2016-2017学年高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 1 比较法、
综合法与分析法课后练习 新人教A 版选修4-5
一、选择题
1．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x
中最大的一个是( ) A ．a B ．b
C ．c
D ．不能确定
解析： ∵0<x <1，∴1＋x >2x ＝4x >2x ，
∴只需比较1＋x 与1
1－x 的大小．
∵1＋x －11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x
2
1－x <0，
∴1＋x <1
1－x .
答案： C
2．已知a ，b ，c ，d ∈{正实数}且a b <c d ，则( )
A.a b <a ＋c
b ＋d <
c
d B.a ＋c b ＋d <a b <c d
C.a b <c d <a ＋c
b ＋d D ．以上均可能
解析： ∵a ，b ，c ，d 为正数，
∴要比较a b 与a ＋c
b ＋d 的大小，
只要比较a (b ＋d )与b (a ＋c )的大小，
即ab ＋ad 与ab ＋bc 的大小，
即：ad 与bc 的大小．
又∵a b <c d ，∴ad <bc ，
∴a b <a ＋c
b ＋d .
同理可得a ＋c
b ＋d <
c
d .
故选A.
答案：A
3．已知a >2，x ∈R ，P ＝a ＋1a －2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P ≥Q B ．P >Q
C ．P <Q
D ．P ≤Q 解析： ∵a >2，∴a －2>0，
P ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2
＋2≥2＋2＝4. 又Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－2＝4.∴P ≥Q . 答案： A
4．已知a ，b ∈R ，则“a ＋b >2，ab >1”是“a >1，b >1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析： ∵a >1，b >1⇒a ＋b >2，ab >1
a ＋
b >2，ab >1⇒/ a >1，b >1
举例说明a ＝3，b ＝12
. 答案： B
二、填空题
5．设a >b >0，x ＝a ＋b －a ，y ＝a －a －b ，则x ，y 的大小关系是x ________y . 解析： ∵a >b >0，
∴x －y ＝a ＋b －a －(a －a －b )
＝b a ＋b ＋a －b a ＋a －b
＝
b a －b －a ＋b a ＋b ＋a a ＋a －b <0. 答案： <
6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若∠C ＝90°，则a ＋b c
的取值范围是________．
解析： 由题意知c 2＝a 2＋b 2≥2ab ， 即ab c 2≤12
.
∴a ＋b c ＝a 2＋b 2＋2ab c 2＝1＋2ab c
2≤ 2.
(当且仅当a ＝b 时取等号)．
又三角形中a ＋b >c .∴1<a ＋b c ≤ 2. 答案： (1，2]
三、解答题
7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.
证明： 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，
从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.
8．已知a ，b 都是正实数，且a ＋b ＝2.求证：a 2
a ＋1＋
b 2
b ＋1≥1.
解答：证明： 因为a ，b 都是正实数，所以原不等式等价于
a 2(
b ＋1)＋b 2(a ＋1)≥(a ＋1)(b ＋1)，
即a 2b ＋a 2＋ab 2＋b 2≥ab ＋a ＋b ＋1.
等价于a 2＋b 2＋ab (a ＋b )≥ab ＋a ＋b ＋1，
将a ＋b ＝2代入，只需要证明a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2＝4≥ab ＋3，即ab ≤1. 而由已知a ＋b ≥2ab ，可得ab ≤1成立，所以原不等式成立．
另证：因为a ，b 都是正实数，所以
a 2a ＋1＋a －14≥a ，
b 2b ＋1＋b ＋14≥b . 两式相加得a 2a ＋1＋a －14＋b 2b ＋1＋b ＋14
≥a ＋b ， 因为a ＋2＝2，所以a 2
a ＋1－
b 2
b ＋1≥1.
9．设a ，b ，c 是不全相等的正实数．
求证：lg a ＋b
2＋lg b ＋c
2＋lg c ＋a
2
＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明： 方法一：要证：lg
a ＋
b 2＋lg b ＋
c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c 只需证：lg ⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc ) 只需证：
a ＋
b 2·b ＋
c 2·c ＋a 2＞abc ∵
a ＋
b 2≥ab ＞0，b ＋
c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ca ＞0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a
2≥abc ＞0成立．
∵a，b，c为不全等的正数，∴上式中等号不成立．
∴原不等式成立．
方法二：∵a ，b ，c ∈{正实数}， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ca ＞0，
又∵a ，b ，c 为不全相等的实数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc ，
∴lg ⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc )， 即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .
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