第三章1．解：考虑分5次取产品，每次取一个。

设随机变量X 表示取出的5个产品中的次品数，引入随机变量X i 表示第i 次取产品的结果：1 0 i i X i i ⎧=⎨⎩，第次取到次品 （=1,2,3,4,5)，第次取到合格品则有12345X X X X X X =++++易知，X i 有相同的分布律：14109951001{1}10i C P P P X ⨯===， 19{0}11010i X P ==-=则911()01101010i X E =⨯+⨯=，于是51234511()()()50.510i i E X E X X X X X E X ==++++==⨯=∑。

注意：随机变量X 并不服从二项分布，这是因为每次取产品的结果不是相互独立的，前面取产品的结果会影响到后面取产品的结果。

为了理解这一点，可以考虑求任意取出的20个产品中次品数的期望值；或者改成100个产品中有2个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值；注意在这两种情形下，随机变量X 的可能取值。

2．解：设随机变量X 表示3人中生日在第一季度的人数，由于每个人生日在各个月份的机会是同样的，并且每个人的生日应该相互独立，因此(,)13 4X B ，那么3人中生日在第一季度的平均人数为().130754E X n p ==⨯=。

3．略。

4．解：由于()X P λ ，因此(),()E X D X λλ==，再由公式()()[()]22D XE X E X =-，可求得()()[()]222E X D X E X λλ=+=+。

由数学期望的性质，有[()()][]()()22221232 32 32 22E X X E X X E X E X λλλλλ--=-+=-+=+-+=-+则可得到关于λ的方程2221λλ-+=亦即2210λλ-+=容易求得1λ=。

5．解：（1）设随机变量X 表示发生故障的设备台数，则依题意可知(,.)20 001X B ，由于20n =较大，.001p =较小，因此(.)02X P 近似。

当发生故障的设备超过一台的时候，维修工就不能及时维修，其概率为{}{}{}...11011081870163700176P X P X P X >=-=-==--=；（2）设随机变量X 表示发生故障的设备台数，则依题意可知(,.)80 001X B ，由于80n =较大，.001p =较小，因此(.)08X P 近似。

当发生故障的设备超过三台的时候，维修工就不能及时维修，其概率为{}{}{}{}{}.....310123 10449303595014380038300091P X P X P X P X P X >=-=-=-=-==----=6．解：方法一：由于函数12xxe-为奇函数，因此()()102xE X xf x dx xedx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰；方法二：由期望的计算公式，可得()()[][]001112221111 02222xxxxxxxE X xf x dx xedx xe dx xedxxe e xee+∞+∞+∞---∞-∞-∞--+∞-∞===+=-+--=-+=⎰⎰⎰⎰7．解为奇函数，因此()()10E X xf x dx +∞-∞-===⎰⎰；方法二：由期望的计算公式，可得()()()112111102xE X xf x dx x +∞-∞--===--=-=⎰⎰⎰8．解：依题意，可得()()().10110110752aa k f x dx kx dx a k E X xf x dx kx dx a +∞-∞+∞+-∞⎧===⎪⎪+⎨⎪====⎪+⎩⎰⎰⎰⎰； 因此，求解上述方程组，可求得,2 3a k ==。

9．解：（1）由概率密度函数的性质，可得()sin cos sin cos 4440221244kk k f x dx k x xdx xdx xπππ+∞-∞===-==⎰⎰⎰；因此，可求得4k =；（2）由期望的计算公式，可得()()sin cos sin cos cos cos sin 4404444042211 222222E X xf x dx x x xdx x xdxx d x x xxdx xππππππ+∞-∞==⋅=⋅=-⋅=-+==⎰⎰⎰⎰⎰。

10．解：依题意，可知(.)0002X E ，其中.0002λ=； （1）...{}().100100100000200020210000021xxP X f x dx edx ee----∞>===-=-⎰⎰；（2）热水器平均能正常使用的时间为().115000002E X λ===小时。

11．解：由课本48页定理2随机变量函数的期望计算公式，有()(sin )sin ()sin 0xE Y E X xf x dx xedx +∞+∞--∞===⎰⎰；而sin sin sin sin cos cos cos cos sin 01xxxxxxxxxxedx xdexe ed x xedxxdexe ed xxedx+∞+∞--+∞+∞+∞---+∞+∞+∞---+∞-=-=-+==-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；即sin 021xxedx +∞-=⎰，因此()(sin )sin 012xE Y E X xedx +∞-===⎰。

12．解：由于(,) X B n p ，因此有()()()1218E X n p D X n p p ==⎧⎨=-=⎩； 因此，求解上述方程组，可求得,136 3n p ==。

13．比较两种测量方法所测得数据的方差，方差小的精确度较好。

14．解：方法一：由于函数x 是偶函数，因此()()110E X xf x dx x x dx +∞-∞-==⋅=⎰⎰；()()[()]()()2221122311 22D XE X E X E X x f x dx x x dx x dx +∞-∞-=-===⋅==⎰⎰⎰； 方法二：由期望和方差的计算公式，可得()()101221111033E X xf x dx x x dx x dx x dx +∞-∞--==⋅=-+=-+=⎰⎰⎰⎰；()()[()]()()22212211331111 442D XE X E X E X x f x dx x x dx x dx x dx +∞-∞--=-===⋅=-+=+=⎰⎰⎰⎰。

15．解：方法一：容易验证()()f x f x -=，即概率密度函数()f x 是偶函数，因此()()()110E X xf x dx xf x dx +∞-∞-===⎰⎰；()()[()]()()()()()222122111221 2216D XE X E X E X x f x dx x f x dxx f x dx x x dx +∞-∞-=-=====-=⎰⎰⎰⎰。

方法二：由期望和方差的计算公式，可得()()()()()101111111066E X xf x dx xf x dx x x dx x x dx +∞-∞--===++-=-+=⎰⎰⎰⎰；()()[()]()()()()2220122211 116D XE X E X E X x f x dx x x dx x x dx +∞-∞-=-===++-=⎰⎰⎰。

16．解：由期望和方差的计算公式，可得()()13334E X xf x dx x dx +∞-∞===⎰⎰；()()1224335E X x f x dx x dx +∞-∞===⎰⎰；()()[()]2223354D X E X E X ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。

17．解：容易求得12c =，可知X 服从均匀分布，即(,)1 3X U ，因此可求得()1322E X +==，()()2311123D X -==。