微积分下册常见六种积分考试重点二重积分、三重积分第一型曲线积分、曲面积分第二型曲线积分、曲面积分二重积分 二重积分二重积分/累次积分⎰⎰Dd y x f σ),(1）⎰⎰D 在有界闭区域D 上进行积分的积分符号；D Oxy 平面上的有界闭区域，积分区域；f (x,y ) 被积函数（其在D 上连续才可积），比如可以是区域D 的密度大小，也可以表示底面是D 的曲顶柱体的高。

2）d σ Oxy 平面上微小区域面积，面积元素（d 微分；σ D 中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。

3）微小面质量=微小面密度×微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高×微小曲顶柱体底面长度；f (x,y )d σ 微小面质量或者微小面积，被积表达式。

4）σd y x f D⎰⎰),( 曲面D 的质量，曲顶柱体面积。

此处应注意：f (x,y )>0时，二重积分积分的现实意义才成立。

5）的面积。

即为时，注意：当D D d y x f y x f D )(),(1),(σσ=≡⎰⎰6）二重积分的计算：化二重积分为二次积分{}{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=≤≤≤≤==≤≤≤≤==)()(21)()(212121),(),(,),()(),(),(),(,),()(),()1y x y x b a D x y x y b a D dx y x f dy d y x f b y a y x x y x y x D dy y x f dx d y x f b x a x y y x y y x D dxdyd σσσ当当型域条件下， {}⎰⎰⎰⎰⎰⎰==≤≤≤≤=⎩⎨⎧===⨯=)()(2121)sin ,cos ()sin ,cos (),(),()(),(,sin cos )2x r x r D D rdrr r f d dr rd r r f d y x f r r r r D r y r x drrd dr rd d θθθθθθσβθαθθθθθθθσβα极坐标条件下， ⎰⎰⎰⎰'=≠∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂='→⎩⎨⎧===D D dudvJ v u y v u x f d y x f vy u yv x u xv u y x J D D v u y y v u x x D dudvJ d )),(),,((),(0),(),(,,),(),()3σσ令对于区域换元条件下，三重积分dVz y x f ⎰⎰⎰Ω),,(1）⎰⎰⎰Ω在有界闭区域Ω上进行积分的积分符号；Ω Oxyz 空间中的有界闭区域，积分区域，代表一几何体；f (x,y,z ) 被积函数（其在Ω上连续才可积），可以是区域Ω的密度大小。

2）dV Oxyz 空间中微小区域体积，体积元素（d 微分，V Ω中的微小几何体）。

3）微小体质量=微小体密度×微小体积；f (x,y,z )dV 微小体质量，被积表达式。

4）⎰⎰⎰ΩdV z y x f ),,( 几何体Ω的质量。

此处应注意：f (x,y,z )>0时，三重积分积分的现实三重积分 三重积分 意义才成立。

5）的体积。

即为时，注意：当ΩΩ=≡⎰⎰⎰Ω)(),,(1),,(V dV z y x f z y x f6）三重积分的计算：化三重积分为三次积分{}公式应当做相应调整型域型域或者型域，若是是注：此处上的投影在是，其中）先一后二,),,(]),,([),,(),(),,(),(),,(1),(),(),(),(212121xz yz xy dz z y x f d d dz z y x f dV z y x f Oxy DD y x y x z z y x z z y x y x z y x z D y x z y x z D xy xy xyxy Ω==Ω∈≤≤=Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωσσ{}{}。

及公式应当做相应调整型域，型域或者型域，若是是另外，整。

型域，公式应做相应调型域，若是是注：此处）三管齐下xy xy y x z y x z x y x y b a xy xy D xz yz xy y x D dz z y x f dy dx dV z y x f b x a x y y x y y x D D y x y x z z y x z z y x Ω=≤≤≤≤=∈≤≤=Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω),(),()()(21212121),,(),,(),()(),(),(),,(),(),,(2 {}公式应做相应调整取定，或者取定，另外，若对中已将注：所得区域的平面截闭区域是，其中）先二后一z z D b a z z D y x z D dxdyz y x f dz dV z y x f z z D b z a D y x z y x z⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω=≤≤∈=ΩΩ),,(),,(,),(),,(3 ),(),,(21),sin ,cos (),,(,sin cossin cos ,,])2,0[,0)(,,(),,()4220000202200z y x z y x f z drdzrd z r r f dV z y x f drdzrd dV z z r y r x yx x z r y x z r r r x Oxy M P z M r r z r z y x M +Ω==⎪⎩⎪⎨⎧===Ω===+=>=<∈≥→⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩϕθθθθθθθθθθθθπθθ可化成）其部分，（轴为旋转轴的旋转体或是以）（积分的最佳条件利用球面坐标计算三重令对于区域的平面，方程轴正向夹角为轴与代表过；方程轴为旋转轴轴的柱面，以代表半径为轴正向面上的投影，在是轴的距离，到代表点柱面坐标O P三重积分 三重积分)(),,(21sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(sin sin ,cos sin sin cos sin sin cos sin cos ,,,])2,0[],,0[,0)(,,(),,()5222220000022002022200z y x z y x f dr d d r r r r f dV z y x f dr d d r dr d r rd dxdydz dV r z r y r x y x x z y x x z r z y x r r r x Oxy M P z r r r M z y x M ++Ω==⨯⨯==⎪⎩⎪⎨⎧===Ω==+===++=>=<>=<=∈∈≥→⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩϕθϕϕϕθϕθϕθϕϕθϕϕϕθϕθϕθθθθθϕϕϕϕθϕπθπϕθϕ可化成）分构成，（由球面或圆锥面或其部）（积分的最佳条件利用球面坐标计算三重令对于区域的平面，方程轴正向夹角为轴与代表过轴为轴的圆锥面，方程代表原点为顶点，程球心在原点的球面，方代表半径为轴正向面上的投影，在是，轴正向，球面坐标O P O M O M ϕθϕθθθθθsin 100cos sin 0cos cos )),,(),,,(),,,((),,(0),,(),,(,),,(),,(),,()62r J r z y x r r J z r z y x dudvdwJ w v u z w v u y w v u x f dV z y x f w z vzu z w y v y u y w x v xu x w v u z y x J w v u z z w v u y y w v u x x dudvdwJ dV -=-==≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=Ω'→Ω⎪⎩⎪⎨⎧===Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ的函数，、、都是、、在球面坐标中，的函数，、、都是、、在柱面坐标中，常用范例。

求三重积分是换元法的柱面坐标、球面坐标法法。

用到求三重积分的换元注：极少数情况下，才，令对于区域换元条件下，第一型曲线积分⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰LL ds z y x f ds y x f ),,(),( 第一型曲线积分又叫作对弧长的曲线积分，或数量值函数的曲线积分1）⎰L 在线段L 上进行积分的积分符号；L 当被积函数是二元函数时，其是Oxy 平面上一条光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是Oxyz 空间中一条光滑曲线；f (x ,y ,z ) 被积函数，一函数值，比如可以是线L 的密度大小，也可以表示底边是L 的曲边梯形的高。

2）ds 微小弧长（d 微分；s 微小线段，微小曲边梯形的底边长度）。

3）微小线质量=微小线密度×微小线长度；微小曲边梯形面积=微小曲边梯形高×微小曲边梯 形底边长度；f (x,y,z )ds 微小线质量或者微小曲边梯形面积，被积表达式。

4）ds z y x f L ⎰),,( 线质量，曲边梯形面积。

此处应注意：f (x,y,z )>0时，第一型曲线积分的现实意义才成立。

5）的长度。

即为时，注意：当L L s ds z y x f z y x f L)(),,(1),,(=≡⎰6）第一型曲线积分计算公式 dt t y t x ds y x f dt t y t x ds b a t t y y t x x L x L d x y ds y x f dxx y ds b a x x x y y L dy dx ds Oxy L dt t z t y t x ds z y x f dt t z t y t x ds b a t t z z t y y t x x L L dx x z x y ds z y x f dxx z x y ds b a x x x z z x y y L dz dy dx ds L b a L b a L b a L ba L ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+'='+'=∈=='+='+=∈==+='+'+'='+'+'=∈==='+'+='+'+=∈===++=)()(),()()(],[),(),(2)(1),()(1],,[),(1)()()(),,()()()(],[),()()(2)()(1),,()()(1],[)()(1222222222222222222222，则：）如果（，公式应做对应调整采用采用线的其他方程若则：）若（平面上的一条光滑曲线是，则若被积函数是二元函数，则，，：）如果（，公式应做对应调整采用采用线的其他方程若，则，，：）若（的方程应首先解出第一型曲线积分的计算第一型曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(第一型曲面积分又叫作对面积的曲面积分，或数量值函数的曲面积分1)⎰⎰∑在有界光滑曲面Σ上进行积分的积分符号；Σ一空间有界光滑曲面；f (x ,y ,z ) 被积函数，一函数值，比如可以是曲面Σ的密度大小，也可以表示底面是Ω的曲面体的高（有限制）。