第一章 随机事件及其概率随机事件A ，样本空间Ω，概率空间F ，A A ⊂Ω∈，F 一、随机事件间的关系和运算1、 包含：A ⊂B ，表示A 发生必有事件B 发生2、 相等： 若A ⊂B 且B ⊃A ，即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。

3、 互不相容（或互斥）：A ∩B=Ф，表示A 与B 不可能同时发生。

对立一定互斥。

4、 对立（或互逆）: A =Ω-A 。

表示A 不发生的事件。

互斥未必对立。

5、和事件/并：A ∪B ，或者A+B （A ∩B=Ø），表示A 、B 中至少有一个发生的事件。

6、 差事件：A B A AB AB −=−=,表示A 发生而B 不发生的事件。

7、 积事件/交：A ∩B 或者AB ，表示 A 、B 同时发生的事件。

二、运算定律1、交换律：A ∪B=B ∪A ；A ∩B =B ∩A 。

2、 结合律：A ∪（B ∪C ）=（A ∪B ）∪C ；A ∩（B ∩C ）=（A ∩B ∩ C3、分配律：A ∪（B ∩C ）=（A ∪ B ）∩（A ∪C ）； ()()()A B C A B A C =∩∪∩∪∩。

4、德摩根律（对偶率）：B A ∪=A ∩B ；B A ∩=A ∪B ；。

z 常用结论：A A =Φ； A ∪A =Ω； ()()AB A B AB A B B A AB =+−=−+−+∪第二章 随机变量及其分布一、一维随机变量及其分布 1、分布函数:(){}F x P X x =≤ 分布函数性质:(1)0()1,;F x x R ≤≤∈(2)()F x 是单调不减的；(3)()lim ()0;x F F x →−∞−∞==()lim ()1;x F F x →+∞+∞==(4)()F x 为右连续，即000lim ()(),.x x F x F x x R +→=∈分布函数重要公式:(1){}();P X b F b ≤=(2){}()();P a X b F b F a <≤=−(3){}1();P X a F a >=−(4){}();P X b F b −<=(5)()()(),.P X b F b F b b R −==−∈ 2、离散型随机变量: (){}{}()k kx xF x P X x P X x x R ≤=≤==∈∑¾ 典型离散型随机变量的分布：(1) 退化分布(单点分布)：()1P X C == (2) 两点分布B (1,p ) ：1{}(1)(0,1)k k P X k p p k −==−=(3) 离散型均匀分布：1{}(1,2,,)k P X x k n n=== (4) 二项分布(,)B n p ：{}(1)k k n k n P X k C p p −==− (5) 泊松分布()P λ：{}e (0,1,)!kP X k k k λλ−===(6) 几何分布：1{}(1)(1,2,)k P X k p p k −==−=(7) 超几何分布：{}(0,1,2,,min{,})k n k M N MnNC C P X k k M n C −−=== 3、连续型随机变量：()()d xF x p t t −∞=∫¾ 密度函数的性质：(1)()0,;p x x R ≥∈(2)()d 1;p x x +∞−∞=∫(3){}()()()d ;baP a X b F b F a p x x <≤=−=∫ (4){}0.P X c ==¾ 典型连续性随机变量的分布： (1) 均匀分布 X ~ U [a ,b ]1,,()0,,a x b p x b a ⎧≤≤⎪=−⎨⎪⎩其它; 0,,(),,1,.x a x a F x a x b b a x b <⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪≥⎪⎩1{}{}0;P X a P X b <=>= 性质：2{}.d cP c X d b a−≤<=− (2) 正态分布 2~(,)X N μσ22()2(),.xμσp x x−−=−∞<<∞;22()2()dtμxσF x e t−−−∞=∫(3)标准正态分布~(0,1)X N22()xxφ−=;22()d.txx t−Φ=∫(1)()1(),x xΦ−=−Φ性质：(0)0.5Φ=；22(2)xe dx+∞−−∞=∫(4)指数分布~()X Expλ,0,()0,0.xe xp xxλλ−⎧>=⎨≤⎩;1,0,()0,0.xe xF xxλ−⎧−>=⎨≤⎩二、 二维随机变量及分布：1、联合分布函数：(,)F x y{,}P X x Y y=≤≤2、二维离散型随机变量的分布：{,},i j ijP X x Y y p===(,) ,i jijx x y yF x y p≤≤=∑∑3、二维连续型随机变量的分布：(,)(,)d dx yF x y p u v u v−∞−∞=∫∫¾联合密度函数性质：(1)(,)0;p x y≥(2)(,)d d(,)1;p x y x y F+∞+∞−∞−∞=+∞+∞=∫∫2(,)(3)(,)(,),(,);F x yp x y x y p x yx y∂=∂∂若在连续则有(4){(,)}(,)d d.GP X Y G p x y x y∈=∫∫¾典型二维随机变量的分布：(1) 均匀分布：1,(,),(,)0,.x y Dp x y S⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它(2) 二维正态分布221212(,)~(,,,,)X Y Nμμσσρ：2211222221212()2()()()12(1)(,)xμρxμyμyμσσρσσp x y⎡⎤−−−−−−+⎢−⎢⎥⎣⎦=(,),x y−∞<<∞−∞<<∞4、边缘分布：()(,){,}{}XF x F x P X x Y P X x=+∞=<≤+∞=≤；()(,){,}{}YF y F y P X Y y P Y y=+∞=<+∞≤=≤(1) 离散型随机变量：边缘分布函数 1()(,),i X ij x x j F x F x p ∞≤==+∞=∑∑1()(,).j Y ijy y i F y F y p ∞≤==+∞=∑∑边缘分布律 1{},1,2,,i ij i j p p P X x i ∞•=====∑ 1{},1,2,,j ij j i p p P Y y j ∞•=====∑(2) 连续型随机变量：边缘分布函数 {}()(,)(,)d d xX F x F x p x y y x +∞−∞−∞=+∞=∫∫边缘密度 ()(,)d ;X p x p x y y +∞−∞=∫()(,)d Y p y p x y x +∞−∞=∫(3) 结论：二元正态分布的边缘分布是一元正态分布．221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ即若，则221122~(,),~(,).X N Y N μσμσ5、独立性：(,)()().X Y X Y F x y F x F y ⇔=和相互独立(1):{,}{}{}i j i j X Y P X x Y y P X x P Y y ⇔=====、离散型与相互独立(2):(,)()()X Y X Y p x y p x p y ⇔=、连续型与相互独立常用结论：(1)()().X Y f X g y 若和相互独立，则与也相互独立 1212(2)(,),,X Y N u u σσρ∼（,,），0X Y ρ⇔=与相互独立 6、条件分布（1）离散型：条件分布律{;}{|};{}i j ij i j j j P X x Y y p P X x Y y P Y y p ⋅======= {,}{|}{}i j ij j i i i P X x Y y p P Y y X x P X x p ⋅=======（2）连续型：条件概率密度 (,)();()X Y Y p x y p x y p y =|(x,)(|)()Y X X p y p y x p x = 条件分布函数 ||(|)(|)d (x,)/()d xx X Y X Y Y F x y p x y x p y p y x −∞−∞==∫∫||(|)(|)d y Y X Y X F y x p y x y −∞=∫(x,)/()d yX p y p x y −∞=∫（3）常用结论：二元正态分布的条件分布仍为正态分布。

三、 随机变量的函数及其分布1、一维随机变量函数的分布 ()Y f X =（1）离散型：{}{()}k k P Y y P f X y ===()k i i y f x p ==∑（2）连续型：方法一：分布函数法：()(){}{()}()d ()().Y X f x yY F y P Y y P f X y p x xx F y Y ≤=≤=≤=−∞<<∞∫再对求导得到的密度函数方法二：公式法：11[()][()],,() 0, .X Y p f y f y y p y αβ−−⎧′<<⎪=⎨⎪⎩注意条件其它常用结论：(1) 随()~[0,1]X F x U 机变量的分布函数(2) 若22~(,)~~(,()).X N μσY aX b N a μb a σ=++，则 2、二维随机变量函数的分布 (,)Z f X Y =（1）和的分布Z X Y =+()(,)d Z p z p z y y y +∞−∞=−∫(,)d p x z x x +∞−∞=−∫；X Y 当与独立，()()()d Z X Y p z p z y p y y +∞−∞=−∫()()d X Y p x p z x x +∞−∞=−∫（2）差的分布Z X Y =−()(,)d Z p z p z y y y +∞−∞=+∫(,)d p x x z x +∞−∞=−∫；X Y 当与独立，()()()d Z X Y p z p z y p y y +∞−∞=+∫()()d X Y p x p x z x +∞−∞=−∫（3）商的分布XZ Y=()||(,)d Z p z y p yz y y +∞−∞=∫；X Y 当与独立，()||()()d Z X Y p z y p yz p y y +∞−∞=∫ （4）极值分布max{,},M X Y =min{,}.N X Y =的分布X Y 当，相互独立,()()()M X Y F z F z F z =；()1[1()][1()]N X Y F z F z F z =−−− X Y 当，相互独立且同分布,2()()M F z F z =；2()1[1()]N F z F z =−−3、常用结论(1) 若1122121212~(),~(),~()X P X P X X X X P λλλλ⇒++且相互独立2211222,~(,),~(,)X Y X N Y N μσμσ（）相互独立且，221212~(,)Z X Y N μμσσ=+++则(3) 若,~(0,1),~(0,1)/X Y X N Y N Z X Y =相互独立且，则服从柯西分布：211()1Z p z z π=+。