4
y P( x) y Q( x) y 0 (1)
特别地 若在I上有 y1( x) 常数,
y2( x) 则函数y1( x)与y2( x)在I上 线性无关.
定理2 如果函数y1(x)与 y2(x)是方程(1)的两个
线性无关的特解,那末 y C1 y1( x) C2 y2( x)
解的叠加原理 定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程.
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例 求解 y y x e x
解 y y 0 的通解是Y C1 cos x C2 sin x
再考虑两个方程 y y x, y y e x
y1

x,
y2

1 2
e x 分别是原方程的特解.
所以原方程的通解为
y Y y

C1
cos
x

C2
sin
x

x

1ex 2
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3. 一个重要结论 非齐次线性方程的两个特解之差是 对应齐次方程
的特解. 证 设y1, y2是非齐次线性方程的两个特解, 则
y1 P( x) y1 Q( x) y1 f ( x) (1) y2 P( x) y2 Q( x) y2 f ( x) (2)
叠 加
Q( x)[C1 y1 C2 y2 ]
原 理
C1[ y1 P( x) y1 Q( x) y1] C2[ y2 P( x) y2 Q( x) y2 ]
0
y C1 y1( x) C2 y2( x) 一定是通解
3
定义 设y1, y2 ,, yn为定义在区间I内的n个函数. 如果存在n个不全为零的常数, 使得当x在该区间内 恒等式成立
(1) (2)得
( y1 y2 ) P( x)( y1 y2 ) Q( x)( y1 y2 ) 0
所以 y1 y2 是齐次方程的解.
11
作业
习题12.4(337页） 1. 2. 3.
12
思考题
已知y1 3, y2 3 x2 , y3 3 x2 e x
7
如 方程 y y x2 是二阶非齐次线性方程
已知Y C1 cos x C2 sin x 是对应齐次方程 y y 0 的通解. 又容易验证 y x2 2 是所给方程的一个特解. y Y y
C1 cos x C2 sin x x2 2
都是微分方程
( x2 2x) y ( x2 2) y (2x Байду номын сангаас 2) y 6x 6
的解, 求此方程的通解.
结论 非齐次线性方程的两个特解之差 是对应
齐次方程的特解.
13
已知y1 3, y2 3 x2 , y3 3 x2 e x
都是微分方程: ( x2 2x) y ( x2 2) y (2x 2) y 6x 6
2. 二阶非齐次线性方程的解的结构
定理3 设y 是二阶非齐次线性微分方程
y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么y Y y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的 通解.
为了求非齐次线性方程的通解, 只要求得: 非齐次线性方程的一个特解 和对应齐次线性方程 的通解.
k1 y1 k2 y2 kn yn 0,
则称这n个函数在区间I内 线性相关, 否则称 线性无关.
如 1，cos2 x, sin2 x ( x (,)) 线性相关
e x，ex , e2x ( x (,)) 线性无关
取k1 1, k2 k3 1,有恒等式 1 cos2 x sin2 x 0
也是(1)的 通解.
为了求 齐次 线性方程的通解,
只要求它的两个线性无关的特解.
如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x,
且
y2 y1
tan x
常数,
通解 y C1 cos x C2 sin x.
5
定理2 可推广到n 阶齐次线性方程. 推论 如果函数 y1( x), y2( x), yn( x) 是n 阶齐次 线性方程
y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn( x) y 0
的n 个线性无关的解, 则此方程的通解为
y C1 y1( x) C2 y2( x) Cn yn( x),
其中 C1,C2 ,Cn 为任意常数.
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y P( x) y Q( x) y 0 (1)
是非齐次方程的通解.
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y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
定理4 设非齐次方程 (2)的右端 f ( x)是几个函数 之和, 如y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x) 而y1与y2分别是
y P( x) y Q( x) y f1( x) y P( x) y Q( x) y f2( x) 的特解, 则 y1 y2 就是原方程的特解.
第四节 高阶线性微分方程
二阶线性微分方程 线性微分方程的解的结构
1
一、二阶线性微分方程
形如
d2 y dx 2

P(
x)
dy dx

Q(
x)
y

f (x)
二阶线性 微分方程
当 f ( x) 0时，二阶线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶线性非齐次微分方程
y(n) P1 ( x) y(n1) Pn1 ( x) y Pn ( x) y f ( x) n阶 线性 微分方程
2
二、线性微分方程的解的结构
1. 二阶齐次方程解的结构
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理1 如果函数数y1( x)与y2( x)是方程程(1)的两两个个解解,
那末y C1 y1( x) C2 y2( x)也是(1)的解,(C1,C2是常数).
证 [C1 y1 C2 y2]P( x)[C1 y1 C2 y2 ]