导数练习题1.(本题满分12分)已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示.(I )求d c ,的值;(II )若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数)(x f 的解析式;(III )在(II )的条件下,函数)(x f y =与mx x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围. 2.(本小题满分12分)已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. (I )求函数)(x f 的单调区间;(II )函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间(1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围.3.(本小题满分14分)已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I )求实数a 的取值范围;(II )若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式;(III )对于(II )中的函数)(x f ,对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f .4.(本小题满分12分)已知常数0>a ,e 为自然对数的底数,函数x e x f x -=)(,x a x x g ln )(2-=. (I )写出)(x f 的单调递增区间,并证明a e a >; (II )讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数. 5.(本小题满分14分)已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+.(I )当1k =时,求函数()f x 的最大值;(II )若函数()f x 没有零点,求实数k 的取值范围; 6.(本小题满分12分)已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点(⋅⋅⋅=718.2e ). (I )求实数a 的值;(II )求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值.7.(本小题满分14分)已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f(I )当a=18时,求函数)(x f 的单调区间; (II )求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值. 8.(本小题满分12分)已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有...单调性. (I )求实数a 的取值范围;(II )若()f x '是()f x 的导函数,设22()()6g x f x x '=+-,试证明:对任意两个不相等正数12x x 、,不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立. 9.(本小题满分12分)已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f(I )讨论函数)(x f 的单调性;(II )证明:若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10.(本小题满分14分)已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-.(I )若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数a 的取值范围;(II )若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ,设()()()F x f x g x =-,求证:当12,[1,]x x a ∈时,不等式12|()()|1F x F x -<成立. 11.(本小题满分12分)设曲线C :()ln f x x ex =-( 2.71828e =⋅⋅⋅),()f x '表示()f x 导函数. (I )求函数()f x 的极值;(II )对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ,22(,)B x y ,12x x <,求证:存在唯一的0x 12(,)x x ∈,使直线AB 的斜率等于0()f x '. 12.(本小题满分14分)定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ,(I )令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+,写出函数()f x 的定义域;(II )令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ,若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为-8的切线,求实数a 的取值范围;(III )当,*x y ∈N 且x y <时,求证(,)(,)F x y F y x >.导数练习题答案1.(本题满分12分)已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示.(I )求d c ,的值;(II )若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数)(x f 的解析式; (III )在(II )的条件下,函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围.解:函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………(2分) (I )由图可知 函数)(x f 的图象过点(0,3),且0)1('=f 得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=0323233c d b a c b a d …………(4分)(II )依题意 3)2('-=f 且5)2(=f解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………(8分) (III )9123)(2+-='x x x f .可转化为:()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根,即:()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点; 42381432--=+-='x x x x x g()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,273. …………(10分) 当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时,有三个交点, 故而,276816<<-m 为所求. …………(12分)2.(本小题满分12分)已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. (I )求函数)(x f 的单调区间;(II )函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间(1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围.解:(I ))0()1()('>-=x xx a x f (2分)当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时,)(x f 不是单调函数 (5分)(II )32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g (6分)⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g (8分)⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m (10分))3,319(--∈m (12分)3.(本小题满分14分)已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I )求实数a 的取值范围;(II )若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式;(III )对于(II )中的函数)(x f ,对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f .解:(I ),23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f由33210)(+-==⇒='a x x x f 或,因为当1=x 时取得极大值, 所以31332-<⇒>+-a a ,所以)3,(:--∞的取值范围是a ;…………(4分) (依题意得:9)32()32(2762+-=++a a a ,解得:9-=a所以函数)(x f 的解析式是:x x x x f 159)(23+-=…………(10分)(III )对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2,2]有: 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81, 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f .…………(14分) 4.(本小题满分12分)已知常数0>a ,e 为自然对数的底数,函数x e x f x -=)(,x a x x g ln )(2-=. (I )写出)(x f 的单调递增区间,并证明a e a >; (II )讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数. 解:(I )01)(≥-='x e x f ,得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞, …………(2分) ∵0>a ,∴1)0()(=>f a f ,∴a a e a >+>1,即a e a >. …………(4分)(II )a x a x a x x g )22)(22(22)(-+=-=',由0)(='x g ,得22a x =,列表当2x )222(a,无极大值. …………(6分)由(I )a e a >,∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22a a e e aa ,∴22a e a>,∴22ae a >01)1(>=g ,0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………(8分)(i )当122≤a,即20≤<a 时,函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 (ii )当122>a ,即2>a 时若0)2ln 1(2>-a a ,即e a 22<<时,函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-a a ,即e a 2=时,函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =;若0)2ln 1(2<-a a ,即e a 2>时,函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点;综上所述,)(x g y =在(1,)a e 上,我们有结论:当02a e <<时,函数()f x 无零点; 当2a e = 时,函数()f x 有一个零点; 当2a e >时,函数()f x 有两个零点.…………(12分) 5.(本小题满分14分)已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+.(I )当1k =时,求函数()f x 的最大值;(II )若函数()f x 没有零点,求实数k 的取值范围; 解:(I )当1k =时,2()1x f x x -'=-)(x f 定义域为(1,+∞),令()0,2f x x '==得, ………………(2分)∵当(1,2),x ∈时()0f x '>,当(2,),x ∈+∞时()0f x '<, ∴()(1,2)f x 在内是增函数,(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时,()f x 取最大值(2)0f = ………………(4分)(II )①当0k ≤时,函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点, ∴函数()f x 有零点,不合要求; ………………(8分)②当0k >时,1()11()111kk x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………(6分)令1()0,k f x x k +'==得,∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k'∈++∞<时,∴1()(1,1)f x k +在内是增函数,1[1,)k++∞在上是减函数,∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-,∵函数()f x 没有零点,∴ln 0k -<,1k >,因此,若函数()f x 没有零点,则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞.………………(10分) 6.(本小题满分12分)已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点(⋅⋅⋅=718.2e ). (I )求实数a 的值;(II )求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值.解:(I )由2()(23)x f x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……(4分)∵2x =是函数()f x 的一个极值点,∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=,解得5a =- ……………(6分) (II )由0)1)(2()(>--='x e x x x f ,得)(x f 在)1,(-∞递增,在),2(+∞递增,由0)(<'x f ,得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值; ……………(8分)2347)23(e f =,3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =. ……………(12分)7.(本小题满分14分)已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f (I )当a=18时,求函数)(x f 的单调区间; (II )求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值. 解:(Ⅰ)x x x x f ln 164)(2--=, xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ,解得4>x 或2-<x注意到0>x ,所以函数)(x f 的单调递增区间是(4,+∞) 由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ,解得-2<x <4,注意到0>x ,所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(. 综上所述,函数)(x f 的单调增区间是(4,+∞),单调减区间是]4,0( 6分 (Ⅱ)在],[2e e x ∈时,x a x x x f ln )2(4)(2-+-= 所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2, 设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时,有△=16+4×208)2(<=-a a ,此时0)(>x g ,所以0)('>x f ,)(x f 在],[2e e 上单调递增, 所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分当0>a 时,△=08)2(2416>=-⨯-a a , 令0)('>x f ,即02422>-+-a x x ,解得221a x +>或221a x -<; 令0)('<x f ,即02422<-+-a x x , 解得221a -221ax +<<. ①若221a+≥2e ,即a ≥22)1(2-e 时, )(x f 在区间],[2e e 单调递减,所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若2221e ae <+<,即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间, )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减,在区间],221[2e a +上单调递增, 所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322a a a a +-+--=. ③若221a+≤e ,即a <0≤22)1(-e 时,)(x f 在区间],[2e e 单调递增,所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述,当a ≥222)1(-e 时,a e a x f 244)(24min -+-=;当222)1(2)1(2-<<-e a e 时,)221ln()2(322)(min aa a a x f +-+--=; 当a ≤2)1(2-e 时,a e e x f -+-=24)(2min14分 8.(本小题满分12分)已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有...单调性. (I )求实数a 的取值范围;(II )若()f x '是()f x 的导函数,设22()()6g x f x x '=+-,试证明:对任意两个不相等正数12x x 、,不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立.解:(I )226()26a x x af x x x x-+'=-+=, ………………(2分)∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有...单调性,∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0, 即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………(4分) ∵226y x x a =-+是对称轴是32x =,开口向上的抛物线,∴222620y a =⋅-⋅+<的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………(6分)(II )由(I )22()2a g x x xx =+-,方法1:2222()()62(0)a g x f x x x x x x'=-+=+->, ∵4a <,∴323233444244()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=,…………(8分)设2344()2h x x x =-+,3448124(23)()x h x x x x-'=-= ()h x 在3(0,)2是减函数,在3(,)2+∞增函数,当32x =时,()h x 取最小值3827∴从而()g x '3827>,∴38(())027g x x '->,函数38()27y g x x =-是增函数,12x x 、是两个不相等正数,不妨设12x x <,则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-,∵210x x ->,∴1212()()3827g x g x x x ->- ∴1212()()g x g x x x --3827>,即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………(12分)方法2:11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点,121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--,12x x +>Q 4a <12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+->+-1242x x >- ………(8分)设0t t =>,令32()244MN k u t t t ==+-,()4(32)u t t t '=-, 由()0u t '>,得2,3t >由()0u t '<得20,3t <<()u t ∴在)32,0(上是减函数,在),32(+∞上是增函数,)(t u ∴在32=t 处取极小值2738,38()27u t ∴≥,∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………(12分)9.(本小题满分12分)已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f(I )讨论函数)(x f 的单调性;(II )证明:若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意(1))(x f 的定义域为),0(+∞,xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= 2分(i )若2,11==-a a 即,则 .)1()('2xx x f -=故)(x f 在),0(+∞单调增加. (ii )若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少,在(0,a-1), ),1(+∞单调增加.(iii )若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即 单调增加.(II )考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ,从而当021>>x x 时有 故1)()(2121->--x x x f x f ,当210x x <<时,有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f10.(本小题满分14分)已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-.(I )若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数a 的取值范围;(II )若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ,设()()()F x f x g x =-,求证:当12,[1,]x x a ∈时,不等式12|()()|1F x F x -<成立.解:(I )(),()1a f x x g x a x''=+=+, ……………(2分)∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,∴当[1,3]x ∈时,2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立, ……………(4分) 即2(1)()0a x a ++≥恒成立, ∴21a a x >-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立,或21a a x<-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立, ∵91x -≤≤-,∴1a >-或9a ≤- ………………(6分)(II )21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+,()(1)()(1)a x a x F x x a xx--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞,(1,]a e ∈,即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数,在(1,)a 实际减函数,在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时,()F x 取极大值1(1)2M F a ==--,当x a =时,()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--, ………………(8分)∵12,[1,]x x a ∈,∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………(10分)设211()ln 22G a M m a a a =-=--,则()ln 1G a a a '=--,∴1[()]1G a a''=-,∵(1,]a e ∈,∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数,∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………(12分)∴()()G a G e ≤,即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-, 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=,∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时,不等式12|()()|1F x F x -<成立. ………………(14分) 11.(本小题满分12分)设曲线C :()ln f x x ex =-( 2.71828e =⋅⋅⋅),()f x '表示()f x 导函数. (I )求函数()f x 的极值;(II )对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ,22(,)B x y ,12x x <,求证:存在唯一的0x 12(,)x x ∈,使直线AB 的斜率等于0()f x '. 解:(I )11()0ex f x e x x -'=-==,得1x e= 当x 变化时,()f x '与()f x 变化情况如下表:∴当1x e=时,()f x 取得极大值()2f e=-,没有极小值; …………(4分)(II )(方法1)∵0()AB f x k '=,∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-,∴21201ln 0x x xx x --=即20211ln()0x x x x x --=,设2211()ln ()xg x x x x x =-- 211211()ln ()x g x x x x x =--,1/211()ln 10x x g x x =->,1()g x 是1x 的增函数, ∵12x x <,∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=;222211()ln ()x g x x x x x =--,2/221()ln 10x x g x x =->,2()g x 是2x 的增函数, ∵12x x <,∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=,∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x , …………(10分)又∵22111,ln 0x x x x >∴>,函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数, ∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ,命题成立…………(12分)(方法2)∵0()AB f x k '=,∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-, 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=,012(,)x x x ∈,且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-,则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-, 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-,20x x <<,∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=,同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………(10分)∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数 ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解,命题成立………(12分) 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线C 不存在拐点,不给分. 12.(本小题满分14分)定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ,(I )令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+,写出函数()f x 的定义域;(II )令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ,若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为-8的切线,求实数a 的取值范围;(III )当,*x y ∈N 且x y <时,求证(,)(,)F x y F y x >. 解:(I )22log (24)0x x -+>,即2241x x -+> ……………………(2分)得函数()f x 的定义域是(1,3)-, ……………………(4分) (II )22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为-8的切线, 又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解, ……………………(6分)由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ,200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解, ……………………(8分) 方法1:0082()()a x x <-+-,因为041x -<<-,所以0082()[8,10)()x x -+∈-, 当10a <时,存在实数b ,使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为-8的切线………………(10分)方法2:得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或,1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………(10分) 方法3:是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集,即10a < ………………(10分)(III )令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x xx h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x xxx p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p , ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………(12)分),1[)(+∞∴在x h 单调递减,x y y x y x x y yy x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时, ).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………(14分)①②③。