AHA，AAH [6],
3 分
由于非零特征值相同，故 A 2 6. 可得
B max - i 1，2 0,3 i 4， 1
B max - i 2 3，1 0 i 6，故
5 分
2 2i 4i
BHB
-
2i
4
6
，det
I - BHB
-
82
13
- 8 - 2 13
1 0 0
从而 J 0
2
1
。
10
分
0 0 2
1 ，R 0
- 2
0
4 0
0，即A QR。 12 分 1
九、(12 分)证明：（1）非负性。
A 0时，A a
0,
AH
0,从而 A
b
0，当A 0时，A a
0,
AH
b
0,从而 A
0.
3 分
（2）齐次性。 kA kA a kAH b k A . 5 分
（3）三角不等式。
AB
AB
A 的最小多项式 m 1 2 。 4 分
设
f
et
m g
a
b
,
则
f
f 1 et 2 e2t
a a
b, 2b,
a 2et
b
e2t
e2t , et ,
6
分
则
et
e At
at
bA
0
e2t et
0 et 2et 2e2t
0
0
， 8
分
e2t
有
xt eAt x0
a
AH BH
b
A
a
B a
AH
b
BH
b
A
B 。 8 分
（4）相容性。
AB AB BHAH A B BH AH A AH B BH A B .
a
b
aa
b
b
a
b
a
b
12 分
) 十、(10 分 解：特征多项式为：
det( I A ) ( 1)( 2 ) 2 3 分
由于 rank ( 2 I A ) 2 , 可知 ( 2 ) 2 有 1个初等因子， 6分 故 A 的初等因子为 ( 1), ( 2 ) 2 , 8分
特征值 3 -2，对应得特征向量为： 3 k0, 0, 1T . k 0 5 分
故线性变换 T 的特征值与特征向量为：
特征值 1 2 1，对应的特征向量为： k3x1 6x2 20x3 . k 0
特征值 3 -2，对应得特征向量为： kx3. k 0 8 分
二、（8 分）解：设 A aij 22 , B bij 22 V ，则有 a11 a22 0, b11 b22 0 。
1 3
2
2
1 -2
- 2， H1A 0
1
0
0 4
1， 4 分 0
令
A1
0 4
1 0
，则
2
-
2
e1
0 4
1 40
1
4
1
, ห้องสมุดไป่ตู้
可得 u 2
1 2
-11， 6
分
H2
I
-
2
u
2
u
T 2
0 1
1 0 ，H 2 A1
4 0
10， 8 分
1 2 2
3 1 4
则
Q
H1
1 0
0 H2
1 3
2 2
-2 1
3 分
因为 A B aij bij 22 , a11 b11 a22 b22 0, 5 分
kA kaij 22 , ka11 ka22 0,
7 分
所以 A B V，kA V，即 V 是 R 22 的子空间。 8 分
三、（10 分）解：
A 1 max - 1，2,1 2，A 1 2 1 4, 2分
,
- 4i 6 10
故
B 2
8 2 13 . 10 分
四、(10 分)解：因为
N 1
SN
N
A k
k 1
2k
k 1
0
N
k 1 3 4k
N1
k1 k k 1
1
1 2 0
N
9
1N 4
N
4 分
N 1
所以
S lim SN 1
N
0
9 1
.
10 分
五、(12 分)因为 detI A -12 - 2。由于 A - IA - 2I 0， 2 分
t e Asbsds
e
At
1 0
1 et 0
1 0
. 12 分
0
1 2
1 2
1 e2t
1 2
et
：
六、(10 分)解：
1 0 2 1
A
行
0
0
1 0
1 2 0
-1 2 0
B ，
3分
rankB 2,且B中第一列和第一列为单位矩阵的前两列6分
1
A
0
1
矩阵分析与计算试题（备用题）
答案与评分标准
（2018-2019 学年第二学期硕士研究生期末考试）
一、（8 分）解：矩阵 A 的特征多项式为：A -12 2，特征值
1 2 1，3 -2， 2 分
特征值 1 2 1，对应的特征向量为：1 2 k3, 6, 20T . k 0 3 分
G 、1：Z - 20 5 .4， G 、2：Z - 10 4 .5， G 、3：Z - 1 0 i 6， 10
分
1 1 1
-1
八、(12 分)解：由于， 1 - 1 e1 2 30 2 1 , 2 0 1
可得 u1
1 3
1 1
， 2
分
1 2 2
3 1 4
H1
I
-
2
u
1u
T 1
2 2 0
1 0
0 1
2 1 2
1
-
1 2
。
10
分
七、(10 分)解：
1 G 1：Z - 20 5 .8， G 2：Z - 10 5， G 3：Z - 1 0 i 3，4 分
1 0 0
20 5 0.4
对A，取D 0
1
0，则B
DAD -1
4
10
0.5。 6 分
0 0 2
2 4 10i