1-1 证明：由矩阵 可知A 的特征多项式为nn n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ++++++=+++++=+++=++=+=-+λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ1-3-32-21-11-3-3122-2-1-n 13-n 2-n 21-1n 12-n 1-n 12-n 1-n n1- )1(-)1(- 00 0 1- )1(-)1(- 0 00 1-1 0 1- 0 0 0 1-若i λ是A 的特征值，则所以[]Ti i 1-n i 2 1 λλλ 是属于i λ的特征向量。

1-7 解：由于()ττ--t e t g =，，可知当τ<t 时，()0≠τ，t g ，所以系统不具有因果性。

又由于()()0 ，，ττ-=t g t g ，所以系统是时不变的。

1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。

由于()()t 0t ⎩⎨⎧>≤-=-=ααββαβαt u t u P u Q P 而()()⎩⎨⎧+>+≤-=⎩⎨⎧>≤=βαβαβααβαβ t 0 t t 0 t t u t u Q u P Q ，故u P Q u Q P αββα≠，所以系统是时变的。

又因为()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，T T t u t u P u P P T T min t 0 min t t 0 t 而()()()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，，，T T t u T T t u P u P P P T T T min t 0 min t min t 0 min t ，故()()u P P P u P P T T T αα=，所以系统具有因果性。

1-11 解：由题设可知，()τ-t g 随τ变化的图如下所示。

()τu 随τ变化的图如下所示。

从上述两图及所描述的系统，分析如下： 当2≥t ，21>-t 且22≤-t 即43≤<t 时，有()()()⎰⎰--+-=+--=-=22284212t tt t d t d u t g y τττττ； 当4>t 时，0=y ； 当32≤<t 时，有()()()10823222121121+-=+--++--++-=⎰⎰⎰---t t d t d t d t y t t t ττττττ； 当21≤<t 时，有()()()2423221111-+-=-++-++-=⎰⎰⎰--t t d t d t d t y tt t ττττττ； 当10≤<t 时，有()221t d t y t=+-=⎰ττ； 综上所示，该松弛系统在上述输入而激励的输出为： 1-15 解：由上述齐次方程，可得两线性无关的解向量为：⎩⎨⎧==-02111x e x t ，⎪⎩⎪⎨⎧==-t t e x e x 221221 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-t t te e e x 021 即其基本矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-tt te ee 021 ψ；状态转移矩阵为：1-17 证明：由题设我们可知 故()[]()()[]()t T t T dtdt T t T dt d 111----=，得证。

1-19 证明：由题设可知：由上式可推出 ()()()()**⋅=t A t t t t 0101-，，φφ又由()()()00t t t A t t ，，φφ=⋅及习题1-17的结论可推出由以上两个结论，我们可得到()()()()10001-**==t t t t t t ，，，φφφ所以()()I t t t t =*001，，φφ得证。

即()()()()()()I t t t t t t t t t t t t ===***001010001，，，，，，φφφφφφ得证。

1-20 解：设其等价变换为Px x =-，则可知:由于P 是非奇异矩阵，所以⎰=⇒=+-⋅Adte P P PA 0。

1-24 解：易知()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2s 9- 153s 1 115 00 100s s s G s G s G ，其中，其中()s G 0为严格真有理函数矩阵，进行下列计算：()()()()611632123+++=+++=s s s s s s s g ，则6g 11g 6g 3210====，，，r所以。

，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9- 51136- 253 527- 302 6210G G G 因此，可得()s G 一个实现如下： 其模拟图如下所示。

1-25 证明：由题设知 同理可知()()()()()τδττδττ-+-=-+=-----∞=-----∑-t D B A C t k t D B eC t G k kk t A 0!1若要使得两系统零状态等价，则要满足()()ττ-=--t G t G ，即满足()-210 D D k B A C B CA k k===⇔--- ，，，得证。

2-2 解：a,x y u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•1 2 1 1- 1 0 1 1-1 0 01 3- 4- 2- 1 0 0 0 1 0 由题设可知：[]315 1 7- 1 1 1-7- 1 1 1- 1 0 1 1- 10 0 1 B A AB B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=rank rank ，所以系统可控；30 2 2 8- 14- 8-1- 3- 2-4 4 2 1 2 1 1- 10 2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡rank CA CA C rank ，所以系统可观。

b,[]x c c c y u x x 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•由题设可知：[]30 1 0 1 1 0 1 0 1 1 01 A B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==rank B rank rankB ，所以系统可控； （1）若0321===c c c ，则系统不可观； （2）若321c c c ，，中至少有一个不等于零，则3 2 CA CA C 321132113212≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c c c c c c c c c c rank rank ，所以系统不可观； 总之，该系统不可观。

d,[]x e y u e e x x ttt 1 2- 0 0 1- 2---•=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 由题设知由于()()t B t t ，0φ的两行不是线性无关的，所以系统不可控； 又()[]()()()()[]3e - 1- 1-001-0t t t N dtdt A t N t N e t N =+==， 则()()23- 1- 1 --10=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t e e rank t N t N rank ，所以系统可观。

2-3 证明：若线性系统可控，则存在01t t >使得()10t t W ，非奇异。

构造输入()()()()()()[]1100101-0-x t t t x t t W t t t B t u ，，，φφ**-=，其能在1t 时刻将状态()0t x 转移到()11x t x =。

我们将上式代入()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰tt d u B t t x t t t x 0000ττττφφ，，，此时 ()()()()()()()()()()[]()()()()()()[]()()()1110011100101-100011100101-000011 -- --10x x t t t t x t t t x t t W t t W t x t t x t t t x t t W d t B B t t x t t t x t t ===⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎰**，，，，，，，，，，，φφφφφττφτττφφ命题得证。

对离散线性系统不一定成立。

对()()()n Bu n Ax n x +=+1，由递推可知： 要使所控状态任意，则必须满足若()0=n x ，而A 不满秩，则x 只在n A 值域中选取，否则x 属于[]BA AB B 1-n 的值域。

故对离散系统，任意状态控向任意状态的条件一般强于从任意状态控向原点的条件。

若A 满秩时，两者等价。

2-4 证明：若线性动态方程在0t 可控，则存在01t t >，使()()ττφB t ，0在[]10t t ，上行线性无关。

当0t t <时()()()()()ττφφττφB t t t B t ，，，00=，由于()τφ，t 为可逆阵，故不改变其线性无关性。

取t t t >>01，使得()()ττφB t ，0在[]10t t ，上行线性无关，而[][]110t t t t ，，⊂，所以()()ττφB t ，0在[]1t t ，上行线性无关，从而()()ττφB t ，在[]1t t ，上行线性无关，即对任意的0t t <，动态方程也可控。

在0t t >时，系统未必可控。

因为不能保证使()()ττφB t ，的行线性无关的区间存在。

2-7 证明： 必要性：反证法，当系统可控时，若[]n B A rank ≠ ，则存在0≠α，满足：[]000 ==⇒=B A B A ααα，，即这说明矩阵[]B A AB B n 1- 行线性相关，与线性时不变系统可控条件[]n B A AB B rank n =1- 矛盾，即命题得证。

充分性：对⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111 00 1B A ，，我们可知[]21 1 010 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=rank B A rank ，但此时[]211 111 ≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=rank AB B rank ，此时系统不可控，故不是充分条件。

2-8 解： 由题设易知：则()()()()()τττφφd Bu t x t t x t⎰+=000，，故()()()()()()ττπφττπφττπφπφππππππd Bu d Bu d Bu x x 3234234321322220022⎰⎰⎰+++=，，，，即()()()()()()()πτττττττττπππππ2 -cos -sin -cos -sin -cos -sin sin -cos 002343343221320=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰t d u t t d u t t d u t t t t ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔02-in -34-sin 34-in -32-sin 32-sin -sin sin -034-cos -2-cos 32-cos -34-cos cos -32-cos cos 321321ππππππππππt s t u t s t u t t u t t t u t t u t t u t 令π2=t 可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-02332302323132131u u u u u ，此方程组有解，例如311=u ，02=u ，313-=u ，满足条件，所以存在常数1u 、2u 、3u ，是系统状态能完全由()()Tx 0 10=向()()Tx 0 02=π转换。