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2018年山东省济南市中考数学试卷(含答案与解析)

绝密★启用前2018年山东省济南市初中学业水平考试数学(考试时间120分钟,满分120分)第Ⅰ卷(选择题共48分)一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.4的算术平方根是()A.2B.2-C.2±D.22.如图所示的几何体,它的俯视图是()A B C D3.2018年1月,“墨子号”量子卫星实现了距离达7 600km的洲际量子密钥分发,这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力.数字7 600用科学记数法表示为()A.40.7610⨯ B.37.610⨯C.47.610⨯ D.27610⨯4.“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件,是中国特有的文化艺术遗产,下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A B C D5.如图,AF是BAC∠的平分线,DF AC∥,若135∠=︒,则BAF∠的度数为()A.17.5︒B.35︒C.55︒D.70︒6.下列运算正确的是()A.2323a a a+= B.()23524a a=-C.()()2212a a a a+-=+- D.()222a b a b+=+7.关于x的方程321x m-=的解为正数,则m的取值范围是()A.12m<- B.12m>-C.12m> D.12m<8.在反比例函数2yx=-图象上有三点()11,A x y、()22B x y,、33C x y(,),若123x x x<<<,则下列结论正确的是()A.321y y y<< B.132y y y<<C.231y y y<< D.312y y y<<9.如图,在平面直角坐标系中,ABC△的顶点都在方格线的格点上,将ABC△绕点P顺时针方向旋转90︒,得到A B C'''△,则点P的坐标为()A.()0,4 B.()1,1C.()1,2 D.()2,1(第9题)10.下面的统计图大致反应了我国2012年至2017年人均阅读量的情况.根据统计图提供的信息,下列推断不合理的是()毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第1页(共52页)数学试卷第2页(共52页)数学试卷 第3页(共52页) 数学试卷 第4页(共52页)A.与2016年相比,2017年我国电子书人均阅读量有所降低B.2012年至2017年,我国纸质书的人均阅读量的中位数是4.57C.从2014年到2017年,我国纸质书的人均阅读量逐年增长D.2013年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的1.8倍还多2012—2017年中国人均阅读(第10题)(第11题)11.如图1,一扇形纸片的圆心角为90︒,半径为6.如图2,将这张扇形纸片折叠,使点A 与点O 恰好重合,折痕为CD ,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为( )A.6πB.6π-C.12π-D.94π 12.若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数,则把点M 叫做“整点”.例如:()1,0P 、()2,2Q -都是“整点”.抛物线()24420y mx mx m m +--=>与x 轴的交点为A 、B ,若该抛物线在点A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,则m 的取值范围是( )A.112m ≤< B.112m <≤ C.12m <≤ D.12m <<第Ⅱ卷(非选择题共102分)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 13.分解因式:24m -=___________.14.在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色做子,每个棋子除颜色外都相同,任意摸出一个棋子,摸到黑色棋子的概率是14,则白色棋子的个数是=___________.15.一个正多边形的每个内角等于108︒,则它的边数是___________.. 16.若代数式24x x --的值是2,则x =___________. 17.A 、B 两地相距20 km ,甲乙两人沿同一条路线从A 地到B 地.甲先出发,匀速行驶,甲出发1小时后乙再出发,乙以2 km/h 的速度匀速行驶1小时后.提高速度并继续匀速行驶,结果比甲提前到达.甲、乙两人离开A 地的距离 km s ()与时间 h t ()的关系如图所示,则甲出发___________小时后和乙相遇.(第17题)(第18题)18.如图,矩形EFGH 的四个顶点分别在矩形ABCD 的各条边上,AB EF =,2FG =,3GC =.有以下四个结论:①BGF CHG ∠=∠;②BFG DHE △≌△;③1tan 2BFG ∠=;④矩形EFGH的面积是其中一定成立的是___________.(把所有正确结论的序号填在横线上)三、解答题(本大题共9小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19.(本小题满分6分)计算:()125sin30π1-+︒+---.20.(本小题满分6分)解不等式组:31233122x x x x ++⎧⎪⎨-⎪⎩<①>②,并写出它的所有整数解. 21.(本小题满分6分)如图,在ABCD 中,连接BD ,E F 、分别是DA 和BC 延长线上的点,且AE CF =,连接EF 交BD 于点O .求证:OB OD =.数学试卷 第5页(共52页)数学试卷 第6页(共52页)(第20题)22.(本小题满分8分)本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动,组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆,每名学生只能参加其中一项活动,共支付票款2000元,票价信息如下:地点 票价 历史博物馆 10元/人 民俗展览馆20元/人请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人?若学生都去参观历史博物馆,则能节省票款多少元? 23.(本小题满分8分)如图AB 是O 的直径,PA 与O 相切于点A ,BP 与O 相交于点D ,C 为O 上的一点,分别连接CB 、CD ,60BCD ∠=︒. (1)求ABD ∠的度数; (2)若6AB =,求PD 的长度.(第23题)24.(本小题满分10分)某学校开设了“3D ”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程,为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况,对学生进行了随机问卷调查,并将调查结果整理后绘制成如下不完整的统计图表.校本课程频数 频率 A36 0.45 B 0.25 C 16 b D 8 合计a1(第24题)请根据图表中提供的信息回答下列问题:(1)统计表中的a =___________,b =___________; (2)“D ”对应扇形的圆心角为___________度;(3)根据调查结果,请估计该校2000名学生中,最喜欢“数学史”校本课程的人数; (4)小明和小亮参加校本课程学习,若每人从“A ”、“B ”、“C ”三门校本课程中随机选取一门,请用画树状图或列表格的方法,求两人恰好选中同一门校本课程的概率.25.(本小题满分10分)如图,直线2y ax =+与x 轴、y 轴分别相交于点()1,0A ,将线段AB 先向右平移1个单位长度,再向上平移()0t t >个单位长度后得到对应线段CD ,反比例函数ky x=()0x >的图象恰好经过C 、D 两点,连接AC 、BD . 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页(共52页) 数学试卷 第8页(共52页)(1)求a 和b 的值;(2)求反比例函数的表达式及四边形ABDC 的面积; (3)点N 在x 轴正半轴上,点M 是反比例函数ky x=()0x >图象上的一个点,若CMN △是以CM 为直角边的等腰直角三角形时,求所有满足条件的点M 的坐标.(第25题)26.(本小题满分12分)在ABC 中,AB AC =,120BAC ∠=︒,以CA 为边在ACB ∠的另一侧作ACM ACB ∠=∠,点D 为射线BC 上任意一点,在射线CM 上截取CE BD =,连接AD 、DE 、AE .(1)如图1,当点D 落在线段BC 的延长线上时,直接写出ADE ∠的度数. (2)如图2,当点D 落在线段BC (不含端点)上时,AC 与DE 交于点F ,请问(1)中的结论是否仍成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由. (3)在(2)的条件下,若6AB =,求CF 的最大值.(第26题)27.(本小题满分12分)如图1,抛物线24y ax bx =++过()2,0A 、()4,0B 两点,交y 轴于点C ,过点C 作x 轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为D ,连接AC 、BC .点P 是抛物线上一动点,设点P 的横坐标为()4m m >. (1)求该抛物线的表达式和ACB ∠的正切值. (2)如图2,若45ACP ∠=︒,求m 的值.(3)如图3,过点A 、P 的直线与y 轴于点N ,过点P 作PM CD ⊥,垂足为M ,直线MN 与x 轴交于点Q ,试判断四边形ADMQ 的形状,并说明理由.(第27题)5 / 262018年山东省济南市初中学业水平考试数学答案解析1.【答案】A【解析】解:2的平方为4,∴4的算术平方根为2.故选:A . 【考点】算术平方根. 2.【答案】D【解析】解:从几何体上面看,2排,上面3个,下面1个,左边2个正方形.故选:D . 【考点】简单几何体的三视图 3.【答案】B【解析】解:37 6007.610=⨯,故选:B . 【考点】科学记数法—表示较大的数. 4.【答案】D【解析】解:A .不是轴对称图形,也不是中心对称图形;B .不是轴对称图形,是中心对称图形;C .是轴对称图形,不是中心对称图形;D .是轴对称图形,是中心对称图形.故选:D . 【考点】轴对称图形;中心对称图形. 5.【答案】B【解析】解:DF AC ∥,135FAC ∴∠=∠=︒,AF 是BAC ∠的平分线,35BAF FAC ∴∠=∠=︒,故选:B .【考点】平行线的性质,角平分线的性质 6.【答案】C【解析】:A .错误,不是同类项不能合并;B .错误,应该是()23624a a =-;C .正确;D .错误,应该是()2222a b a ab b +=++;故选:C .【考点】整式的运算 7.【答案】B【解析】解:解方程321x m -=得:123m x +=,关于x 的方程321x m -=的解为正数,1203m+∴>,解得:12m >-,故选:B . 【考点】一元一次方程的解;解一元一次不等式. 8.【答案】C6【解析】解:()11,A x y 在反比例函数2y x=-图象上,10x <,10y ∴>,对于反比例函数2y x =-,在第二象限,y 随x 的增大而增大,230x x <<,230y y ∴<<,231y y y ∴<<;故选:C . 【考点】反比例函数图象的增减性 9.【答案】C【解析】解:由图知,旋转中心P 的坐标为()1,2,,故选:C .【考点】坐标与图形变化—旋转. 10.【答案】B【解析】解:A .与2016年相比,2017年我国电子书人均阅读量有所降低,正确;B .2012年至2017年,我国纸质书的人均阅读量的中位数是4.615,错误;C .从2014年到2017年,我国纸质书的人均阅读量逐年增长,正确;D .2013年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的1.8倍还多,正确;故选:B .【考点】折线统计图,中位数. 11.【答案】A【解析】解:连接OD ,如图,扇形纸片折叠,使点A 与点O 恰好重合,折痕为CD ,AC OC ∴=, 23OD OC ∴==,CD ∴==30CDO ∴∠=︒,60COD ∠=︒,∴由弧AD 、线段AC 和CD 所围成的图形的面积7 / 26260π 61 3 π3602S AOD S COD ⋅⋅⋅=-=扇形-∴阴影部分的面积为6π-A . 【考点】扇形面积的计算;翻折变换(折叠问题). 12.【答案】B 【解析】解:2244222y mx mx m m x =+-=---()且0m >,∴该抛物线开口向上,顶点坐标为()2,2-,对称轴是直线2x =. 由此可知点()2,0、点()2,1-、顶点()2,2-符合题意.①当该抛物线经过点()1,1-和()3,1-时(如答案图1),这两个点符合题意. 将()1,1-代入2442y mx mx m +-=-得到1442m m m -=-+-.解得1m =. 此时抛物线解析式为242yx x -=+.由0y =得2420x x +=-.解得120.6x =-≈,22 3.4x =+≈.x ∴轴上的点()1,0、()2,0、()3,0符合题意.则当m=1时,恰好有()1,0、()2,0、()3,0、()1,1-、()3,1-、()2,1-、()2,2-这7个整点符合题意. 1m ∴≤.【注:m 的值越大,抛物线的开口越小,m 的值越小,抛物线的开口越大】答案图1(1m =时)答案图2(12m =时) ①当该抛物线经过点()0,0和点()4,0时(如答案图2),这两个点符合题意. 此时x 轴上的点()1,0、()2,0、()3,0也符合题意.将()0,0代入2442y mx mx m +-=-得到00402m =-+-.解得12m =. 此时抛物线解析式为22y x x =-. 当1x =时,得13121122y =⨯-⨯=-<-.∴点()1,1-符合题意.当3x =时,得y=12×9﹣2×3=﹣32<﹣1.①点(3,﹣1)符合题意.8综上可知:当12m =时,点()0,0、()1,0、()2,0、()3,0、()4,0、()1,1-、()3,1-、()2,2-、()2,1-都符合题意,共有9个整点符合题意,12m ∴=不符合题;12m ∴>. 综合①①可得:当112m <≤时,该函数的图象与x 轴所围城的区域(含边界)内有七个整点, 故选:B .【考点】抛物线的顶点坐标,根据点的坐标确定抛物线的位置 13.【答案】()()22m m +-【解析】解:()()2422m m m =+--.故答案为:()()22m m +-. 【考点】因式分解—运用公式法. 14.【答案】15 【解析】解:155154÷-=.∴白色棋子有15个;故答案为:15. 【考点】概率. 15.【答案】5【解析】解:正多边形的每个内角等于108︒,∴每一个外角的度数为18010872︒-︒=︒,∴边数360725=︒÷︒=,∴这个正多边形是正五边形.故答案为:5. 【考点】多边形内角与外角. 16.【答案】6 【解析】解:2=24x x --, 去分母得:()224x x -=-228x x -=- 6x =,经检验:6x =是原方程的解. 故答案为:6. 【考点】解分式方程. 17.【答案】1659 / 26【解析】解:由图象可得:()405y t t =≤≤甲;()()()211291624t t y t t ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩乙;由方程组4916y t y t =⎧⎨=-⎩,解得165t =.故答案为165. 【考点】一次函数的应用. 19.【答案】① ② ④【解析】解:90FGH ∠=︒,90BGF CGH ∴∠+∠=︒. 又90CGH CHG ∠+∠=︒,BGF CHG ∴∠=∠,故①正确.同理可得DEH CHG ∠=∠.BGF DEH ∴∠=∠.又90B D ∠=∠=︒,FG EH =,BFG DHE ∴△≌△,故②正确.同理可得AFE CHG ≌.AF CH ∴=,易得BFG CGH △∽△. 设GH 、EF 为a ,BF FG CG GH ∴=.23BF a∴=.6BF a∴=,6AF AB BF a a ∴=-=-.6CH AF a a∴==-.在Rt CGH △中,222CG CH GH +=,22263a a a ∴+-=().解得a =GH ∴=6BF a a∴=-在Rt BFG △中,cos BF BFG FG ∠==,30BFG ∴∠=︒.tan tan30BFG ∴∠=︒10矩形EFGH的面积2FG GH =⨯=⨯= 故答案为:① ② ④.【考点】全等三角形的判定与性质;矩形的性质;解直角三角形.19.【答案】解:1025sin 0π1||3-+︒-+--().115122=+-+ 6=.【解析】解:1025sin 0π1||3-+︒-+--().115122=+-+ 6=.【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 20.【答案】解:由①,得3231x x -<-.2x ∴<. 由②,得431x x >-,1x ∴>-.∴不等式组的解集为12x -<<.【解析】解:由①,得3231x x -<-.2x ∴<. 由②,得431x x >-,1x ∴>-.∴不等式组的解集为12x -<<. 【考点】解一元一次不等式组. 21.【答案】证明:ABCD 中,AD BC ∴=,AD BC ∥. ADB CBD ∴∠=∠.又AE CF =,AE AD CF BC ∴+=+.ED FB ∴=,又EOD FOB ∠=∠,EOD FOB ∴△≌△,OB OD ∴=.【解析】证明:ABCD 中,AD BC ∴=,AD BC ∥. ADB CBD ∴∠=∠.又AE CF =,AE AD CF BC ∴+=+.11 / 26ED FB ∴=,又EOD FOB ∠=∠,EOD FOB ∴△≌△,OB OD ∴=.【考点】全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.22.【答案】解:(1)设参观历史博物馆的有x 人,参观民俗展览馆的有y 人,依题意,得150********x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得10050x y =⎧⎨=⎩答:参观历史博物馆的有100人,则参观民俗展览馆的有50人.(2)200015010500-⨯=(元).答:若学生都去参观历史博物馆,则能节省票款500元.【解析】解:(1)设参观历史博物馆的有x 人,参观民俗展览馆的有y 人,依题意,得150********x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得10050x y =⎧⎨=⎩ 答:参观历史博物馆的有100人,则参观民俗展览馆的有50人.(2)200015010500-⨯=(元).答:若学生都去参观历史博物馆,则能节省票款500元.【考点】二元一次方程的应用.23.【答案】解:(1)方法一:如图1,连接AD . BA 是O 直径,90BDA ∴∠=︒.BD BD =,60BAD C ∴∠=∠=︒.90906030ABD BAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒.方法二:如图2,连接DA 、OD ,则2260120BOD C ∠=∠=⨯︒=︒.OB OD =,()1180120302OBD ODB ∴∠=∠=︒-︒=︒,即30ABD ∠=︒. (2)如图1,AP 是O 的切线,90BAP ∴∠=︒.在Rt BAD 中,30ABD ∠=︒,116322DA BA ∴==⨯=.BD ∴==在Rt BAP 中,cos AB ABD PB∠=,6cos30PB ∴︒==,BP ∴=PD BP BD ∴=-==【解析】解:(1)方法一:如图1,连接AD . BA 是O 直径,90BDA ∴∠=︒.BD BD =,60BAD C ∴∠=∠=︒.90906030ABD BAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒.方法二:如图2,连接DA 、OD ,则2260120BOD C ∠=∠=⨯︒=︒.OB OD =,()1180120302OBD ODB ∴∠=∠=︒-︒=︒,即30ABD ∠=︒. (2)如图1,AP 是O 的切线,90BAP ∴∠=︒.在Rt BAD 中,30ABD ∠=︒,116322DA BA ∴==⨯=.BD ∴==在Rt BAP 中,cos AB ABD PB∠=,6cos30PB ∴︒==,BP ∴=PD BP BD ∴=-==13 / 26【考点】圆周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质.24.【答案】(1)800.2(2)36(3)500(4)A B C AA ,AB ,AC ,A BA ,B B ,BC ,B C A ,C B ,C C ,C共有9种等可能的结果,其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种,所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为:3193=. 【解析】解:(1)360.4580a =÷=,16800.20b =÷=,故答案为:80,0.2;(2)“D ”对应扇形的圆心角的度数为:88036036÷⨯︒=︒,故答案为:36;(3)估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为:2 0000.25500⨯=(人);(4)列表格如下:A B C AA ,AB ,AC ,A BA ,B B ,BC ,B C A ,C B ,C C ,C共有9种等可能的结果,其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种,所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为:3193=. 【考点】用样本估计总体;频数(率)分布表;扇形统计图;加权平均数;列表法与树状图法.25.【答案】解:(1)将点()1,0A 代入2y ax =+,得02a =+.2a ∴=-.∴直线的解析式为22y x =-+.将0x =代入上式,得2y =.2b ∴=.(2)由(1)知,2b =,()0,2B ∴,由平移可得:点()2,C t 、()1,2D t +.将点()2,C t 、()1,2D t +分别代入k y x =,得221k t kt ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩42k t =⎧∴⎨=⎩. ∴反比例函数的解析式为4y x=,点()2,2C 、点()1,4D . 如图1,连接BC 、AD . ()0,2B 、()2,2C ,BC x ∴∥轴,2BC =.()1,0A 、()1,4D ,AD x ∴⊥轴,4AD =.BC AD ∴⊥.1124422ABDC S BC AD ∴=⨯⨯=⨯⨯=四边形. (3)①当90NCM ∠=︒、CM CN =时,如图2,过点C 作直线l x 轴,交y 轴于点G .过点M 作MF ⊥直线l 于点F ,交x 轴于点H .过点N 作NE ⊥直线l 于点E .设点(),0N m (其中0m >),则ON m =,2CE m =-.90MCN ∠=︒,90MCF NCE ∴∠+∠=︒.NE ⊥直线l 于点E ,90ENC NCE ∴∠+∠=︒.MCF ENC ∴∠=∠;又90MFC NEC ∠=∠=︒,CN CM =,NEC CFM ∴△≌△.15 / 262CF EN ∴==,2FM CE m ==-.224FG CG CF ∴=+=+=.4M x ∴=.将4x =代入4y x=,得1y =. ∴点()4,1M ;②当90NMC ∠=︒、MC MN =时,如图3,过点C 作直线l y ⊥轴与点F ,则2C CF x ==.过点M 作MG x ⊥轴于点G ,MG 交直线l 与点E ,则MG ⊥直线l 于点E ,2C EG y ==.90CMN ∠=︒,90CME NMG ∴∠+∠=︒.ME ⊥直线l 于点E ,90ECM CME ∴∠+∠=︒,NMG ECM ∴∠=∠.又90CEM NGM ∠=∠=︒,CM MN =,CEM MGN ∴≌.CE MG ∴=,EM NG =.设CE MG a ==,则M y a =,2M x CF CE a =+=+.∴点()2,M a a +.将点()2,M a a +代入4y a =,得42a a=+.解得11a =-,21a =-.21M x a ∴=+=.∴点)1M +. 综合①②可知:点M 的坐标为()4,1或)1+.【解析】解:(1)将点()1,0A 代入2y ax =+,得02a =+.2a ∴=-.∴直线的解析式为22y x =-+.将0x =代入上式,得2y =.2b ∴=.(2)由(1)知,2b =,()0,2B ∴,由平移可得:点()2,C t 、()1,2D t +.将点()2,C t 、()1,2D t +分别代入k y x =,得221k t k t ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩42k t =⎧∴⎨=⎩. ∴反比例函数的解析式为4y x=,点()2,2C 、点()1,4D . 如图1,连接BC 、AD . ()0,2B 、()2,2C ,BC x ∴∥轴,2BC =.()1,0A 、()1,4D ,AD x ∴⊥轴,4AD =.BC AD ∴⊥.1124422ABDC S BC AD ∴=⨯⨯=⨯⨯=四边形. (3)①当90NCM ∠=︒、CM CN =时,如图2,过点C 作直线l x 轴,交y 轴于点G .过点M 作MF ⊥直线l 于点F ,交x 轴于点H .过点N 作NE ⊥直线l 于点E .设点(),0N m (其中0m >),则ON m =,2CE m =-.90MCN ∠=︒,90MCF NCE ∴∠+∠=︒.NE ⊥直线l 于点E ,90ENC NCE ∴∠+∠=︒.MCF ENC ∴∠=∠;又90MFC NEC ∠=∠=︒,CN CM =,NEC CFM ∴△≌△.2CF EN ∴==,2FM CE m ==-.17 / 26224FG CG CF ∴=+=+=.4M x ∴=.将4x =代入4y x=,得1y =. ∴点()4,1M ;②当90NMC ∠=︒、MC MN =时,如图3,过点C 作直线l y ⊥轴与点F ,则2C CF x ==.过点M 作MG x ⊥轴于点G ,MG 交直线l 与点E ,则MG ⊥直线l 于点E ,2C EG y ==. 90CMN ∠=︒,90CME NMG ∴∠+∠=︒.ME ⊥直线l 于点E ,90ECM CME ∴∠+∠=︒,NMG ECM ∴∠=∠.又90CEM NGM ∠=∠=︒,CM MN =,CEM MGN ∴≌.CE MG ∴=,EM NG =.设CE MG a ==,则M y a =,2M x CF CE a =+=+.∴点()2,M a a +.将点()2,M a a +代入4y a =,得42a a=+.解得11a =-,21a =-.21M x a ∴=+=.∴点)1M +. 综合①②可知:点M 的坐标为()4,1或)1+.【考点】反比例函数综合题.26.【答案】解:(1)30ADE ∠=︒.理由如下:AB AC =,120BAC ∠=︒,30ABC ACB ∴∠=∠=︒,ACM ACB ∠=∠,ACM ABC ∴∠=∠,在ABD △和ACE △中,AB AC ABC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,ABD ACE ∴△≌△,AD AE ∴=,CAE BAD ∠=∠,120DAE BAC ∴∠=∠=︒,30ADE ∴∠=︒;(2)(1)中的结论成立,证明:120BAC ∠=︒,AB AC =,30B ACB ∴∠=∠=︒.ACM ACB ∠=∠,30B ACM ∴∠=∠=︒.在ABD △和ACE △中,AB AC ABC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,ABD ACE ∴△≌△.AD AE ∴=,BAD CAE ∠=∠.120CAE DAC BAD DAC BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒.即120DAE ∠=︒. AD AE =,30ADE AED ∴∠=∠=︒;(3)AB AC =,6AB =,6AC ∴=,30ADE ACB ∠=∠=︒且DAF CAD ∠=∠,ADF ACD ∴△∽△.=AD AF AC AD∴. 2 AD AF AC ∴=⋅,26AD AF ∴=.26AD AF ∴=. ∴当AD 最短时,AF 最短、CF 最长.19 / 26易得当AD BC ⊥时,AF 最短、CF 最长,此时132AD AB ==. 2233=662AD AF ∴==最短, 39622CF AC AF ∴=-=-=最长最短. 【解析】解:(1)30ADE ∠=︒.理由如下:AB AC =,120BAC ∠=︒,30ABC ACB ∴∠=∠=︒,ACM ACB ∠=∠,ACM ABC ∴∠=∠,在ABD △和ACE △中,AB AC ABC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,ABD ACE ∴△≌△,AD AE ∴=,CAE BAD ∠=∠,120DAE BAC ∴∠=∠=︒,30ADE ∴∠=︒;(2)(1)中的结论成立,证明:120BAC ∠=︒,AB AC =,30B ACB ∴∠=∠=︒.ACM ACB ∠=∠,30B ACM ∴∠=∠=︒.在ABD △和ACE △中,AB AC ABC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,ABD ACE ∴△≌△.AD AE ∴=,BAD CAE ∠=∠.120CAE DAC BAD DAC BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒.即120DAE ∠=︒. AD AE =,30ADE AED ∴∠=∠=︒;(3)AB AC =,6AB =,6AC ∴=,30ADE ACB ∠=∠=︒且DAF CAD ∠=∠,ADF ACD ∴△∽△.=AD AF AC AD∴. 2 AD AF AC ∴=⋅,26AD AF ∴=.26AD AF ∴=. ∴当AD 最短时,AF 最短、CF 最长.易得当AD BC ⊥时,AF 最短、CF 最长,此时132AD AB ==. 2233=662AD AF ∴==最短, 39622CF AC AF ∴=-=-=最长最短. 【考点】三角形综合题. 27.【答案】解:(1)将点()2,0A 和点()4,0B 分别代入24y ax bx =++,得424016440a b a b ++=⎧⎨++=⎩,解得:123a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. ∴该抛物线的解析式为21342y x x -=+. 过点B 作BG CA ⊥,交CA 的延长线于点G (如图1所示),则90G ∠=︒.90COA G ∠=∠=︒,CAO BAG ∠=∠,GAB OAC ∴△∽△.4==22BG OC AG OA ∴=. 2BG AG ∴=.在Rt ABG 中,222BG AG AB +=,21 / 26()22222AG AG ∴+=.解得:AG =BG ∴CG AC AG +=+= 在Rt BCG 中,1tan =3BG ACB CG ∠=. (2)如图2,过点B 作BH CD ⊥于点H ,交CP 于点K ,连接AK .易得四边形OBHC 是正方形.应用“全角夹半角”可得AK OA HK =+.设()4,K h ,则BK h =,4HK HB KB h =-=-,()246AK OA HK h h =+=+-=-.在Rt ABK 中,由勾股定理,得222AB BK AK +=.()22226h h ∴+=-.解得83h =. ∴点84,3K ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设直线CK 的解析式为4y hx =+. 将点84,3K ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入上式,得8443h =+.解得13h =-. ∴直线CK 的解析式为143y x =-+. 设点P 的坐标为(),x y ,则x 是方程21134422x x x +=+--的一个解. 将方程整理,得23160x x -=. 解得1163x =,20x =(不合题意,舍去). 将1163x =代入143y x =-+,得209y =.∴点P 的坐标为1620,39⎛⎫ ⎪⎝⎭. (3)四边形ADMQ 是平行四边形.理由如下:CD x ∥轴,4C D y y ∴==.将4y =代入21342y x x -=+,得214342x x -=+. 解得10x =,26x =.∴点()6,4D . 根据题意,得21,342P m m m +-⎛⎫ ⎪⎝⎭,(),4M m ,. 21342PH m m -∴=+,OH m =,2AH m =-,4MH =. ①当46m <<时,6DM m =-,如图3,OAN HAP △∽△,=ON OA PH AH∴. 22=12342ONm m m ∴--+. 2(4)(2)68=422m m m m ON m m m ---+∴==---. ONQ HMP △∽△,=OQ ON HM HQ∴.23 / 26 =4OQ ON m OQ∴-. 4=4OQ m m OQ -∴-,4OQ m ∴=-. ()246AQ OA OQ m m ∴=-=--=-.6AQ DM m ∴==-,又AQ DM ∥,∴四边形ADMQ 是平行四边形.②当6m >时,同理可得:四边形ADMQ 是平行四边形.综上,四边形ADMQ 是平行四边形.【解析】解:(1)将点()2,0A 和点()4,0B 分别代入24y ax bx =++,得424016440a b a b ++=⎧⎨++=⎩,解得:123a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. ∴该抛物线的解析式为21342y x x -=+. 过点B 作BG CA ⊥,交CA 的延长线于点G (如图1所示),则90G ∠=︒.90COA G ∠=∠=︒,CAO BAG ∠=∠,GAB OAC ∴△∽△.4==22BG OC AG OA ∴=. 2BG AG ∴=.在Rt ABG 中,222BG AG AB +=, ()22222AG AG ∴+=.解得:AG =BG ∴CG AC AG +=+=在Rt BCG 中,1tan =3BG ACB CG ∠=. (2)如图2,过点B 作BH CD ⊥于点H ,交CP 于点K ,连接AK .易得四边形OBHC 是正方形.应用“全角夹半角”可得AK OA HK =+.设()4,K h ,则BK h =,4HK HB KB h =-=-,()246AK OA HK h h =+=+-=-.在Rt ABK 中,由勾股定理,得222AB BK AK +=.()22226h h ∴+=-.解得83h =. ∴点84,3K ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设直线CK 的解析式为4y hx =+. 将点84,3K ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入上式,得8443h =+.解得13h =-. ∴直线CK 的解析式为143y x =-+. 设点P 的坐标为(),x y ,则x 是方程21134422x x x +=+--的一个解. 将方程整理,得23160x x -=. 解得1163x =,20x =(不合题意,舍去). 将1163x =代入143y x =-+,得209y =. ∴点P 的坐标为1620,39⎛⎫⎪⎝⎭. (3)四边形ADMQ 是平行四边形.理由如下:CD x ∥轴,25 / 264C D y y ∴==.将4y =代入21342y x x -=+,得214342x x -=+. 解得10x =,26x =.∴点()6,4D . 根据题意,得21,342P m m m +-⎛⎫ ⎪⎝⎭,(),4M m ,. 21342PH m m -∴=+,OH m =,2AH m =-,4MH =. ①当46m <<时,6DM m =-,如图3,OAN HAP △∽△,=ON OA PH AH∴. 22=12342ONm m m ∴--+. 2(4)(2)68=422m m m m ON m m m ---+∴==---. ONQ HMP △∽△,=OQ ON HM HQ ∴. =4OQ ON m OQ∴-. 4=4OQ m m OQ -∴-,4OQ m ∴=-.()246AQ OA OQ m m ∴=-=--=-.∥,∴==-,又AQ DMAQ DM m6∴四边形ADMQ是平行四边形.m>时,同理可得:四边形ADMQ是平行四边形.②当6综上,四边形ADMQ是平行四边形.【考点】二次函数综合题.。

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