =-=.由于事件B 的发生与否不影响事件A 发生的概率,直观上可以判断A 和B 相互独立. 所以本题选(D).三、(本题满分5分)【解析】根据本题极限式的特点,用换元法,令1t x=,x →∞换为0t →,则 原式220011ln(1)lim ln(1)lim t t t t t t t t →→-+⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦, 现在已化为“”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达法则,有 原式0011111limlim .22(1)2t t t t t →→-+===+四、(本题满分5分)【解析】由复合函数求导法,首先求fx∂∂,由题设可得2222212arctan 11f y x y y x x xx y y x x y ∂⎛⎫=+⋅--⋅ ⎪∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2322222arctan 2arctan y x y y yx x y x x y x y x=--=-++.再对y 求偏导数即得222222222212111fxx x y x yx x y x y y x ∂-=-=-=∂∂++⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂.五、(本题满分6分)【解析】由于sin x x 是函数()f x 的一个原函数,则sin ()x f x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭2cos sin x x xx -=,利用不定积分的分部积分法求解本题.3332()()()3()xf x dx x df x x f x x f x dx '==-⎰⎰⎰3232sin sin ()3()32sin x x x f x x d x f x x xdx x x ⎛⎫⎡⎤=-=-⋅-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰ 32cos sin 3sin 6cos x x xx x x x C x-=⋅--+ 2cos 4sin 6cos x x x x x C =--+,其中C 为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部求导公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或者 .udv uv vdu =-⎰⎰六、(本题满分8分)【解析】设产鱼总量为z ,则产鱼总量的函数为22(3)(42)3422z x y x x y y x y x y xy αββαααβ=--+--=+---.由二元函数求极值的方法,为求驻点,令3220,4240.zx y xzx y yαββα∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩ 由于0αβ>>,知其系数行列式224(2)0αβ∆=->.故方程组有惟一解,即0022223243,22(2)x y αβαβαβαβ--==--. 容易验证000,0x y >>,且0000000003(,)(3)(42)2.2x z x y x y x x y y y αββα=--+--=+ 因为是实际问题,又由于驻点惟一,且实际问题必有最大值,故0x 和0y 分别为所求甲和乙两种鱼的放养数.七、(本题满分8分)【解析】利用00(,)x y 在两条曲线上及两曲线在00(,)x y 处切线斜率相等列出三个方程,由此,可求出00,,a x y ,然后再求平面图形的面积S .(1) 过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中,当0()y x '存在时,0()k y x '=.由y x =2y x'=.由y x =知12y x'=. 由于两曲线在00(,)x y 处有公共切线,00122x x =,得021x a =. 将021x a =分别代入两曲线方程,有00222111ln 1ln y y a a a ====于是 20211,a x e e a ===, 从而切点为2(,1)e .(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S 为12220()y S e e y dy =-⎰122301123y e e y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭211.62e =-八、(本题满分7分)【解析】应用换元法,令n nx t u -=,则 11001()()()()().n x x n n nn n F x t f x t dt f u du F x x f x n --'=-=⇒=⎰⎰ 由于20()lim n x F x x → 为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达法则,得 122121000()()()lim lim lim 22n n n n n x x x F x F x x f x x nx nx ---→→→'== 001()1()(0)lim lim 220n n n n x x f x f x f n x n x →→-==-, 由导数的定义有 原式1(0)2f n'=. 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.九、(本题满分8分)【解析】由1212()000,A A A αααα+=+=+=知12αα+是0Ax =的解.同理知 2331,αααα++也都是0Ax =的解.若112223331()()()0k k k αααααα+++++=,即311122233()()()0k k k k k k ααα+++++=.由于123,,ααα是基础解系,知123,,ααα线性无关.故知1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩因为系数行列式 10111020011=≠,所以方程组只有零解1230k k k ===.从而122331,,αααααα+++线性无关. 由已知,0Ax =的基础解系含三个线性无关的解向量,所以122331,,αααααα+++也是0Ax =的基础解系.【相关知识点】1.解的结构:若12,ηη是Ax b =对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中ξ是Ax b =的一个特解.2.解的性质：如果12,ηη是0Ax =的两个解,则其线性组合1122k k ηη+仍是0Ax =的解；如果ξ是Ax b =的一个解,η是0Ax =的一个解,则ξη+仍是Ax b =的解.十、(本题满分8分)【解析】由A 的特征方程,按照第二列展开,有20111(1)(1)(1)0110E A x y λλλλλλλλλ---=---=-=-+=--, 得到A 的特征值为1231,1λλλ===-.由题设有三个线性无关的特征向量,因此,1λ=必有两个线性无关的特征向量, 从而()1r E A -=.这样才能保证方程组()0E A X -=解空间的维数是2, 即有两个线性无关的解向量.由初等行变换,将E A -第一行加到第三行上,第一行乘以x 后加到第二行上有101101000101000E A x y x y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 由()1r E A -=,得x 和y 必须满足条件0x y +=.十一、(本题满分7分)【解析】已知随机变量X 的概率密度,依题意有概率0.10{0.1}20.01P X xdx ≤==⎰. 求得二项分布的概率参数后,在n 次独立重复观测中,事件{0.1}X ≤出现的次数n V 服从二项分布(,0.01)B n .所以有概率函数为{}(0.01)(0.99)m m n m n n P V m C -== (0,1,)m n =.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k k n k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.十二、(本题满分8分)【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有{}{}{}()10201012512E T P X P X P X =-<+≤≤-> (10)20[(12)(10)]5[1(12)]μμμμ=-Φ-+Φ--Φ---Φ- 25(12)21(10) 5.μμ=Φ--Φ--此时数学期望依赖于参数μ,为使其达到最大值,令其一阶导数为0,有22(10)(12)22()25(12)21(10)25],2dE T e e d μμϕμϕμμπ----=--+-=- 令 ()0dE T d μ=,22(10)(12)22022μμππ----=, 即22(10)(12)2222μμππ----=.解上面的方程得 012511ln 10.9.221μμ==-≈ 得到唯一驻点010.9μμ=≈,因为此问题是实际问题,所以平均利润函数必然有最大值,而且这个最大值是唯一的.由题意知,当010.9μμ=≈毫米时,平均利润最大.。