一. 判断题(正确打√,错误打×)1若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示,则s ααα,,,21 线性无关. (×) 解答:反例:取01=α,02≠α,则2α不能由1α线性表示,但21,αα线性相关.2. 如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关.(√) 解答:向量β能由向量组A 唯一线性表示的充分必要条件是m R R m m ==),,,(),,,,(2121αααβααα ; 所以3),,(321=αααR ,所以321,,ααα线性无关. 3. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.(×)解答:正确结论:向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数. 4. 若向量组γβα,,只有一个极大无关组,则γβα,,线性无关. (×) 解答:反例:取0,0==≠γβα,则向量组γβα,,只有一个极大无关 组α,但γβα,,线性相关.正确命题:若γβα,,线性无关,则γβα,,只有一个极大无关组. 二. 单项选择题1.设向量组(1):321,,ααα与向量组(2):21,ββ等价,则( A ). (A ) 向量组(1)线性相关; (B )向量组(2)线性无关; (C )向量组(1)线性无关; (D )向量组(2)线性相关.解答:因为等价的向量组具有相同的秩,所以32),(),,(21321<≤=ββαααR R ,所以向量组(1)线性相关. 2. 3维向量组1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关,则向量组中(A )(A )每一个向量都能由其余三个向量线性表示; (B )只有一个向量能由其余三个向量线性表示; (C )只有一个向量不能由其余三个向量线性表示; (D )每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示.解答:因为4个3维向量线性相关,所以1234,,,αααα线性相关,而1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关,所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示.所以选(A )3. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关,则(B ). (A )向量组中增加一个向量后仍线性无关; (B )向量组中去掉一个向量后仍线性无关;(C )向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; (D )向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关. 解答:根据“全体无关则部分无关”知选项(B )正确. 注意(D ),“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是 原来的接长向量组,所以不能保证还线性无关.例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=312121αα,线性无关,但⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32132121αα,线性相关.4. 下列命题错误的是( )(A )若n 维向量组m ααα,,,21 中没有一个向量能有其余向量线性表示,则该向量组线性无关;(B )若n 维向量组m ααα,,,21 的秩小于m ,则此向量组线性相关; (C )若n 维向量组12,,,r ααα线性无关,12,,,s βββ也线性无关,则向量组12,,,r ααα,12,,,s βββ的秩为r s +;(D )任何一组不全为零的数12,,,r k k k 使11220r r k k k ααα+++≠,则向量组12,,,r ααα线性无关.解答:选项(C )错误. 反例:设1α线性无关,则11βα=线性无关,但11,αβ线性相关,它的秩=1≠1+1.5.已知向量组321,,ααα线性无关, 则下面线性无关的向量组是 (C).(A) 133221,,αααααα---; (B) 133221,,αααααα-++; (C) 133221,,αααααα+++; (D) 2132218-,53,2αααααα+++.解答:(A):0101-1-11-1=; (B) 0101-110011=;(C) :2101110011=; (D) 0081-053021=.三. 填空题1. 设n 维向量321,,ααα线性无关,则向量组133221,,αααααα---的秩=r2 .解答:因为011-1-11-1=, 所以133221,,αααααα---线性相关, (或者因为0)()()(133221=-+-+-αααααα, 所以133221,,αααααα---线性相关) 但3221,αααα--线性无关, 所以2=r .(设0)()(322211=-+-ααααk k 则0)(3221211=--+αααk k k k , 因为321,,ααα线性无关, 所以021==k k , 所以3221,αααα-- 线性无关.)2. 已知),1,1,2(),2,0,1,1()0,1,2,1(321a ==-=ααα,, 若由321,,ααα生成的向量空间的维数为2, 则=a 6 .解答:因为由321,,ααα生成的向量空间的维数为2, 而21,αα线性无关, 所以3α可由21,αα唯一线性表示, 所以22113αααk k +=, 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=+=21212121212k a k k k k k , 解得6=a . 3. 设向量组m ααα,,,21 线性无关,向量β不能由它们线性表示,则向量组m ααα,,,21 ,β的秩=1m + .解答:因为m ααα,,,21 线性无关,向量β不能由它们线性表示,所以m ααα,,,21 ,β线性无关,所以秩=1m + .4. 若向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322121αα,与向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k 14321ββ,不等价, 则常数=k 34. 解答:如果21ββ,线性无关,则两个向量组等价,所以应该是21ββ, 线性相关,所以34=k .5. 已知向量组γβα,,线性相关,而向量组,,γβδ线性无关,则向量 组γβα,,的极大无关组为γβ,.解答:因为,,γβδ线性无关,所以γβ,线性无关,而γβα,,线性相 关,所以向量组γβα,,的极大无关组为γβ,.四.判断下列向量组的线性相关性,并说明理由. 1. ),,(1z y x =α, ),,(2y z x =α,)2,2,2(3y z x =α; 解答:因为32αα,线性相关,所以321ααα,,线性相关. 2.),,(1z y x =β, ),,(2y z x =β,),,(3x z y =β,),,(4y x z =β; 解答:三个四维向量一定线性相关. 3.)3,2,1(1=γ, )3,2,0(2=γ, )2,3,1(3=γ;解答:因为05231320321≠-=,所以线性无关.4.)1,1,,1(1a =δ,)0,1,,1(2b =δ, )0,0,,1(3c =δ.解答:因为)1,1,1(11=δ,)0,1,1(22=δ, )0,0,1(33=δ线性无关, 所以)1,1,,1(1a =δ,)0,1,,1(2b =δ, )0,0,,1(3c =δ线性无关. 五.计算题1. 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===,问:(1)t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关;(2)t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关,当线性相关时,将3α表示为23,αα的线性组合.解答:(1)向量组123,,ααα线性无关当且仅当111123013t≠,所以5t ≠;(2)向量组123,,ααα线性相关当且仅当111123013t=,即5t =,设31122k k ααα=+,所以12121212335k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解得1212k k =-⎧⎨=⎩,即3122ααα=-+.2. 设123,,ααα线性无关,问常数,,a b c 满足什么条件时,122331,,a b c αααααα---线性相关.解答:设112223331()()()0k a k b k c αααααα-+-+-=,即131122233()()()0ak k k bk k ck ααα-+-++-+=,因为123,,ααα线性无关,所以131223000ak k k bk k ck -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩,当01101001a babc c --=-≠-时,1030k k k ===,当1abc =时,由131223000ak k k bk k ck -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩知12321k bk k k c =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以122331,,a b c αααααα---线性相关当且仅当1abc =.六.证明题1.设向量组m ααα,,,21 中任意向量i α都不能由121,,,i ααα-线性表示,且10α≠,证明m ααα,,,21 线性无关.证明 因为10α≠,2α不能由1α线性表示,所以1α也不能由2α线性表示(如果120k αα=≠,则0k ≠,所以2α能由1α线性表示,矛盾),所以12,αα线性无关,而3α不能由12,αα线性表示,所以123,,ααα线性无关,以此类推,由于m 有限,所以m ααα,,,21 线性无关.2.已知向量组(Ⅰ)123,,ααα,(Ⅱ)1234,,,αααα,(Ⅲ)1235,,,αααα 如果,()4r III =,证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4.证明 因为()4r III =,所以1235,,,αααα线性无关,所以123,,ααα线性无关,且5α不能由123,,ααα线性表示,而()3r II =,所以4α可由123,,ααα线性表示,所以54αα-不能由123,,ααα线性表示,所以12354,,,ααααα-的秩为4.3.已知⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ,证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价.证明: 因为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ,所以321,,βββ可由321,,ααα线性表示,又因为01321100111321211111≠-==,所以321,,ααα也可由321,,βββ线性表示(或者直接由⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=321332123211322αααβαααβαααβ解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=-+=2133212321122ββαβββαβββα).4.已知向量组,21αα+,32αα+13αα+线性无关,证明向量组321ααα,, 也线性无关.证明:记⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=313322211ααβααβααβ,那么321,,βββ可由321,,ααα线性表示,又因为02101110011≠=,所以321,,ααα可由321,,βββ线性表示,所以两个向量组等价,从而秩相等,而321,,βββ线性无关,所以321,,ααα线性无关. (如果要解出321,,ααα的话,可以这样做:∑∑=iiαβ2,所以2211ββα-=∑j ,3212ββα-=∑j ,1213ββα-=∑j )5. 设n 维向量组(1):s ααα,,,21 的秩为1r ;(2):s βββ,,,21 的秩为2r ;(3):s s βαβαβα+++,,,2211 的秩为3r .证明321r r r ≥+.证明: 不妨设1,,,21r ααα 是s ααα,,,21 的一个无关组,2,,,21r βββ 是s βββ,,,21 的一个无关组,则s s βαβαβα+++,,,2211 可由1,,,21r ααα 2,,,21r βββ 线性表示,所以s s βαβαβα+++,,,2211 的无关组可由1,,,21r ααα 2,,,21r βββ 线性表示,所以321r r r ≥+.6.已知2≥s 且s ααα,,,21 线性无关, s αααβ+++= 21.证明向量组s αβαβαβ---,,,21 线性无关. 证明: 记s αααγ+++= 321, s αααγ+++= 312 131-+++=s s αααγ因为0)1)(1(011111101≠--=-s s,所以s γγγ,,,21 可由s ααα,,,21 线性表示,二者等价,秩相等,所以s γγγ,,,21 线性无关.7.若向量组s ααα,,,21 线性相关,证明对任意的实数s k k k ,,,21 , 向量组s s k k k ααα,,,2211 也线性相关.证明 如果s k k k ,,,21 中至少有一个为零,则s s k k k ααα,,,2211 线性相关.下面假设s k k k ,,,21 全不为零. 因为s ααα,,,21 线性相关,所以存在不全为零的数s λλλ,,,21 使得02211=+++s s αλαλαλ ,所以0)()()(22221111=+++s s ssk k k k k k αλαλαλ ,由于sλλλ,,,21 不全为零,所以ss k k k λλλ,,, 2211不全为零,所以向量组s s k k k ααα,,,2211 线性相关.。