2019-2020学年广东省华南师大中山附中八年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列计算正确的是( ) A ．8210+=B ．2222-=C ．236⨯=D ．1226÷=2．（3分）下列根式中属于最简二次根式的是( ) A ．21a +B ．12C ．8D ．27x3．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是( ) A ．4，5，6B ．1，1，2C ．6，8，11D ．5，12，234．（3分）如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A ．51+B ．51-+C ．51-D ．55．（3分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．若120AOD ∠=︒，4AC =，则CD 的长为( )A ．2B ．3C ．22D ．236．（3分）如图，在ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于E ，则ABE ∆的周长为( )A ．12cmB ．14cmC ．16cmD ．28cm7．（3分）如图，在四边形ABCD 中，点O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是( )A ．AC BD =，//AB CB ，//AD BC B ．//AD BC ，BAD BCD ∠=∠C ．AO CO =，BO DO =，AB BC =D ．AO BO CO DO ===，AC BD ⊥8．（3分）下列各命题中，原命题成立，而它逆命题不成立的是( ) A ．平行四边形的两组对边分别平行 B ．矩形的对角线相等 C ．四边相等的四边形是菱形D ．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和9．（3分）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，2BE =，4AE =，P 是AC 上一动点，则PB PE +的最小值是( )A ．6B ．25C ．8D ．21310．（3分）如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，12AD AC =，M 、N 、P 分别是OA 、OB 、CD 的中点，下列结论： ①CN BD ⊥； ②MN NP =；③四边形MNCP 是菱形； ④ND 平分PNM ∠． 其中正确的有( )A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个二、填空题（每小题4分，共28分） 11．（4分）2(25)-= ．12．（4分）若二次根式34x -有意义，则x 的取值范围是 ．13．（4分）如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，1A 、1B 、1C 、1D 是四边形ABCD 的中点．如果6AC =，43BD =，那么四边形1111A B C D 的面积为 ．14．（4分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，后来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远，如图所示，问：原处竹子()AC 还剩 尺？(1丈10=尺）．15．（4分）如图，正方形ABCO 的顶点C 、A 分别在x 轴、y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若60D ∠=︒，2BC =，则点D 的坐标是 ．16．（4分）如图，DE 为ABC ∆的中位线，点F 在DE 上，且90AFB ∠=︒，若7AB =，10BC =，则EF的长为．17．（4分）在菱形ABCD中，108?BAD∠=︒，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则CDN∠的度数是．三、解答题（每题6分，共18分）18．（6分）计算：（1）11(245)(4145)52---；（2）2475(486)3 3⨯-+÷．19．（6分）如图，在ABC∆中，CD AB⊥，垂足为D，如果6CD=，9AD=，4BD=，那么ABC∆是直角三角形吗？请说明理由．20．（6分）如图，在ABCD中，O是BD的中点，E、F分别是BC、AD的中点，M、N分别是OB、OD中点．求证：四边形MENF是平行四边形．四．解答题（每题8分，共24分）21．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E是BC中点，连接OE并延长到F，使EF OE=．（1）求证：四边形OBFC是矩形．（2）如果作//BG OF，//FG BC，四边形BGFE是何特殊四边形？并说明理由．22．（8分）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．（1）求证：//AF CE；（2）当BAC∠=度时，四边形AECF是菱形？说明理由．23．（8分）如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分ACD∠交BD于点M，MN CM⊥，交AB于点N，（1）求BMN∠的度数；（2）求BN的长．五．解答题（每题10分，共20分）24．（10分）已知ABC=，且满足=，AB c=，AC b∆的三边BC a2+--=．如图，P为BC边上一动点，PM ABa b c|132(3)0⊥于点M，PN AC⊥于点N．（1）求证：四边形AMPN是矩形；（2）在点P的运动过程中，MN的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．25．（10分）如图1，在ABCD中，ADC∠的平分线交AB于点E，交CB的延长线于F，以BE、BF为邻边作EBFH．（1）证明：EBFH是菱形；（2）（如图2)若90∠=︒．ABC①直接写出四边形EBHF的形状；②已知10AD=，M是EF的中点，求CM的长．AB=，6（3）（如图3)若60∆是等边三角形．∠=︒，连结HA、HB、HC、AC，求证：ACHABC2019-2020学年广东省华南师大中山附中八年级（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列计算正确的是( )A =B ．2=C =D 2÷【解答】解：A 、原式==A 选项错误；B 、原式=B 选项错误；C 、原式C 选项正确；D 、原式2==D 选项错误．故选：C ．2．（3分）下列根式中属于最简二次根式的是( )A B C D 【解答】解：A 、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；B 、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；C 、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数4，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；D 、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数9，所以它不是最简二次根式，故本选项错误； 故选：A ．3．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是( )A ．4，5，6B ．1，1C ．6，8，11D ．5，12，23【解答】解：A 、222456+≠，∴不能构成直角三角形，故A 错误；B 、2211+=，∴能构成直角三角形，故B 正确；C 、2226811+≠，∴不能构成直角三角形，故C 错误；D 、22251223+≠，∴不能构成直角三角形，故D 错误．故选：B ．4．（3分）如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A ．51+B ．51-+C ．51-D ．5【解答】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：22125+=，1∴-到A 的距离是5，那么点A 所表示的数为：51-．故选：C ．5．（3分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．若120AOD ∠=︒，4AC =，则CD 的长为( )A ．2B ．3C ．22D ．23【解答】解：120AOD ∠=︒，180********COD AOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，四边形ABCD 是矩形， 2AO BO CO DO ∴====， COD ∴∆是等边三角形， 2CD DO ∴==，故选：A ．6．（3分）如图，在ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，AC 、BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于E ，则ABE ∆的周长为( )A ．12cmB ．14cmC ．16cmD ．28cm【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， BO DO ∴=， OE BD ⊥，BE DE ∴=，6AB cm =，8AD cm =，ABE ∴∆的周长14AB AE BE AB AE ED AB AD cm =++=++=+=，故选：B ．7．（3分）如图，在四边形ABCD 中，点O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是( )A ．AC BD =，//AB CB ，//AD BC B ．//AD BC ，BAD BCD ∠=∠C ．AO CO =，BO DO =，AB BC =D ．AO BO CO DO ===，AC BD ⊥ 【解答】解：A 、两组对边平行，对角线相等可能是矩形，故本选项错误；B 、一组对边平行，一组对角相等的四边形可能是矩形，故本选项错误；C 、对角线互相平分，邻边相等的四边形有可能是菱形．故本选项错误；D 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确；故选：D ．8．（3分）下列各命题中，原命题成立，而它逆命题不成立的是( ) A ．平行四边形的两组对边分别平行 B ．矩形的对角线相等 C ．四边相等的四边形是菱形D ．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和【解答】解：A、平行四边形的两组对边分别平行，成立，逆命题为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，成立，逆命题为对角线相等的四边形是矩形，不成立，符合题意；C、四边形相等的四边形是菱形，成立，逆命题为菱形的四条边相等，成立，不符合题意；D、直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，成立，逆命题为两边的平方和等于第三边的平方的三角形为直角三角形，成立，不符合题意；故选：B．9．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，2BE=，4AE=，P是AC上一动点，则PB PE+的最小值是()A．6B．25C．8D．213【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB PE+的值最小，四边形ABCD是正方形，B∴、D关于AC对称，PB PD∴=，PB PE PD PE DE∴+=+=．2BE=，4AE=，6AD AB∴==，2246213DE∴=+=，故PB PE+的最小值是213．故选：D．10．（3分）如图，ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，12AD AC=，M、N、P分别是OA 、OB 、CD 的中点，下列结论： ①CN BD ⊥； ②MN NP =；③四边形MNCP 是菱形； ④ND 平分PNM ∠． 其中正确的有( )A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ，BC AD =，12OA OC AC ==， 12AD AC =， OC BC ∴=， N 是OB 的中点， CN BD ∴⊥，①正确；M 、N 分别是OA 、OB 的中点，MN ∴是AOB ∆的中位线， //MN AB ∴，12MN AB =， CN BD ⊥， 90CND ∴∠=︒，P 是CD 的中点，12NP CD PD PC ∴===，MN NP ∴=，②正确； //MN AB ，//AB CD ， //MN CD ∴，又NP PC =，MN NP =，MN PC ∴=，∴四边形MNCP 是平行四边形，无法证明四边形MNCP 是菱形；③错误；//MN CD ， PDN MND ∴∠=∠， NP PD =， PDN PND ∴∠=∠， MND PND ∴∠=∠，ND ∴平分PNM ∠，④正确；正确的个数有3个， 故选：C ．二、填空题（每小题4分，共28分） 11．（4分）2(25)-=52- ．【解答】解：原式|25|(25)52=-=--=-． 故答案为52-．12．（4分）若二次根式34x -有意义，则x 的取值范围是 34x ． 【解答】解：由题意得，340x -， 解得，34x， 故答案为：34x． 13．（4分）如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，1A 、1B 、1C 、1D 是四边形ABCD 的中点．如果6AC =，43BD =，那么四边形1111A B C D 的面积为 32 ．【解答】解：1A ，1B ，1C ，1D 是四边形ABCD 的中点四边形，且6AC 43BD =，11A D ∴是ABD ∆的中位线，1111432322A D BD ∴==⨯同理可得111622A B AC ==， 根据三角形的中位线定理，可以证明四边形1111A B C D 是矩形， 那么四边形1111A B C D 的面积为1111623322A D AB ⨯=⨯=． 故答案为：32．14．（4分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，后来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远，如图所示，问：原处竹子()AC 还剩 4.55 尺？(1丈10=尺）．【解答】解：设原处竹子()AC 还剩x 尺，由题意得：2223(10)x x +=-， 解得： 4.55x =， 故答案为：4.55．15．（4分）如图，正方形ABCO 的顶点C 、A 分别在x 轴、y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若60D ∠=︒，2BC =，则点D 的坐标是 (23+，1) ．【解答】解：过点D 作DG BC ⊥于点G ， 四边形BDCE 是菱形， BD CD ∴=．2BC =，60D ∠=︒， BCD ∴∆是等边三角形，2BD BC CD ∴===，1CG ∴=，3sin 60232GD CD =︒=⨯=， (23D ∴+，1)．故答案为：(23+，1)．16．（4分）如图，DE 为ABC ∆的中位线，点F 在DE 上，且90AFB ∠=︒，若7AB =，10BC =，则EF 的长为 1.5 ．【解答】解：DE 为ABC ∆的中位线， 152DE BC ∴==， 在Rt AFB ∆中，D 是AB 的中点， 13.52DF AB ∴==， 1.5EF DE DF ∴=-=，故答案为：1.517．（4分）在菱形ABCD 中，108?BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于点N ，点M 为垂足，连接DN ，则CDN ∠的度数是 18︒ ．【解答】解：如图，连接BN ，在菱形ABCD 中，108BAD ∠=︒，AD AB ∴=，72ABC ∠=︒，54CAB ∠=︒， AB 的垂直平分线交AC 于点N ，AN NB ∴=，54CAB ABN ∴∠=∠=︒， 725418CBN ∴∠=︒-︒=︒，在DCN ∆和BCN ∆中， DC BC DCN BCN CN CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DCN BCN SAS ∴∆≅∆， 18CDN CBN ∴∠=∠=︒，故答案为：18︒．三、解答题（每题6分，共18分） 18．（6分）计算： （1）11(245)(4145)52-； （2）2475(486)33【解答】解：（1）原式2652635=25=（2）原式2475(48363)3=⨯-÷÷ 20242=1924=．19．（6分）如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥，垂足为D ，如果6CD =，9AD =，4BD =，那么ABC ∆是直角三角形吗？请说明理由．【解答】解：ABC ∆是直角三角形， 理由：CD AB ⊥， 90ADC CDB ∴∠=∠=︒， 6CD =，9AD =，4BD =，2223681117AC CD AD ∴=+=+=， 222361652CB CD BD =+=+=， 222216913AC BC AB ∴+===， 90ACB ∴∠=︒， ABC ∴∆是直角三角形．20．（6分）如图，在ABCD 中，O 是BD 的中点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，M 、N 分别是OB 、OD 中点．求证：四边形MENF 是平行四边形．【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴=，//AD BC ， FDN EBM ∴∠=∠，E 、F 分别是BC 、AD 的中点， DF BE ∴=，O 是BD 的中点，OD OB ∴=，M 、N 分别是OB 、OD 中点，DN BM ∴=，在DNF ∆和BME ∆中，DF BEFDN EBM DN BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DNF BME SAS ∴∆≅∆， FN EM ∴=，DNF BME ∠=∠， FNM EMN ∴∠=∠， //FN EM ∴，∴四边形MENF 是平行四边形．四．解答题（每题8分，共24分）21．（8分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，E 是BC 中点，连接OE 并延长到F ，使EF OE =．（1）求证：四边形OBFC 是矩形．（2）如果作//BG OF ，//FG BC ，四边形BGFE 是何特殊四边形？并说明理由．【解答】（1）证明：E 是BC 中点，BE CE ∴=， EF OE =，∴四边形OBFC 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形， AC BD ∴⊥， 90BOC ∴∠=︒，∴平行四边形OBFC 是矩形；（2）解：四边形BGFE 是菱形，理由如下： //BG OF ，//FG BC ，∴四边形BGFE 是平行四边形，由（1）得：BE CE =，EF OE =，四边形OBFC 是矩形， OF BC ∴=，BE EF ∴=，∴四边形BGFE 是菱形．22．（8分）一张矩形纸ABCD ，将点B 翻折到对角线AC 上的点M 处，折痕CE 交AB 于点E ．将点D 翻折到对角线AC 上的点H 处，折痕AF 交DC 于点F ，折叠出四边形AECF ． （1）求证：//AF CE ；（2）当BAC ∠= 30 度时，四边形AECF 是菱形？说明理由．【解答】（1）证明：四边形ABCD 为矩形， //AD BC ∴， DAC BCA ∴∠=∠，由翻折知，12DAF HAF DAC ∠=∠=∠，12BCE MCE BCA ∠=∠=∠，HAF MCE ∴∠=∠， //AF CE ∴；（2）解：当30BAC ∠=︒时四边形AECF 为菱形，理由如下： 四边形ABCD 是矩形， 90D BAD ∴∠=∠=︒，//AB CD ，由（1）得：//AF CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，30BAC ∠=︒， 60DAC ∴∠=︒． 30ACD ∴∠=︒，由折叠的性质得30DAF HAF ∠=∠=︒， HAF ACD ∴∠=∠， AF CF ∴=，∴四边形AECF 是菱形；故答案为：30．23．（8分）如图，已知正方形ABCD 的面积是8，连接AC 、BD 交于点O ，CM 平分ACD ∠交BD 于点M ，MN CM ⊥，交AB 于点N ，（1）求BMN ∠的度数； （2）求BN 的长．【解答】解：（1）正方形ABCD 的面积是8， 822BC CD ∴===2224BD ∴==．四边形ABCD 为正方形，45DCO BCO CDO MBN ∴∠=∠=∠=∠=︒， CM 平分ACD ∠， 22.5DCM MCO ∴∠=∠=︒，4522.567.5BMC CDO DCM ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒． MN CM ⊥， 90CMN ∴∠=︒，9067.522.5BMN ∴∠=︒-︒=︒， BMN ∴∠的度数为22..5︒．（2）22.5MCO ∠=︒，45BCO ∠=︒， 67.5BCM BCO MCO ∴∠=∠+∠=︒，又67.5BMC ∠=︒， BCM BMC ∴∠=∠， 22BM BC CD ∴===， 422DM BD BM ∴=-=-．22.5DCM ∠=︒，22.5BMN ∠=︒， DCM BMN ∴∠=∠．∴在DCM ∆和BMN ∆中，DCM BMN DC BMCDM MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()DCM BMN ASA ∴∆≅∆， 422BN DM∴==-，BN ∴的长为422-．五．解答题（每题10分，共20分） 24．（10分）已知ABC ∆的三边BC a =，AC b =，AB c =，且满足2|13|2(3)0a b c -+-+-=．如图，P 为BC 边上一动点，PM AB ⊥于点M ，PN AC⊥于点N ．（1）求证：四边形AMPN 是矩形；（2）在点P 的运动过程中，MN 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：2|132(3)0a b c ---=， 13a ∴=2b =，3c =，222222313b c a +=+==， 90BAC ∴∠=︒，PM AB ⊥于点M ，PN AC ⊥于点N ，90AMP ANP ∴∴∠=∠=︒， 90BAC AMP ANP ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AMPN 是矩形；（2）存在．理由如下：连结AP．四边形AMPN是矩形，MN AP∴=．当AP BC⊥时AP最短．2313AP∴⨯=．13AP∴=，MN∴的长度的最小值13．25．（10分）如图1，在ABCD中，ADC∠的平分线交AB于点E，交CB的延长线于F，以BE、BF为邻边作EBFH．（1）证明：EBFH是菱形；（2）（如图2)若90ABC∠=︒．①直接写出四边形EBHF的形状；②已知10AB=，6AD=，M是EF的中点，求CM的长．（3）（如图3)若60ABC∠=︒，连结HA、HB、HC、AC，求证：ACH∆是等边三角形．【解答】解：（1）DE是ADC∠的平分线，CDE ADE∴∠=∠，//CD AB，//AB HF，CDE AED HFE∴∠=∠=∠，//AD BC，EDA FEH∴∠=∠，HEF HFE∴∠=∠，EBFH∴为菱形；（2）①90ABC∠=︒，则平行四边形ABCD为矩形，菱形EBFH为正方形；②由（1）知ADE∆为等腰直角三角形，故6AE AD==，则1064BE=-=，连接BH，过点M作MN BF⊥于点N，M是EF的中点，故点M时正方形EBFH对角线的交点，则114222MN EB BN ==⨯==，则628CN BC NB=+=+=，222282217CM CN MN∴=+=+=；（3）延长DA交FH的延长线于点G，连接CG，四边形ABCD为平行四边形，故//AB CD，//AD BC，而四边形EBFH为菱形，故//EB HF，//DG CF∴，//CD FG，∴四边形DCFG为平行四边形，DE是ADC∠的角平分线，CDF GDF∠=∠，//CD GF，CDF GFD GDF∴∠=∠=∠，∴平行四边形DCFG 为菱形，60ABC ∠=︒，DGC ∴∆、CGF ∆均为等边三角形，60CGD CGF ∴∠=∠=︒，CG CF =，同理可得：四边形AEHG 为平行四边形，故AG EH HF ==， 在CAG ∆和CHF ∆中，CG CF =，AG HF =，60CGD CGF ∠=∠=︒， ()CAG CHF SAS ∴∆≅∆，CA CH ∴=，ACG HCF ∠=∠，60ACH ACG GCH GCH HCF ∠=∠+∠=∠+∠=︒，ACH ∴∆是等边三角形．。