第三章1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ=（1） 证明在上述定义下，nC 是酉空间； （2） 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式。

2、 已知2111311101A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求()N A 的标准正交基。

提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。

3、 已知308126(1)316,(2)103205114A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HU AU 是上三角矩阵。

提示：参见教材上的例子4、 试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。

5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HU AU 为对角矩阵，已知131(1)612A ⎡⎢⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01(2)10000i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，434621(3)44326962260ii i A i i i i i +--⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦11(4)11A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6、 试求正交矩阵Q ，使TQ AQ 为对角矩阵，已知220(1)212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，11011110(2)01111011A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知11(1)01112i i A i i +⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，222(2)254245A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。

反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。

证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满秩。

()()11()()()--=-+=-+-HHH H Hi E U E U i E U E U ，要H H H =，只要()()11()()()()()()---+-=-+⇒--+=+-⇒-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U故HHH =由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。

由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得0+≠E iH ，即E iH +满秩。

111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证：1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。

证明：1111[()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E设,A B 均是实对称矩阵，试证：A 与B 正交相似的充要条件是A 与B 的特征值相同。

证明：相似矩阵有相同的特征值。

A 与B 正交相似⇒A 与B 的特征值相同。

若A 与B 的特征值相同，又,A B 均是实对称矩阵。

所以存在正交阵Q ，P 使()()T T T T T Q AQ P BP QP A QP B Λ==⇒=其中T QP 为正交阵。

10、 设,A B 均是Hermite 矩阵，试证：A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同。

证明：同上一题。

11、 设,A B 均是正规矩阵，试证：与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同。

同上12、 设A 是Hermite 矩阵，且2A A =，则存在酉矩阵U ，使得000rH E U AU ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦13、 设A 是Hermite 矩阵，且2A E =，则存在酉矩阵U ，使得00rHn r E U AU E -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦。

14、 设A 为正定Hermite 矩阵，B 为反Hermite 矩阵，试证：AB 与BA 的特征值实部为0。

证：A 为正定Hermite 矩阵HA L L ⇒=，L 为满秩的。

1()H H H H E AB E L LB L E LBL L λλλ--=-=-，()H H H H H LBL LB L LBL ==-H LBL 是反Hermite 矩阵，反Hermite 矩阵的特征值实部为0,所以AB 的特征值实部为0。

15、 设,A B 均是Hermite 矩阵，且A 正定，试证：AB 与BA 的特征值都是实数。

证明：同上题。

1()H H H H E AB E L LB L E LBL L λλλ--=-=-，()H H H H H LBL LB L LBL ==，H LBL 是Hermite 矩阵，Hermite 矩阵的特征值为实数,所以AB 的特征值是实数。

16、 设A 为半正定Hermite 矩阵，且0A ≠，试证：1A E +>。

证明：A 的特征值为0i λ≥，矩阵的行列式等于特征值之积。

A E +特征值为1i λ+，(1)1+=+>∏i A E λ17、 设A 为半正定Hermite 矩阵，0A ≠，B 是正定Hermite 矩阵，试证：A B B +>。

证明：H B L L =，L 为满秩的。

111111()()()------+=+=+=+=+H H H H H H A B A L L L L AL E L L AL E L L L AL E B11()--H L AL 为半正定Hermite 矩阵，由上题11()1--+>H L AL E ，11()--+=+>H A B L AL E B B18、 设A 为正定Hermite 矩阵，且n nA U ⨯∈，则A E =。

证明：存在,⨯∈n nU UH A U U Λ=，1(,,),0n i diag λλλΛ=>。

又n n A U ⨯∈，()2HHHH E A A U UU U ΛΛΛ===211i i λλ⇒=⇒=H H A U U UEU E Λ⇒===19、 试证：（1）两个半正定Hermite 矩阵之和是半正定的；（2）半正定Hermite 矩阵与正定Hermite 矩阵之和是正定的。

提示：考查()HX A B X +20、 设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反Hermite 矩阵，试证：A ＋B 是可逆矩阵。

提示：A 为正定Hermite 矩阵HA L L ⇒=，L 为满秩的。

11()H H AB L E L BL L --+=+11()H L BL --是反Hermite 矩阵，特征值i λ实部为0,11()(1)0H i E L BL λ--+=+≠∏，所以0A B +≠21、 设A ，B 是n 阶正规矩阵，试证：A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似。

证明：充分性，酉相似⇒相似。

必要性，A ，B 是n 阶正规矩阵，111222,,H H n ni A U U B U U U U ΛΛ⨯==∈，又A 与B 相似, A 与B 的特征值相同,可设=12ΛΛ，⨯===∈111122121,H H H H n n A U U U U BU U U U U Λ22、 设HA A =，试证：总存在0t >，使得A tE +是正定Hermite 矩阵，A tE -是负定Hermite 矩阵。

提示：A 的特征值为i λ，则A tE +的特征值为i t λ+23、 设A 是正定Hermite 矩阵，且A 还是酉矩阵，则A E =。

提示：24、 设A 、B 均为正规矩阵。

且AB BA =，则AB 与BA 均为正规矩阵。

提示：用Ｐ１５０定理，,A B 可以同时酉对角化。

25、 设H A A =-，试证：1()()U A E A E -=+-是酉矩阵。

提示：111111[()()]()()()()()()()()()()------=+-+-=---++-=++--=H H U U A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A E E26、 设A 为n 阶正规矩阵，12,,,n λλλ为A 的特征值，试证：H A A 的特征值为22212||,||,,||n λλλ。

提示：1Hn U AU λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11H H n n U A AU λλλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以HA A 的特征值为2i i i λλλ=27、 设n nA C ⨯∈，试证：（1）H A A 和H AA 都是半正定的Hermite 矩阵；（2）H A A 和HAA的非零特征值相同。

提示：（1）()()0=≥HHHX A AX AX AX（2）=⇒=HH i i A AX XAA AX AX λλ，特征值的重数也相同，参见P19128、 设A 是正规矩阵，试证：（1）若0rA =（r 为自然数），则0A =；（2）若2A A =，则HA A =；（3）若32A A =，则2A A =。

29、 设,HHA A BB ==-，求证以下三条件等价：（1）A B +为正规矩阵 （2）=AB BA （3）()HAB AB =-解：（1）⇒（2）()()()()++=++HHA B A B A B A B H H H H A B B A AB BA ⇒+=+由,H H A A B B ==-AB BA ⇒=。

（2）⇒（3）AB BA =,由,HHA A BB ==-()H H H AB B A AB ⇒=-=-（2）⇒（1）()()()()++=-+HA B A B A B A B ,由AB BA =()()()()A B A B A B A B ⇒-+=+-31、设n n∈，则A可以唯一的写为A S iTA C⨯=+，其中,S T为Hermite矩阵。

且A可以唯一的写为A B C =+，其中B 是Hermite 矩阵，C 是反Hermite 矩阵。

解：设A S iT =+，其中,S T 为Hermite 矩阵，则=-=-HHHA S iTS iT 。