选修2-21.3.1函数的单调性与导数一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()A．b2－4ac>0B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0[答案] D[解析]∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)[答案] D[解析]考查导数的简单应用．f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)[答案] B[解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )[答案] C[解析] 当0<x <1时xf ′(x )<0∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数当x >1时xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选C.5．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π20和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π[答案] A[解析] y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时， cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，当0<x <π2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0. 6．下列命题成立的是( )A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存在D ．若f ′(x )在(a ，b )上都存在，则f (x )必为单调函数[答案] B[解析] 若f (x )在(a ，b )内是增函数，则f ′(x )≥0，故A 错；f (x )在(a ，b )内是单调函数与f ′(x )是否存在无必然联系，故C 错；f (x )＝2在(a ，b )上的导数为f ′(x )＝0存在，但f (x )无单调性，故D 错．7．(2007·福建理，11)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0[答案] B[解析] f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.8．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (a )≤f (b )B ．bf (b )≤f (a )C ．af (b )≤bf (a )D ．bf (a )≤af (b )[答案] C [解析] ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，且x >0，f (x )≥0，∴f ′(x )≤－f (x )x，即f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 又0＜a ＜b ，∴af (b )≤bf (a )．9．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)[答案] C[解析] 由(x －1)f ′(x )≥0得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f (x )恒为常数，故f (0)＋f (2)≥2f (1)．故应选C.10．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为( )[答案] A[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题11．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．[答案] b <－1或b >2[解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意b ＜－1或b ＞2.12．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________．[答案] a ≥1[解析] 由已知a ＞1＋ln x x在区间(1，＋∞)内恒成立． 设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x 2＜0 (x ＞1)， ∴g (x )＝1＋ln x x在区间(1，＋∞)内单调递减， ∴g (x )＜g (1)，∵g (1)＝1，∴1＋ln x x＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1.13．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1)[解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12， ∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)．14．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．[答案] [3，＋∞)[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax <0在区间(0,2)内恒成立，即a >32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3. 三、解答题15．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．[解析] (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12， 解得a ＝1，b ＝－3.(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．16．求证：方程x －12sin x ＝0只有一个根x ＝0. [证明] 设f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)， 则f ′(x )＝1－12cos x ＞0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －12sin x ＝0有唯一的根x ＝0. 17．已知函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．[分析] 可先由函数y ＝ax 与y ＝－b x的单调性确定a 、b 的取值范围，再根据a 、b 的取值范围去确定y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．[解析] ∵函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，∴a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5得y ′＝3ax 2＋2bx .令y ′＞0，得3ax 2＋2bx ＞0，∴－2b 3a ＜x ＜0. ∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ，0时，函数为增函数． 令y ′＜0，即3ax 2＋2bx ＜0，∴x ＜－2b 3a，或x ＞0. ∴在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2b 3a ，(0，＋∞)上时，函数为减函数． 18．(2010·新课标全国文，21)设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．[解析] (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2， f ′(x )＝e x －1＋xe x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时g (x )≥0，即f (x )≥0.当a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时g (x )<0，即f (x )<0.综合得a 的取值范围为(－∞，1]．。