玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品专题04 立体几何中最值问题一．方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。
二．解题策略类型一距离最值问题AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2⊥，则边CG长度的最小值为（）使得GP BPA. 4B. 43C.D. 23举一反三1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_____。
2、【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,D是坐标原点,有一棱长为a的正方体,E 和F 分别是体对角线和棱上的动点,则的最小值为（ ）A. B. C. a D.3、如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为_______．类型二 面积的最值问题【例2】已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球， 3BC =， 23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A. [],4ππB. []2,4ππC. []3,4ππD. (]0,4π举一反三1、在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC 且AC=1，AB=2，PA=3，过AB 作截面交PC 于D ，则截面ABD 的最小面积为（ ）A. 10B. 35C. 310D. 5 2、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2,11==AA AB ，点P 是平面1111D C B A 内的一个动点，则三棱锥ABC P -的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．21D ．41 3、正三棱锥V-ABC 的底面边长为a 2，E,F,G,H 分别是VA,VB,BC,AC 的中点，则四边形EFGH 的面积的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,332aC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,632a D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,212a 类型三 体积的最值问题【例3】如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（ ） CB1A俯视图侧视图正视图 1C1D A 1B P DA. B. C. D.举一反三1、已知AD 与BC 是四面体ABCD 中相互垂直的棱，若6AD BC ==，且60ABD ACD ∠=∠=o ，则四面体ABCD 的体积的最大值是 A. 182 B. 362 C. 18 D. 362、如图，已知平面l αβ=I ，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD -体积的最大值是（ ）A.243B.16C.48D.1443、(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π3类型四 角的最值问题【例4】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。
设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为.举一反三1、矩形ABCD 中，，，将△ABC 与△ADC 沿AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为（ ）A. B. C. D.2、在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是BD 中点，点P 在线段11D B 上，直线OP 与平面BD A 1所成的角为α，则αsin 的取值范围是（ ）A ．]33,32[B ．]21,31[C ．]33,43[D ．]31,41[ 3、在正四面体P ABC -中，点M 是棱PC 的中点，点N 是线段AB 上一动点，且AN AB λ=u u u v u u u v ，设异面直线NM 与AC 所成角为α，当1233λ≤≤时，则cos α的取值范围是__________． 三．强化训练1、正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ）A. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．如图，在矩形ABCD 中， 2,1AB AD ==,点E 为CD 的中点， F 为线段CE （端点除外）上一动点现将DAF ∆沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC 设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A. 13B. 24C. 12D. 233、如下图，正方体1111ABCD A B C D -中， E 是1DD 的中点， F 是侧面11CDD C 上的动 点，且1B F //平面1A BE ，则1B F 与平面11CDD C 所成角的正切值的最小值是_________4、【2014四川，理8】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（）A ．3[,1]3B ．6[,1]3C ．622[,]33D ．22[,1]35、已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，0PB PC ⋅=u u u r u u u r ，0PC PA ⋅=u u u r u u u r ，则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4 6、体积为183的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 的中点，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是_________．7、(数学文卷·2017届广东省揭阳市届高三上学期期末调研考试第15题) 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90o 榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计）8、【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥， 6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）（A）4π（B）92π（C）6π（D）323π9、【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△F AB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△F AB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.10、【2016高考浙江理数】如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC 上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.11、中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为12，高为3，且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值是（）A. 14B. 56C. 634D. 6312、（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.13、如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ， BAC V 与BCD V 均为等腰直角三角形，且90BAC BCD ∠=∠=︒，2BC =．点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AC 成30︒的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）A. 20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 60,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 2,22⎛⎫ ⎪⎪⎝ D. 6,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝ 14、如图所示，在直三棱柱中，,分别为的中点，为线段上一点，设，给出下面几个命题： ①的周长是单调函数，当且仅当时，的周长最大；②的面积满足等式，当且仅当时，的面积最小； ③三梭锥的体积为定值. 其中正确的命题个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 31D 1B P g D1CC E B A 1A。