{
（4）已知多位数81
258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
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第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。
1.尾数判断法
（1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。
89，使得这个五位数能被7整除，请问小高写的是
多少？ 分析：根据能被7整除的数的特征，末三位组成的数与末三位之前的数组成的数之 差能被7整除，我们可以由此将问题简化。
练习三：
四位数57 2，能被7整除，那么这个四位数可能是多少？
例题四：
{
25个5
分析:这个数的位数太多，我们可以想办法使它变得简短一些，因为1001是13的倍 数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明他们都是13的倍数， 那我们是不是可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然保证它能被13整除？
{
25个9
已知51位数 55...5
99...9能被13整除，中间方框内的数字是多少?
练习四：
{
2010个1
{
已知多位数11...1
33...3能被13整除，那么中间方框内的数字是多少？
2010个3
挑战极限 例题五：
有数字6、7、8各两个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数。请写出一个满足要 求的六位数。 分析：能被6、7、8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除， 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要 求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可。
练习二：
已知八位数，123 678，能被99整除，这个八位数是多少？
知识精讲
二、阶段做差
能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数 段之和的差能被7、11或13整除。
例题三：
阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59
与89之间，拼成一个五位数59
例题一：
六位数 2008 ，能同时被9和11整除，这个六位数是多少？ 分析：能同时被9和11整除，说明这个6位数能被99整除。想一想，99的整除特性是 什么？
练习一：
四位数 23 ，能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
例题二：
已知九位数，1234 789，能被99整除，这个九位数是多少？ 分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数。这个99 的倍数可能是多少呢？
（3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。
2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。
3.奇偶位求差法
能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的 可以是一位数）之和，能被99整除。
课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？ （2）四位数 （3）四位数27 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
33
8能被7整除，那么这个四位数是多少？
2012个258
（5）已知多位数11...1
{ {
2011个1 2011个3
挑战极限 例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？