届高三文科数学立体几何空间角专题复习TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习考点1：两异面直线所成的角例1.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1例2.（2010全国卷1文数）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ C ）(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90° 变式训练：1.（2009全国卷Ⅱ文）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( C ) （A ）1010 (B) 15 (C ) 31010 (D) 352.如图，直三棱柱111ABC A B C -，90BCA ︒∠=，点1D 、1F 分别是11A B 、11A C 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21C ．1530 D ．10153.（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A ．55B ．53C ．55 D ．35第3题图 第4题图 第5题图4．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）Ａ．15Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．455.（ 2012年高考（四川文理））如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是6.（2011年全国二文15）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．237.已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 。

8（2011年上海文）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =，求（1）异面直线BD 与1AB2）四面体11AB D C 的体积. 考点2：直线与平面所成的角例3.正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面D ）（A ）3 （B （C ）23（D 例4.（2011年天津文17）如图1－7，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明PB ∥平面ACM ；(2)证明AD ⊥平面PAC ； (3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．图1－7图1－8【解答】 (1)证明：连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB 平面ACM ，MO 平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .(3)取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥DBD 1BPO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52.从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.变式训练9.（20008福建卷理）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为(D)62615 10 第9题图 第10题图 第11题图10.（2010四川文理15）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .3411. 已知长方体1111ABCD A B C D -中11,2,3DA DC DD ===，求直线1BB 与平面11A BC 所成的角。

12.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.13.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，3PD=CD=2.（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； （II ）证明平面PDC ⊥平面ABCD ；（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。

【解析】（I ）//AD BC ⇒PAD ∠是PA 与BC 所成角在ADP ∆中，,1,2AD PD AD BC PD ⊥===tan 2PDPAD AD ∠==异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2（II ）,,AD PD AD DC PD DC D AD ⊥⊥=⇒⊥面PDCAD ⊂面ABCD ∴平面PDC ⊥平面ABCD（III ）过点P 作PE CD ⊥于点E ，连接BE平面PDC ⊥平面ABCD PE ⇒⊥面ABCD PBE ⇒∠是直线PB 与平面ABCD 所成角在Rt BCE ∆中，BE PB ==⇒=在Rt BPE ∆中，sin PE PBE PB ∠==得：直线PB 与平面ABCD 14.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD.（Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.【答案】【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以 又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ， 而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥.（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ， 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=. 由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥. 在Rt POD 中，由DPO ∠30=，得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形， 从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积在等腰三角形ＡＯＤ中，OD AD ==所以2 4.PD OD PA ====故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA=⨯⨯算得体积.15.（2011年·湖南文19）如图1－5，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 在AB 上，且∠CAB ＝30°，D 为AC 的中点．(1)证明：AC ⊥平面POD ；(2)求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值．图1－5课标文，G11[2011·湖南卷] 【解答】(1)因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD . 又PO ⊥底面⊙O ，AC 底面⊙O ，所以AC ⊥PO . 而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线， 所以AC ⊥平面POD .(2)由(1)知，AC ⊥平面POD ，又AC 平面PAC ， 所以平面POD ⊥平面PAC .在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ，则OH ⊥平面PAC .图1－6连结CH ，则CH 是OC 在平面PAC 上的射影， 所以∠OCH 是直线OC 和平面PAC 所成的角．在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin30°＝12.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PO 2＋OD2＝2×122＋14＝23. 在Rt △OHC 中，sin ∠OCH ＝OH OC ＝23.故直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值为23.考点3：二面角例5. 11.如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小.例6.（2011浙江文20）如图1－7，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．(1)证明：AP ⊥BC ；(2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2，求二面角B －AP －C 的大小．图1－7课标文[2011·浙江卷] 【解答】 (1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 中点，得AD ⊥BC ，又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ，因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面PAD ，故BC ⊥AP . (2)如图，在平面APB 内作BM ⊥PA 于M ，连CM . 因为BC ⊥PA ，得PA ⊥平面BMC ，所以AP ⊥CM . 故∠BMC 为二面角B －AP －C 的平面角．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得AB ＝41.在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2，在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2，所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋BD 2＝36，得PB ＝6.在Rt △POA 中，PA 2＝AO 2＋OP 2＝25，得PA ＝5.又cos ∠BPA ＝PA 2＋PB 2－AB 22PA ·PB ＝13，从而sin ∠BPA ＝223.故BM ＝PB sin ∠BPA ＝4 2.同理CM ＝4 2.因为BM 2＋MC 2＝BC 2， 所以∠BMC ＝90°，即二面角B －AP －C 的大小为90°. 变式训练：16.（09陕西文）如图，直三棱柱111ABC A B C -中， AB=1，13AC AA ==，∠ABC=600.(Ⅰ)证明：1AB A C ⊥；（Ⅱ）求二面角A —1A C —B 的正切值。