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有27枚金币，其中有1枚 是假金币（比真金币轻一 些），你能3次找出假金 币吗？
义务教育课程标准实验教科书五年级数学下册---数学广角
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广州亚运会就要 到了，为了使每个运 动员都能打好每场比 赛，工厂里对每个体 育器材都要进行严格 的检查，绝对不能出 现次品，否则就会影 响运动员的成绩，这 不有个工人不小心， 把一个次品球与2个好 球混到了一起，你们 愿意帮帮他找出那一 个次品球吗？
用哪一种方法保证能找出次品 需要称的次数最少？ 最优策略： １、把待测物品分成三份。 ２、是不是把待测物品平均分成 3份，就能使保证找到次品所需 要称的次数最少呢？
平均分
设问
是不是把待测物品平均分成3份，就能 使保证找到次品所需要称的次数最少呢？
5. 1 箱糖果有 12 袋，其中有 11 袋质量相同，另有 1
3×3×3
3×3×3×3 ……
？
个数 3
9 27 81 ……
区间个数
2—3 4—9 10—27 28—81 ……
保证能找出 的最少次数 1
2
发现规律 3 3×3
3
4 ……
3×3×3
3×3×3×3 ……
？
个数 3
9 27 81 ……
区间个数
2—3 4—9 10—27 28—81 ……
保证能找出 的最少次数 1
袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋 糖果来? 你会用下面的图表示 称的过程吗?
平衡 把 12 袋糖 分成 3 份， 每份 4 袋。 天平两边 各放 4 袋。 不平衡
· · · · · ·
· · · · · ·
1箱果糖有12袋，其中有11袋质量相同，另有 1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找 出这袋糖果来？ 12 12 12 3份（4、4、4） 4份（3、3、3、3） 6份（2、2、2、2、2、2） 3次 3次 4次
个数 3 3
分成的份数 33(1,1,1) （1,1,1）
保证能找出 的最少次数 1 1
个数 3
9
分成的份数 3（1,1,1） 9（3,3,3）
保证能找出 的最少次数 1
2
?
个数
分成的份数
3
9
3（1,1,1）
9（3,3,3）
保证能找出 的最少次数 1
2
?
个数 3
9 ? 2 7
分成的份数 3（1,1,1） 9（3,3,3）
找次品
5（2,2,1）
5（1,1,1,1,1） 平衡：1 不平衡：2（1，1） 1次 2次
1次或2次
这里有三个乒乓球，其中一个要轻一些， 是次品，你能想办法把它找出来吗？
同学们，大家会使用天平吗？如果天平 平衡说明什么？
如果有3个乒乓球，其中有1个是次品，轻一些， 你能用天平找出来吗？
如果平衡，那么……
如果不平衡，那么……
这样称能找出次品吗？为什么？
放在天平两边物体的个数应相同
两个中找
三个中找
1 1
3次
• 有10瓶水，其中9瓶质量相同，另有1瓶是 盐水，比其他的水略中一些。至少称几次 能保证找出这瓶盐水？ 10 3份（3、3、4） 3次 10 3份（4、4、2） 3次
10
10
5份（2、2、2、2、2、）
2份（5、5）
3次
3次
找次品的最好方法是怎样?
（测物品不能平均分,怎么办?
边摆边说： （1）把待测物品分成几份？每份是多少？ （2）假如天平平衡，次品在哪里？ （3）假如天平不平衡，次品在哪里？ （4）至少称几次能保证找出次品来？
填表
网球个数 分成的份数 称的次数 保证能找出 次品需要称 的次数
小组讨论：
（1）把待测物品分成几份？每份是多少？
（2）假如天平平衡，次品在那里？
保证能找出次品需要测的 次数
2~3 3 4~9 3×3 10~27 3×3×3 28~81 3×3×3×3 82~243 3×3×3×3×3 ……
1 2 3 4 5 ……
（1）要保证6次能测出次品，待测物品可能 是多少？ （2）从上表你能发现什么规律？为什么？
有27枚金币，其中有1枚 是假金币（比真金币轻一 些），你能3次找出假金 币吗？
2
2 2 3
3
最好是平均分 或者使多的一份与少的一份个数只相差1
用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数 有以下关系：（只含一个次品，已知次品比正 品重或轻一些）
要辨别的物品次数 保证能找出次品需要测的 次数 1 2 3 4 5 ……
2~3 4~9 10~27 28~81 82~243 ……
要辨别的物品次数
12
2份（6、6）
平均分成三份能最快找出
3次
如果不能平均 平均分成 3 份称， 需要称的次数最少。 分成3份呢？
不能平均分的，也 应使多的与少的一份 只差1 。
做一做： 有 10 瓶水，其中 9 瓶质量相同，
另有 1 瓶是盐水，比其他的水略重一些。至
少称几次能保证找出这瓶盐水?
10
3 3 4
2 2
小组讨论：找次品的最好方法是怎样?
最优策略： １、把待测物品分成三份。 ２、尽量平均分，不能均 分的，也应该使多的一份 与少的一份只相差１。
个数 3 3
分成的份数 33(1,1,1) （1,1,1）
保证能找出 的最少次数 1 1
个数 3 3
分成的份数 33(1,1,1) （1,1,1）
保证能找出 的最少次数 1 1
平衡
1
不平衡 4（2，2）
2（1，1）
（至少3次）
9 (3，3，3）
平衡
3（1，1，1） （至少2次）
不平衡 3（1，1，1） 平衡 1
9 (4，4，1）
不平衡 4（2，2） 平衡（2，2） 不平衡
2（1，1）
平衡 1
（至少3次）
9 (2，2，2，2，1）
不平衡 2（1，1）
9 (1，1，1，1，1，1，1，1，1）
3×3×3×3 ……
研究记录表
分一分
瓶 数
5 6 7 8 9 10 11 最佳分法
称一称
称的次数
2 2 2 2 2 3 3
想一想
保证能找出次品 称的最少次数
2 2
分成几份
3 3 3 3 3 3 3 3
每份各是几个
(2, 2, 1) (2, 2, 2) (2, 2, 3) (3, 3, 2) (3, 3, 3) (3, 3, 4) (4, 4, 3)
要求： （1）每组中安排1人用两手表示天平的托盘，用 圆片表示零件，模拟实验过程。
（2）剩余同学画图记录，并分析称的情况。 （3）看看用这种分法保证找到次品需要称几 次。
比一比哪那些同学合作得最好，分析得快并有条理。
小组讨论：
（1）把待测物品分成几份？每份是多少？
（2）假如天平平衡，次品在那里？
至少4次
网球的 分成的 个数 份数 9 3
9 9 9 3 5 9
每份的个数 4、4、1 3、3、3 2、2、2、2、1
保证能找出 次品的次数 3 2 3 4
1、1、1、1、1、 1、1、1、1
结论：九瓶也只要两次可以保证找出次品。
3 9
3 3
平衡 1 平衡 1
把9个零件分成3部分，并且平均分，能 够保证找出次品而且称的次数最少。
2
发现规律 3 3×3
3
4 ……
3×3×3
3×3×3×3 ……
2 4 ？
球稍轻点，如果只能利用没有砝码的天平来判定哪 3×3 2 9 4—9 一个球是次品，请问你最少要称几次才能保证找到 27 10—27 3 3×3×3 这个球？
81 …… 28—81 …… 4 ……
保证能找出 个数 区间个数 的最少次数 发现规律 有24个乒乓球，其中有1个球是次品，比其他 3 3 1 2—3
27（9,9,9）
保证能找出 的最少次数 1
2
3
个数 3
9 27
分成的份数 3（1,1,1） 9（3,3,3）
27（9,9,9）
保证能找出 的最少次数 1
2
3
4
?
个数
3 9 27 81 ……
分成的份数
3（1,1,1)
保证能找出 的最少次数
1 2 3 4 ……
发现规律 3 3×3
9（3,3,3）
27（9,9,9） 81（27,27,27） ……
讨论：2个球中找次品需要称1次，为什么3个 球中找次品也只需要称1次呢？
在生活中常常有这样的情况，在一些 看似完全相同的物品中混着一个质量不同( 轻一点或是重一点)的物品，需要想办法把 它找出来，像这一类问题我们把它叫做“ 找次品”，这节课我们就来当小小质检员 一起来研究如何利用天平“找次品”。
这里有五个用于比赛的乒乓球，其中一个 比较轻，是次品，你能把它找出来吗？
（3）假如天平不平衡，次品在那里？ （4）至少称几次能保证找出次品来？
9 (1，1，1，1，1，1，1，1，1）
至少4次
平衡 9 (2，2，2，2，1） 平衡（2，2） 不平衡
不平衡 2（1，1） 1
9 (3，3，3）
平衡
3（1，1，1） （至少2次）
不平衡 3（1，1，1）
9 (4，4，1）
（3）假如天平不平衡，次品在那里？ （4）至少称几次能保证找出次品来？
（1）第一种方案，每一份是1个，至少 需要称2次就一定能找出来。
（2）第二种方案，每一份是2个，至少 需要称2次就一定能找出来。
工厂生产了9个网球，其中一个比较重，这 样的球会影响运动员的正常发挥，至少称 几次就一定能找出次品？请你们4人一组， 合作讨论，并把实验过程记录在表格里。